MỤC LỤC
1. Phần mở đầu.....................................................................................
1.1 Lý do chọn đề tài…………………………………….........
1.2. Mục đích nghiên cứu...........................................................
1.3. Đối tượng nghiên cứu..........................................................
1.4.Phương pháp nghiên cứu......................................................
2. Nội dung.............................................................................................
2.1. Cơ sở lí luận của skkn............................................................
2.2.Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh
nghiệm....................................................................................................
.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.....................
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo
dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường…………………………
3. Kết luận, kiến nghị. ..........................................................................
3.1. Kết luận................................................................................ .
3.2 Kiến nghị................................................................................

Tran
g
1
1
1
1
2
2
2
2
2
18
19

quan đến đồ thị hàm số y = f (x) .
- Rèn luyện kĩ năng nhận dạng, phân tích, xử lý, trả lời các bài tập trắc
nghiệm phần đồ thị hàm số y = f (x) .
- Giúp đồng nghiệp nâng cao chất lượng dạy và học môn toán học THPT,
đặc biệt phần đồ thị hàm số y = f (x) .
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Kiến thức:
+ Lý thuyết phần đạo hàm, khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị, giá trị
lớn nhất, nhỏ nhất và đồ thị của hàm số (chương I- Giải tích 12)
+ Kĩ năng đọc đồ thị hàm số (chương II- Đại số 10)
- Học sinh lớp 12A1,12A2 của trường THPT Đông Sơn 2 năm học 18-19
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí thuyết: Nghiên cứu các tài liệu lí thuyết
trong các sách tham khảo cũng như các tài liệu trên mạng từ đó phân tích và
tổng hợp kiến thức rồi phân loại và hệ thống hoá kiến thức.
- Phương pháp điều tra: Khảo sát học sinh lớp 12 để nắm được khả năng
tư duy và lĩnh hội kiến thức của học sinh cũng như kĩ năng giải bài tập có liên
quan đến đồ hàm số y = f (x) .
2


- Phương pháp thực nghiệm khoa học: Chủ động tác động lên học sinh để
hướng sự phát triển theo mục tiêu dự kiến của mình.
- Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm: Nghiên cứu và xem xét
lại những thành quả thực tiễn trong quá khứ để rút ra kết luận bổ ích cho thực
tiễn.
- Phương pháp thống kê và xử lí số liệu: Sử dụng xác suất thống kê để xử
lí số liệu thu thập được.
2. Nội dung.
2.1. Cơ sở lí luận của SKKN.

duy và lĩnh hội kiến thức của học sinh cũng như kĩ năng giải bài tập có liên
quan đến đồ thị hàm số y = f (x) .
* Dạng 1: Từ đồ thị hay bảng biến thiên của hàm số y = f (x) tìm ra
điều kiện của tham số m để phương trình f ( u ( x ) ) = m có nghiệm thỏa mãn
điều kiện cho trước.
- Phương pháp:
+ Bước 1: Đặt u (x) = t , tìm khoảng giá trị của t.
+ Bước 2: Biện luận số nghiệm của phương trình f (t) = m dựa vào đồ thị
hàm số y = f (x)
- Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như
3


hình vẽ bên. Có bao nhiêu số nguyên m để
3
phương trình f ( x − 3x ) = m có 6 nghiệm

phân biệt thuộc đoạn [ −1;2] ?
A. 3

B. 2

C. 6

D. 7

3
2
Cách giải: Đặt t = x − 3x, x ∈ [ 1;2] , ta có t ' ( x ) = 3 x − 3 = 0 ⇔ x = ±1

hình bên. Có bao nhiêu số nguyên m để phương
trình

1
3

x 
f  + 1÷+ x = m có nghiệm thuộc đoạn
2 

[ −2;2] ?

