SỞ GD&ĐT HÀ NỘI

KỲ THI OLYMPIC MÔN TOÁN 11

TRƯỜNG THPT LÝ THÁNH TÔNG

NĂM 2019-2020

(Đề thi gồm 01 trang)

Thời gian làm bài 120 phút

Câu 1.(2,0 điểm).
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y  3 sin x  cos x  2019 .
Câu 2.(2,0 điểm).
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình m  1sin x  3 cos x  m  2 có nghiệm.
( m là tham số) .
Câu 3.(4,0 điểm).
a) Giải phương trình 3 cos 2 x  2 cos x  5  0


  3 
b) Tìm nghiệm của phương trình 2 x  1. sin  2 x    0 trên khoảng   ;  ?
4

 2 2 
Câu 4 .(2,0 điểm).
Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8}. Từ các chữ số lấy trong tập A có thể lập được bao
nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau ?
Câu 5. (3,0 điểm).
a)Trong một chiếc hộp đồ chơi có 25 quả bóng nhỏ được đánh số từ 1 đến 25. Một em

CÂU

THANG
ĐIỂM

NỘI DUNG CHẤM
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y  3 sin x  cos x  2019 .

x  R
Câu 1.
(2,0 điểm).



3   1  3 sin x  cos x 
2

3   1  2  3 sin x  cos x  2
2

2

 2017  3 sin x  cos x  2019  2021
2
max y  2021 khi x 
 k 2 , k  Z
3





0,5
0,75
0,75
0,75
0,75
0,5



 3
2 x  1. sin  2 x    0 trên khoảng   ; 
4

 2 2 

1
2

 2x 1  0



2 x  1. sin  2 x    0   

4
sin  2 x    0

 
4


0,75

0,25

0,25

0,5
0,5

0,25

0,25

Số cần tìm có dạng a1a2 a3a4

0,25

a1  0 Có 8 lựa chọn
a2 có 8 lựa chọn
a3 có 7 lựa chọn

0,25

a4 có 6 lựa chọn

0,25
0,75

Theo quy tắc nhân có 8.8.7.6= 2688 số

n 300 25

1
13

b) Xác suất bắn trúng mục tiêu của một vận động viên khi bắn một viên đạn là 0,6. Vận động
viên đó bắn hai viên một cách độc lập. Tính xác suất để vận động viên đó bắn trúng mục tiêu
đúng một viên?

 
A là biến cố viên thứ hai bắn trúng , P A   0,6; PA   0,4
A: “Vận động viên đó bắn trúng đúng một viên”
P A  P A .PA   P A .PA   2.0,6.0,4  0,48

Ký hiệu A1 là biến cố viên thứ nhất bắn trúng, P A1   0,6; P A1  0,4
2

2

1

2

2

0,5

2

0,5

1

2

Xét số hạng tổng quát Tk 1  C

k
10

x 

3 10  k

n 1

 Cnn  210  n  10

0,5

k

 2
. 2   C10k 2k.x 30 5 k
x 

0,5

Khai triển không chứa x  30  5k  0  k  6

0,5

0,75

b) Tìm phương trình đường (C’) sao cho (C) là ảnh của (C’) qua phép vị tự tâm O với tỷ số
Câu 7.
(4,0điểm)

vị tự bằng -2?
G/S M  x; y   C , M '  x' ; y '  C '
Theo giả thiết VO; 2  C '  C   VO; 2  M '  M  OM  2OM '

0,5

 x  2 x'

; thay vào phương trình đường tròn (C)
 y  2 y '

0,5

  2 x'3   2 y'4  9

0,5

2

2


2


thang BCH’I.