ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

NGUYỄN THỊ NGỌC MAI

VỀ PHƯƠNG PHÁP LẶP
KRASNOSELSKII–MANN CHO ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN
TRONG KHÔNG GIAN HILBERT VÀ ÁP DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

NGUYỄN THỊ NGỌC MAI

VỀ PHƯƠNG PHÁP LẶP
KRASNOSELSKII–MANN CHO ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN
TRONG KHÔNG GIAN HILBERT VÀ ÁP DỤNG
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số
: 8 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC


✳
✳
✳

✺
✺
✻

✳ ✾
✳ ✶✵
✳ ✶✵
✳ ✶✶

✷ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ❑r❛s♥♦s❡❧s❦✐✐✕▼❛♥♥ ❝❤♦ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥
tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt
✶✹
✷✳✶

✷✳✷

✷✳✸

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ❑r❛s♥♦s❡❧s❦✐✐✕▼❛♥♥ ❝❤♦ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥
✷✳✶✳✶ ❇➔✐ t♦→♥ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✶✳✷ ❙ü ❤ë✐ tö ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ❦✐➸✉ ❑r❛s♥♦s❡❧s❦✐✐✕▼❛♥♥ s✉② rë♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷✳✶ ❍ë✐ tö ②➳✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷✳✷ ❍ë✐ tö ♠↕♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
Ù♥❣ ❞ö♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✺

❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✸✻


ỵ
H
R
R+
N
x
A1
I
C[a, b]
d(x, C)
lim supn xn
lim inf n xn
xn x0
xn
x0
(T )

ổ rt tỹ
t số tỹ
t số tỹ ổ
t số tỹ
ợ ồ x
t tỷ ữủ ừ t tỷ A

rsss ổ tr ổ
rt ử t s ừ ử t ừ
tr ởt số ữỡ t ở ừ
ổ tr ổ rt tỹ H tr ỡ s ữỡ
rsss ữỡ ở ữủ tr
tr ữỡ ử t ữ s

ữỡ t t ở ừ ổ tr
ổ rt
ữỡ tr ởt số t t ỡ ừ ổ rt
tỹ H tr ổ ỡ tr





tr ổ rt ũ ởt số t t ợ t t
t ở ởt số ữỡ ờ t t ở ừ
ổ tr ổ rt tỹ H

ữỡ Pữỡ rsss ổ
tr ổ rt
ữỡ tr ữỡ rsss t
ở ổ tr ổ rt r ự
ỵ sỹ ở ở tử ừ ữỡ ũ ởt số
ồ t r ừ ữỡ ởt ự ử ừ ữỡ
rsss ố ợ ữỡ t sr
ụ ữủ tr tr
ữỡ
r q tr ồ t ự t trữớ ồ ồ


◆❣✉②➵♥ ❚❤à ◆❣å❝ ▼❛✐


❈❤÷ì♥❣ ✶

❇➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕
❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt
❈❤÷ì♥❣ ♥➔② ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ✈➲ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✱ →♥❤ ①↕
❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥✱ →♥❤ ①↕ ✤ì♥ ✤✐➺✉✱ ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ♠➯tr✐❝ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣
❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ❝ò♥❣ ♠ët sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ①➜♣ ①➾ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕
❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ✤÷ñ❝ ✈✐➳t tr➯♥ ❝ì sð tê♥❣ ❤ñ♣ ❦✐➳♥ t❤ù❝
tø ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ ❬✷❪✱ ❬✸❪✱ ❬✺❪✱ ❬✽❪ ✈➔ ♠ët sè t➔✐ ❧✐➺✉ ✤÷ñ❝ tr➼❝❤ ❞➝♥ tr♦♥❣ ✤â✳

✶✳✶

⑩♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt

❈❤♦ H ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ü❝ ✈î✐ t➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣ ., . ✈➔ ❝❤✉➞♥
. ✱ t÷ì♥❣ ù♥❣✳ ❈❤♦ {xn } ❧➔ ♠ët ❞➣② tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ H ✳ ❚❛ ❦þ ❤✐➺✉ xn
x
♥❣❤➽❛ ❧➔ ❞➣② {xn } ❤ë✐ tö ②➳✉ ✤➳♥ x ✈➔ xn → x ♥❣❤➽❛ ❧➔ ❞➣② {xn } ❤ë✐ tö ♠↕♥❤
✤➳♥ x✳

✶✳✶✳✶

▼ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt

❚r÷î❝ ❤➳t t❛ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➲ sü ❤ë✐ tö ②➳✉ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt
t❤ü❝ H ✳

tự ss t õ

1

, 0, . . . , 0, . . . ),

tr tự

0 n t ợ ộ y H tứ t


| en , y |2 < y

2

< .

n=1

r limn en , y = 0 tự en
0 en = 1 ợ ồ n 1

0 {en } ổ ở tử

ởt số t t ừ ổ rt tỹ H ữủ tr tr ờ
ữợ

ờ

H ổ rt tỹ õ

+ (1 t) y

x, y H.