A. 11

B. 9

Cách giải: Ta có

1
3

C. 8

D. 10

1
x 
f  + 1÷+ x = m ⇔
3
2 

f ( t ) + 2t − 2 đồng biến trên [ 0,2] . Suy ra:
3

∀t ∈ [ 0,2] hay hàm số h ( t ) =

1
f ( 2 ) + 2.2 − 2 = 4 ;
[ 0,2]
3
1
−10
1
Min h ( t ) = h ( 0 ) = f ( 0 ) + 2.0 − 2 =
f ( t ) + 2t − 2 = m
.
Để
phương
trình
[ 0,2]
3
3
3
−10
≤ m ≤ 4 . Hay m ∈ { −3, −2, −1,0,1,2,3,4} .
có nghiệm thuộc đoạn [ 0,2] thì
3
Vậy có 8 giá trị nguyên của m.
Chọn đáp án C
Ví dụ 3: Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên
Max h ( t ) = h ( 2 ) =


t ( x ) = 1, maxt ( x ) = 2
có t ( 0 ) = t ( 2 ) = 2, t ( 1) = 1 ⇒ min
[ 0;2]
[ 0;2]
x ∈ [ 0;2] ⇒ t ∈ [ 1;2] . Khi đó bài toán trở thành có bao nhiêu giá trị nguyên của
m để phương trình f ( t ) = m có nghiệm t ∈ [ 1;2]
Quan sát đồ thị hàm số y = f ( t ) trên đoạn [1;2] ta thấy phương trình f ( t ) = m
có nghiệm ⇔ 3 ≤ m ≤ 5
Mà m ∈ Z ⇒ m ∈ { 3;4;5} : có 3 giá trị của m thỏa mãn. Chọn đáp án C.
Ví dụ 4:
4
3
2
Cho hàm số y = f ( x ) =ax + bx + cx + dx + e có

đồ thị như hình vẽ bên, trong đó a,b,c,d ,e là các hệ
số thực. Số nghiệm của phương trình

f
A.3.

(

)

f ( x ) + f ( x ) + 2 f ( x ) − 1 = 0 là
B.4.

C.2.

 a + c + e = 1 c = 2
f
1
=
1
(
)




⇒ f
Như vậy phương trình f

( x) = x

(

2

+ 2 x và f

)

(

)

f ( x) = f 2 ( x) + 2 f ( x) .



B.3.

C.2.

D.1.

 f ( cosx ) = −1
2
Ta có f ( cosx ) + ( m − 2018 ) f ( cosx ) + m − 2019 = 0 ⇔ 
 f ( cosx ) = 2019 − m.
6


cos x = 0 ( 1)
f
cos
x
=
−
1
⇔
)
Dựa vào đồ thị ta có: (

cos x = k > 1 ( 2 )
PT(1) có 2 nghiệm thỏa mãn, PT(2) vô nghiệm. Yêu cầu: phương trình

f ( cosx ) = 2019 − m ( 2019 − m ≠ 1) có thêm 4 nghiệm thuộc [ 0; 2π ]


Ví dụ 7. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ 1;3] và có bảng biến thiên
như sau:
x
1
2
3
−
y'
+
0
−1
y

−3
−6

Tổng các giá trị m ∈ ¢ sao cho phương trình f ( x − 1) =
nghiệm phân biệt trên đoạn [ 2;4] bằng
A. −75
B. −72

C. −294

m
có hai
x − 6 x + 12
2

D. −297


( x − 2 ) + 3 > 0
⇒ g '( x ) > 0
Với 1 ≤ x < 2 thì 
x
−
2


0

f x
5
f '( x)
+
0
3
f ( x) 1
5
−∞

3

3 −∞

8


Tìm giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ −2019;2019] để phương trình
f ( f ( x ) ) − m + 5 = 0 có nghiệm.
A. 2021.
B. 2027.
C. 2030.
Cách giải:
Ta có: f ( ( x ) ) − m + 5 = 0 ⇔ f ( ( x ) ) = m − 5

D. 2010.

Nhận xét: Tập giá trị của y = f ( x ) là ( −∞;3) ∪ (3;5] . Khi đó, tập giá trị của
f ( f ( x ) ) là ( −∞;1) ∪ (3;5]
m − 5 < 1
m < 6


π 
Cách giải. Ta có, với x ∈  ; π ÷⇒ cos x ∈ ( −1;0]
2 
⇒ f ( cos x ) ∈ [ 0;2 ) ⇒ 2 f ( cos x ) ∈ [ 0;2 ) khi đó f

(

)

2 f ( cos x ) ∈ [ −2;2 ) .

