SỞ GD&ĐT QUẢNG TRỊ
TRƯỜNG THPT THỊ XÃ QUẢNG TRỊ

KỲ THI CHỌN HSG VĂN HÓA LỚP 10, 11
Khóa thi ngày 03 tháng 4 năm 2019
Môn thi: Toán lớp 11

ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

(Đề có 01 trang)

Câu I (5,0 điểm).
1. Giải phương trình: sin 2 3 x cos 2 x  sin 2 x  0.
2. Cho x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình: x 2  3 x  a  0 , x3 và x4 là hai nghiệm của
phương trình: x 2  12 x  b  0 . Biết rằng x1 , x2 , x3 , x4 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Hãy
tìm a, b .
Câu II (3,0 điểm).
1. Cho k là số tự nhiên thỏa mãn: 5  k  2014 .
k
k 1
k 5
k
 C51C2014
 ...  C55C2014
 C2019
.
Chứng minh rằng: C50C2014
2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực:

m

Câu VI (3,0 điểm). Cho các số dương a, b, c thỏa mãn: a 2  b 2  c 2  3 . Chứng minh rằng:
2
 4
 4
 4

 1 2 2  1 2
 1  3  a  b  c  . Đẳng thức xảy ra khi nào?
 2
2
2
 a b
 b  c
 c  a

-----------------HẾT---------------------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu và MTCT.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:……………………………….Số báo danh:……………….


Huớng dẫn chấm – Toán 11
Câu
Câu I.
(5đ)
1. (3đ)

2. (2đ)



x x  a
 1 2
 x1 x2  a


 2
 x3  x4  12  x1q (1  q )  12
x x  b
 x3 x4  b
 3 4
2
Suy ra q  4
+ q = 2  x1  1 , giải ra được a = 2, b = 32

+q = -2  x1  3 , giải ra được a = -18, b = -288
Câu II.
(3đ)
1. (1.5đ)

Cho k là số tự nhiên thỏa mãn: 5  k  2014
k
k 1
k 5
k
Chứng minh rằng: C50C2014
 C51C2014
 ...  C55C2014
 C2019
Ta có: (1  x)5 (1  x)2014  (1  x)2019


k

0.5đ

Ta có hệ số của x trong P là C
, P = M.N
k
Mà số hạng chứa x trong M.N là :
k
2019

k
k 1 k 1
k 2 k 2
k 3 k 3
k 4 k 4
k 5 k 5
C50C2014
x k  C51 xC2014
x  C52 x 2C2014
x  C53 x3C2014
x  C54 x 4C2014
x  C55 x5C2014
x

2. (1.5đ)

k
k 1

t 2  4t
 0, t  0; 2
(t  2) 2





0.5đ

0.5đ


0.5đ

 f (t ) nghịch biến trên  0; 2 

Vậy pt đã cho có nghiệm thực khi f ( 2)  2  1  m  1  f (0)
Câu III.
(3đ)

Cho dãy số

 un  được xác định bởi:

u1  sin1; un  un 1 

sin n
, với mọi
n2

2 2 3
n 1 n
n

Ta có:

1.0đ

sin1 sin 2
sin n
 2  ...  2
2
1
2
n
1 
1 1
1
1 1
Suy ra : 2    2  2  ...  2   un  2  2  ...  2  2, n  N *
n 
n
1 2
1 2
Vậy dãy số  un  xác định như trên là một dãy số bị chặn.

Bằng qui nạp ta CM được: un 

Câu IV.
(3đ)


Áp dụng định lí cosin cho AMG
a 13
CD a 5
a 7
, GN 
. ANC có AN 

. Trong ANG
6
3
6
3
5
5
có cos(AGN)=
.Gọi góc ( AG; CD)   thì cos =
65
65
13
+TH2: Góc AMD bằng 1500. Tính tương tự ta có: thì cos =
7 5

ta có AG 

0.5đ

0.5đ



mặt khác AB : 3x  y  5  0  d (C ; AB) 
Diện tích

S

3a  b  5

1
27
1
AB.d (C ; AB) 

10
2
2
2

1.0đ

,

10
3a  b  5

10



27
 3a  b  5  27, (2)



Câu VI.
(3đ)

1.0đ

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn: a 2  b 2  c 2  3 . Chứng minh rằng:
2
 4
 4
 4

 1 2 2  1 2
 1  3  a  b  c  . Đẳng thức xảy ra khi nào?
 2
2
2
 a b
 b  c
 c  a

2
2
2
Từ giả thiết ta có 0  a , b , c  3 . Áp dụng BĐT Cauchy ta có :
4
4
 (3  a 2 )  4 
 1  2  a2 .

2
2
3

2(a  b)  2c  3(a  b  c) 2 , (2)
2
2

2



2

2

2

2

1.0đ

1.0đ

2



Từ (1) và (2) ta được BĐT cần chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1