ợ ồ x, y H
2

t(1 t) x y

2

ợ ồ t [0, 1]

ồ tr ổ rt
ự ởt ở tử

ờ


P tr tr ổ rt

C ởt t ỗ õ rộ tr
ổ rt tỹ H õ ợ ộ x H tỗ t t tỷ
Pc x C s
x PC x x y
ợ ồ y C.

ự t t d = uC
inf x u õ tỗ t {un } C


2

2

−4 x−

❦❤✐ n, m → ∞. ❉♦ ✤â ❞➣② {un } ❧➔ ❞➣② ❈❛✉❝❤② tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt
t❤ü❝ H ✳ ❙✉② r❛ tç♥ t↕✐ u = lim un ∈ C ✳ ❉♦ ❝❤✉➞♥ ❧➔ ❤➔♠ sè ❧✐➯♥ tö❝ ♥➯♥
n→∞

x − u = d✳ ●✐↔ sû tç♥ t↕✐ v ∈ C s❛♦ ❝❤♦ x − v = d✳ ❚❛ ❝â
u−v

2

= (x − u) − (x − v)
= 2( x − u

2

2

+ x − v 2) − 4 x −

u+v
2

2

≤ 0.

✭✶✳✷✮
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû PC ❧➔ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ♠➯tr✐❝✳ ❑❤✐ ✤â ✈î✐ ♠å✐ x ∈ H, y ∈ C
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✽✳ ✭①❡♠ ❬✸❪✮

✈➔ ♠å✐ t ∈ (0, 1)✱ t❛ ❝â

ty + (1 − t)PC x ∈ C.


✽

❉♦ ✤â✱ tø ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ♠➯tr✐❝✱ s✉② r❛

x − PC x

2

2

≤ x − ty − (1 − t)PC x

∀t ∈ (0, 1).

❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✈î✐

x − PC x

2

≤ x − PC x


❑❤✐ ✤â✱ ✈î✐ ♠é✐ x ∈ H ✈➔ y ∈ C ✱ t❛ ❝â

x − PC x

2

= x − PC x, x − y + y − PC x
= x − PC x, y − PC x + x − PC x, x − y
≤ x−y

2

+ y − PC x, x − PC x + PC x − y

= x−y

2

+ y − PC x, x − PC x − y − PC x

2

≤ x − y 2.
❙✉② r❛ PC ❧➔ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ♠➯tr✐❝ tø H ❧➯♥ C ✳

❈❤♦ C ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ❧ç✐ ✤â♥❣ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
❍✐❧❜❡rt H ✈➔ PC ❧➔ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ♠➯tr✐❝ tø H ❧➯♥ C ✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ H ✱
t❛ ❝â




(ii) r L [0, 1) t T ữủ ồ L = 1 t T
ữủ ồ ổ
t tỷ ỡ

C ởt t ỗ õ rộ
tr ổ rt tỹ H tỷ A : C H ữủ ồ

(i) ỡ tr C A(x) A(y), x y
0 x, y C
ỡ t tr C ừ t tự tr r
x = y
(ii) ỡ tr C tỗ t ởt ổ (t) ổ
ợ t 0 (0) = 0 tọ t t
A(x) A(y), x y

xy

x, y C;

(t) = t2 số ữỡ t A ữủ ồ t tỷ ỡ
tr C ỡ tr C

(iii) ỡ ữủ tr C ợ số > 0 ỡ
ữủ tr C)
A(x) A(y), x y

A(x) A(y)




x C;
ữủ

ỵ

Bx =

Ax + NC x,



xC

,



x
/ C.