π 
Do vậy phương trình đã cho có nghiệm x ∈  ;π ÷ khi và chỉ khi m ∈ [ −2;2 ) .
2 
Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu.
Chọn đáp án D
* Dạng 2: Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) tìm ra số nghiệm của phương
'
trình f (u ( x )) = 0 .
- Phương pháp:
+ Bước 1: Sử dụng công thức tính đạo hàm hàm số hợp.
y = f ( u ( x ) ) ⇔ y′ = f ′ ( u ( x ) ) .u′ ( x )

+ Bước 2: Dựa vào đồ thị hàm số suy ra các nghiệm của phương trình
f '( x ) = 0 .
- Các ví dụ minh họa:

9


 3

( 2)

Phương trình (2) có 3 nghiệm phân biệt khác 3 nghiệm của phương trình (1).
x = 0
Phương trình ( 3) có 2 nghiệm phân biệt 
 x = a ∈ ( 2;3)
6 nghiệm này hoàn toàn phân biệt. Vậy phương trình g ' ( x ) = 0 có 6 nghiệm
phân biệt.
Chọn đáp án C.
Ví dụ 2. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên
R và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên
2
dưới. Đặt g ( x ) = f ( x ) . Tìm số nghiệm của
phương trình g ' ( x ) = 0
A. 5

B. 4

C. 3

D. 2

2
Cách giải: g ( x ) = f ( x ) → g ′ ( x ) = 2 x. f ′ ( x )

g '( x ) = 0
10


yêu cầu bài toán ta cần tìm tập nghiệm của bất phương trình:
y′ = 2 xf ′( x 2 − 2) < 0 ⇔ −2 x ( x 2 − 2 − (−2) ) ( x 2 − 2 − 0 ) ( x 2 − 2 − 2 ) < 0
x > 2

⇔  −2 < x < − 2
0 < x < 2


Chọn đáp án B

3
2
Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d có đồ thị như hình bên.

Đặt g ( x ) = f

(

)

x 2 + x + 2 . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau

11


A. g ( x ) nghịch biến trên khoảng (0;2).
B. g ( x ) đồng biến trên khoảng (−1;0).
1
C. g ( x ) nghịch biến trên khoảng (− ;0).
2


)

x2 + x + 2 − 3( x2 + x + 2) + 4
3

3
1
( 2 x + 1) x 2 + x + 2 − 3 ( 2 x + 1) = 3 ( 2 x + 1)  x 2 + x + 2 − 1÷
2
2

−1
g ' ( x ) = 0 khi x = ; x = 1; x = −2
2

⇒ g′ ( x) =

Bảng xét dấu của g ( x ) :

1
Vậy g ( x ) nghịch biến trên khoảng (− ;0). Chọn đáp án C
2
Ví dụ 3. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ¡ và

có

đồ

thị


 x = x1 ∈ ( 1;2 )

Xét (1): f ' ( x ) = 0 ⇔  x = 2
hay f ' ( x ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
 x = x ∈ ( 2;3)
2

 f ( x ) + 2 = x1
 f ( x ) = x1 − 2 ∈ ( −1;0 )


Xét (2): f ' ( f ( x ) + 2 ) = 0 ⇔  f ( x ) + 2 = 2 ⇔  f ( x ) = 0
f x +2= x
 f x = x − 2 ∈ 0;1
( )
2
2
 ( )
 ( )
Phương trình f ( x ) = x1 − 2 có 4 nghiệm phân biệt.

Phương trình f ( x ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt, trong đó có 2 nghiệm đơn và 1
nghiệm kép (bội hai).
Phương trình f ( x ) = x1 − 2 có 2 nghiệm phân biệt.
Suy ra phương trình y ' = 0 có tất cả 3 + 4 + 2 + 2 = 11 nghiệm đơn phân biệt.
Vậy hàm số đã cho có 11 điểm cực trị. Chọn đáp án B
Chú ý: Một số em có thể sẽ quên mất khi xét số nghiệm của phương trình
f ( x ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt mà không loại nghiệm kép dẫn đến chọn
nhầm đáp án C là sai.

thị
2

như

hình

+ 4 x + 3) x 2 + x

2
x ( f ( x ) ) − 2 f ( x ) 


cận đứng? A. 3
B. 2

vẽ.

Đồ

thị

)

hàm

số

có bao nhiêu đường tiệm
C. 6

(bội 2) và nghiệm đơn x = x0 ∈ ( −1;0 ) nên ta viết lại f ( x ) = a ( x + 3) ( x − x0 )
Khi đó

(x
g ( x) =

2

+ 4 x + 3) x 2 + x

(x
=

2

+ 4 x + 3) x 2 + x

2
x. f ( x )  f ( x ) − 2 
x ( f ( x ) ) − 2 f ( x ) 


Dựa vào đồ thị ta cũng thấy, đường thẳng y = 2 cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) tại
ba điểm phân biệt x = −1, x = x1 ∈ ( −3; −1) , x = x2 < −3 nên ta viết lại
f ( x ) − 2 = a ( x + 1) ( x − x1 ) ( x − x2 )

Khi đó

x + 1) ( x + 3) x 2 + x
(

1
số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
là:
2 f ( x) −1
x

−∞

−
−

y'

+∞

1
2

0

+

1

1

y
−3

A. 2


1
2

Dựa vào BBT ta thấy phương trình f ( x ) =
x = x1 , x = x2 do đó đồ thị hàm số y =

1
có 2 nghiệm phân biệt
2

1
có 2 TCĐ.
2 f ( x) −1

Vậy tổng số TCN và TCĐ của đồ thị hàm số y =

1
là 3.
2 f ( x) −1

Chọn đáp án C.
Ví dụ 3:
Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên R và có đồ thị
như hình bên. Số đường tiệm cận đứng của đồ thị
hàm số g ( x ) =
A. 1

1
là

1
1
= ∞; lim g ( x ) = lim
=∞
x → x2
x → x2 f ( x ) + 1
f ( x) +1

Vậy đồ thị hàm số g ( x ) =

1
có 3 đường TCĐ.
f ( x) + 1

Chọn đáp án C

15


3
2
Ví dụ 4: Cho hàm số f ( x ) = ax + bx + cx + d
có đồ thị như hình vẽ bên. Số tiệm cận đứng
x 2 − 3x + 2 ) x − 1
(
của đồ thị hàm số y =
là
x.  f 2 ( x ) − f ( x ) 

A. 5.

Do đó đồ thị hàm số cần tìm có tối đa 4 tiệm cận đứng.
( x − 1) ( x − 2 ) x − 1 = 0 ⇒ x = 1
lim+ y = lim+
không là tiệm cận đứng, ở đây vì là
x →1
x →1
xf ( x )  f ( x ) − 1
hàm đa thức bậc ba nên

( x − 1) ( x − 2 ) x − 1 = ∞,
x →2 xf ( x )  f ( x ) − 1



lim y = lim
x →2

x −1
1
y = lim y = ∞
=
Ta có lim
2
x →a
x →b
f ( x ) − 1 mx + nx + p
ở đây

x−2
1

− x2 + 4 x + m
2 f ( x) + x > 4x + m ⇔ f ( x ) >
2
2

Bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ ( −1;3)
− x2 + 4x + m
x ∈ ( −1;3) ⇔ f ( x ) >
, ∀x ∈ ( −1;3)
2
− x2 + 4 x + m
⇔ g ( x) =
< min f ( x ) = −3, ∀x ∈ ( −1;3) hay
( −1;3)
2
− x2 + 4x + m
< −3, ∀x ∈ ( −1;3)
2
⇔ − x 2 + 4 x + m < −6, ∀x ∈ ( −1;3) ⇔ m < x 2 − 4 x − 6, ∀x ∈ ( −1;3) ⇔ m < min h ( x )
( −1;3)

2
với h ( x ) = x − 4 x + 6 .
2
Xét h ( x ) = x − 4 x + 6 trên ( −1;3) có h ' ( x ) = 2 x − 4 = 0 ⇔ x = 2 ∈ ( −1;3) .

Bảng biến thiên:
x
h '( x )
h( x)

B. m ≥
1011
3e + 2019
2
f ( e)
C. m > −
D. m >
1011
3e + 2019
x
x
Cách giải: Xét bất phương trình f ( e ) < m ( 3e + 2019 ) (*)

0 1
x
Đặt e = t ( t > 0 ) . Với x ∈ (0;1) ⇒ t ∈ ( e ; e ) ⇒ t ∈ (1;e) Ta được bất phương trình

f ( t)
(1) (vì 3t + 2019 > 0 với t ∈ (1; e))
3t + 2019
Để bất phương trình (*) có nghiệm x ∈ (0;1) thì (1) có nghiệm t ∈ (1; e) . Ta xét
f ( t ) < m ( 3t + 2019 ) ⇔ m >