õ B t tỷ ỡ ỹ

sỷ A t tỷ ỡ ỹ õ (t1
n A) ở
tử ỗ t NA (0) tn 0 ợ A1(0) = .
(ii) {Bn } t tỷ ỡ ỹ ở tử ỗ t B A
t tỷ st ỡ ỹ t (A + Bn) ở tử ỗ t A + B
A + B t tỷ ỡ ỹ

t ý tr Fix(T ) tọ xn x n {xn } Fix(T )

T xn xn = 0 n 1.
ứ t tử ừ n t ữủ T x x = 0 tự
x Fix(T ) õ Fix(T ) t õ
t t r t ỗ ừ Fix(T ) sỷ Fix(T ) = sỷ
x, y Fix(T ) ợ [0, 1] t z = x + (1 )y õ

Tz z

2

= (T z x) + (1 )(T z y)
= Tz x

2

= Tz Tx
zx

2

2

+ (1 )(T z y)
2

2

(1 ) x y

tỷ



x (T ).



ởt số ữỡ t ở ừ ổ


Pữỡ
ự t ữỡ

xn+1 = n xn + (1 n )T (xn ), x1 C,

n

1.






ự ữủ r {n } ữủ ồ tọ






lim n = 0,

n


(C2)

n = +,
n=1

(C3)

|n+1 n |
= 0.
2
n
n+1
lim

ợ t q ừ r s t t n =
trứ

1
n+1


✶✸

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ■s❤✐❦❛✇❛

❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt
❈❤÷ì♥❣ ♥➔② tr➻♥❤ ❜➔② ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ❑r❛s♥♦s❡❧s❦✐✐✕▼❛♥♥ ①➜♣ ①➾ ✤✐➸♠
❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✳ ▼ö❝ ✷✳✶ tr➻♥❤
❜➔② ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ❑r❛s♥♦s❡❧s❦✐✐✕▼❛♥♥ ①➜♣ ①➾ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕
❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥✳ ▼ö❝ ✷✳✷ tr➻♥❤ ❜➔② sü ❤ë✐ tö ②➳✉ ✈➔ ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣
♣❤→♣ ❧➦♣ ❑r❛s♥♦s❡❧s❦✐✐✕▼❛♥♥ s✉② rë♥❣✳ ▼ö❝ ✷✳✸ tr➻♥❤ ❜➔② ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛
♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ❑r❛s♥♦s❡❧s❦✐✐✕▼❛♥♥✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ✤÷ñ❝ ✈✐➳t tr➯♥
❝ì sð tê♥❣ ❤ñ♣ ❦✐➳♥ t❤ù❝ tr♦♥❣ t➔✐ ❧✐➺✉ ❬✹❪ ✈➔ ❬✻❪✳

✷✳✶

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ❑r❛s♥♦s❡❧s❦✐✐✕▼❛♥♥ ❝❤♦ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣
❣✐➣♥

▼ët tr♦♥❣ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t➻♠ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ♥ê✐ t✐➳♥❣ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣
❧➦♣ ❑r❛s♥♦s❡❧s❦✐✐✕▼❛♥♥✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ s❛✉✱ ①✉➜t ♣❤→t tø x1 ∈
H t❛ ①➨t ❞➣② ❧➦♣ ♥❤÷ s❛✉

xn+1 = (1 − λn )xn + λn T xn

∀n = 1, 2, . . .

✭✷✳✶✮

✈î✐ λn ∈ [0, 1]✳ ❑➳t q✉↔ ✈➲ sü ❤ë✐ tö tê♥❣ q✉→t ♥❤➜t ✤÷ñ❝ ✤÷❛ r❛ ❜ð✐ ❘❡✐❝❤
✭✶✾✼✾✮ ✈➔ ❣✐↔ t❤✐➳t ❋✐①(T ) ❦❤→❝ ré♥❣ ✈➔ λn ✤÷ñ❝ ❝❤å♥ s❛♦ ❝❤♦
∞

λn (1 − λn ) = ∞,
n=1


0 (I P )
x + N(T ) x tr õ (T ) = {
x D; x = T (
x)}
t t ở ừ ổ T : D D D t
ỗ õ ừ ổ rt H.
rở ữỡ rsss t t

xn+1 = (1 n )xn + n (n P xn + (1 n )T xn ),

ợ n 0,



x0 D {n } {n } (0, 1).



ỹ ở tử

t T : D D ổ tr D t
A = I T ởt t tỷ ỡ ỹ tr D ỗ tớ t tỷ
1/2ỡ ữủ I ỗ t ừ ổ
rt tỹ H
ỡ ỳ T ỷ õ tr D t {xn } ở tử
x tr D {xn T xn } ở tử 0 t x t ở
ừ T

ờ t ữủ tr tr õ {an }


õ n 0

n .