17


f ' ( t ) ( 3t + 2019 ) − 3 f ( t )
f ( t)
trên (1;e) có g ' ( t ) =
2

3t + 2019

2
. Chọn đáp án C.
[1;e ]
1011
Ví dụ 3: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên:

m > min g (t ) ⇔ m > −

x
y'
y

−∞

1
0
2

+

−

-4

Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình f
B. m ≥ 1

+


−

3
0

+∞
+
+∞

-4
Do đó bất phương trình f ( t ) ≤ m có nghiệm khi và chỉ khi m ≥ −4
Chọn đáp án A
* Dạng 6: Từ đồ thị hàm số y = f (x) giải các bài tập liên quan đến đồ
thị hàm số chứa giá trị tuyệt đối y = f ( x ) , y = f ( x ) hay y = f ( x ) .
18


+ Phương pháp:

+ Bước 1: Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) ta suy ra đồ thị hàm số y = f ( x )

hay y = f ( x ) hay y = f ( x )

+ Từ đồ thị hàm số y = f (x) suy ra đồ thị hàm số y = f ( x ) bằng cách lấy đối
xứng phần dưới trục hoành qua trục hoành và giữ nguyên phần phía trên trục
hoành.
+ Từ đồ thị hàm số y = f (x) suy ra đồ thị hàm số y = f ( x ) bằng cách giữ đồ
thị hàm số y = f (x) bên phải trục tung, xóa đi phần đồ thị hàm số bên trái trục
tung và lấy đối xứng đồ thị hàm số y = f (x) bên phải trục tung qua trục tung.

B. 7.
C. 6.

D. 8.

Cách giải:
19


3
2
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số có dạng: y = ax + bx + cx + d ( a ≠ 0 ) .
Đồ thị hàm số đi qua các điểm ( 2; −1) , ( −1;3) , ( 1; −1) , ( 2;3 )

−1 = −8a + 4b − 2c + d
3 = −a + b − c + d

⇒
 −1 = a + b + c + d
3 = 8a + 4b + 2c + d
a = 1
b = 0

⇔
⇒ y = x3 − 3x + 1.
 c = −3
d = 1
3
Khi đó ta có đồ thị hàm số y = x − 3 x + 1 như hình vẽ bên. Dựa vào đồ thị


Trong quá trình giảng dạy, tôi đã thử nghiệm với hai lớp: 12A1, 12A2.
Kết quả kiểm tra phần bài tập liên quan đến đồ thị của hàm số y = f ( x )
như sau:
Trước khi tiến hành thử nghiệm:
Lớp
Sĩ số Số học sinh giải được
20


12 A1 45
3 ( = 6,7%)
12 A2 44
4 ( = 9,1%)
Sau khi thử nghiệm:
Lớp
Sĩ số Số học sinh giải được
12 A1 45
17 (= 37,8%)
12 A2 44
26 (= 59,1%)
Sau một thời gian áp dụng đề tài này trong giảng dạy tôi thấy: số lượng học
sinh giải được dạng bài tập này đã tăng lên, mặc dù chưa nhiều và số học sinh
có tư duy về dạng bài tập này cũng tăng lên (có thể các em chưa giải đúng)
nhưng đối với tôi điều quan trọng hơn cả là đã giúp các em thấy bớt khó khăn
trong việc học tập bộ môn toán, tạo niềm vui và hưng phấn mỗi khi bước vào
tiết dạy của tôi.
3. Kết luận, kiến nghị.
3.1. Kết luận.
+ Để áp dụng có hiệu quả đề tài việc đầu tiên cần làm là phải giúp các
em nắm vững lí thuyết chương 2 Đại số 10 và chương 1 sách giáo khoa Giải

2. Sách bài tập Giải tích 12 cơ bản và nâng cao.
21


3. Báo toán học tuổi trẻ.
4. Các đề thi TNTHPT Quốc gia năm 2017, 2018
5. Các đề thi mẫu của Bộ giáo dục và đào tạo từ năm 2017 đến nay.
6. Đề thi thử của các trường THPT trên toàn quốc.

22


DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN
KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ
CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Hà
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên Toán trường THPT Đông Sơn 2

TT

Tên đề tài SKKN

1.

Sử dụng phương pháp đọc đồ
thị hàm số giúp học sinh lớp 12

Cấp đánh giá
xếp loại