ờ t ữủ tr tr õ
{n }

số tỹ ổ tọ


n < , n+1

n + n

sỷ {n}

ợ ồ n = 0, 1, . . . .

n=0

õ {n} ở tử
ỹ ở tử ừ ữỡ ữủ tr tr ỵ s

{xn} ổ tự ở tử tợ
t ở ừ ổ T : D D ợ số {n}
{n } tọ
ỵ

+

t õ

||xn+1 x||

(1 n )||xn x|| + n ||Tn xn T x||
||xn x|| + n ||Tn (
x) T x||


✶✼

= ||xn − x¯|| + αn σn ||P (¯
x) − T x¯||.
❚❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✷✳✶✳✸ ✈➔

∞

αn σn < +∞,
n=0

t❛ ❝â ❣✐î✐ ❤↕♥
✭✷✳✺✮

l(¯
x) = lim ||xn − x¯||
n→+∞

tç♥ t↕✐ ✈➔ ❤ú✉ ❤↕♥✳ ❱➟② ❞➣② {xn } ❜à ❝❤➦♥✳
✣➦t x
¯n+1 = (1 − αn )xn + αn T xn ✈➔ G = I − T ✱ t❛ t❤✉ ✤÷ñ❝

∞

∞
2

αn (1 − αn )||Gxn ||

2

||x0 − x¯|| + 2M

n=0

αn σn < +∞.
n=0

∞

❱➻

αn (1 − αn ) = +∞, t❛ s✉② r❛
n=0

lim inf ||Gxn || = lim inf ||xn − Tn || = 0.
n→+∞

n→+∞


✶✽


lim ||xn+1 − xn || = 0.

n→+∞

P❤➛♥ ❝á♥ ❧↕✐ t❛ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ x
¯ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✷✳✸✮✳ ❚❤➟t ✈➟②
tø ✭✷✳✹✮ t❛ ❝â

xn+1 − xn = αn (σn (P xn − xn ) + (1 − σn )(T xn − xn )),
♥❣❤➽❛ ❧➔

1
(xn − xn+1 ) =
α n σn

(I − P ) +

1 − σn
(I − T ) xn .
σn

✭✷✳✻✮

1 − σn
(I − T ) ❤ë✐ tö tî✐ N❋✐①(T ) ❝ô♥❣
σn
1 − σn
t❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✶✳✶✳✶✹ t❤➻ (I − P ) +
(I − T ) ❤ë✐ tö tî✐ (I − P ) + N❋✐①(T ) .

x) + ||
x x ||2 .
trỏ ừ x x
t ụ õ

l(
x) = l(x ) + ||
x x ||2 .
s r x = x
õ ự
t q t t ữủ r r t ở tử
t t q ừ rsss

D t ỗ õ rộ
ừ ổ rt H sỷ P, T : D D ổ
tọ F ix(T ) = t {xn} ữ tr t
{n } {n } số tỹ tr (0, 1) tọ
ỵ



+

n < +



n=0

n

tr õ T : H C ổ C H rộ õ ỗ
{n } {n } {n } [0, 1] ữủ ồ s n + n + n = 1 u
tỷ trữợ tr C
tts ự sỹ ở tử ừ

xn+1 := (1 n )xn + n (T xn + en ),



x1 H,

ồ ữỡ t rsss ợ en s số
ừ T xn tts ự sỹ ở tử ừ {xn } ợ tt
(T ) rộ n (0, 1) tọ t


n ||en || < .
n=1



ở tử

r ử t t {xn+1 } ữủ ổ tự

xn+1 := n xn + n T xn + rn ,

x1 H, n 1,



n=1

õ {xn} ở tử t ở ừ
T
ự ự ỵ ỗ ữợ
ữợ ự tỗ t ợ limn ||xn x || ợ t ý

x (T ) t ồ x (T ) õ tứ t ổ
ừ T t õ
||xn+1 x || = ||n (xn x ) + n (T xn x ) + rn (1 n n )x ||
n ||xn x || + n ||T xn x || + ||rn (1 n n )x ||
(n + n )||xn x || + ||rn (1 n n )x ||
(n + n )||xn x || + (1 n n )||rn x ||
+ (n + n )||rn ||
||xn x || + (1 n n )M + ||rn ||,
ợ M > 0 tỗ t t (b) ử ờ
(b) (c) ừ ỵ t s r lim ||xn x || tỗ t r {xn }
n



ữợ ự lim inf ||xn T xn || = 0. ỷ ử ờ t õ
n

ợ t ý x (T ) t


||xn+1 x ||2 = ||n (xn x ) + n (T xn x ) + rn (1 n n )x ||2
||n (xn x ) + n (T xn x )||2
+ 2 rn (1 n n )x , xn+1 x