ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHẠM THỊ NGỌC HƯỜNG

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN
TRONG VIỆC TÌM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
ELLIPTIC SUY BIẾN CHỨA TOÁN TỬ ∆𝜸

Ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 8 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Phạm Thị Thủy

THÁI NGUYÊN – 2019



LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các tài liệu
trong luận văn là trung thực. Luận văn chưa được công bố trong bất cứ công
trình nào.

Tác giả

Phạm Thị Ngọc Hường

i


Mục lục ..................................................................................................... iii
Một số quy ước và kí hiệu ........................................................................ iv
MỞ ĐẦU ....................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài ....................................................................................1
2. Mục đích của luận văn ............................................................................1
3. Phương pháp nghiên cứu ........................................................................1
4. Bố cục của luận văn ................................................................................1
Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ....................................3
1.1.

Các khái niệm cơ bản của giải tích hàm...........................................3

1.1.1. Không gian tuyến tính .................................................................3
1.1.2. Không gian metric .......................................................................4
1.1.3. Phương trình đạo hàm riêng ........................................................5
1.2.

Không gian hàm ...............................................................................8

1.2.1. Đạo hàm suy rộng .......................................................................8
1.2.2. Không gian 𝐿𝑝 .............................................................................9
1.2.3. Không gian Sobolev ..................................................................10
1.3.

Toán tử............................................................................................10

1.3.1. Toán tử ∆𝛾 .................................................................................10
1.3.2. Một số tính chất.........................................................................12
Chương 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN TRONG VIỆC TÌM
NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC SUY BIẾN CHỨA TOÁN


tích vô hướng trong không gian H.

⇀

hội tụ yếu.

↪

phép nhúng liên tục.

↪↪

phép nhúng compact.

Vol(Ω) độ đo Lebesgue của tập Ω trong không gian ℝ𝑁 .

iv


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong những năm trở lại đây, bài toán biên luôn là chủ đề nghiên cứu được
nhiều chuyên gia quan tâm bởi những ứng dụng rộng rãi của nó trong các ngành
vật lý, hóa học và sinh học. Đặc biệt là việc nghiên cứu điều kiện tồn tại và
không tồn tại nghiệm của bài toán biên có chứa phương trình elliptic suy biến
là rất khó, phức tạp. Do vậy các kết quả đạt được chiếm vị trí quan trọng trong
phát triển lý thuyết toán học.
Việc giải tìm nghiệm của các bài toán này rất phức tạp. Bởi vậy người ta
dùng nhiều phương pháp khác nhau để giải bài toán biên có chứa phương trình

Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong Chương 1, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản của giải tích
hàm, các không gian hàm, toán tử và một số kiến thức bổ trợ được sử dụng trong
Chương 2. Các kiến thức trong chương được trích dẫn từ các tài liệu [2],[3],[4].
1.1.

Các khái niệm cơ bản của giải tích hàm

1.1.1. Không gian tuyến tính
Định nghĩa 1.1.1. Cho tập hợp 𝑋 ≠ ∅ cùng với một phép toán hai ngôi viết theo
lối cộng (+) và một ánh xạ 𝜑: 𝐾 × 𝑋 → 𝑋. Với mỗi 𝛼 ∈ 𝐾 và mỗi 𝑥 ∈ 𝑋 thì phần
tử 𝜑(𝛼, 𝑥) được gọi là tích của số 𝛼 với phần tử x và được kí hiệu là 𝛼𝑥. Giả sử
rằng các điều kiện sau được thỏa mãn:
1) 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋;
2) 𝑥 + (𝑦 + 𝑧) = (𝑥 + 𝑦) + 𝑧, ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋;
3) Trong X tồn tại phần tử 𝜃 sao cho 𝑥 + 𝜃 = 𝜃 + 𝑥, ∀𝑥 ∈ 𝑋;
4) Với mỗi phần tử 𝑥 ∈ 𝑋, tồn tại phần tử đối (−𝑥) ∈ 𝑋 sao cho
𝑥 + (– 𝑥) = 𝜃;
5) 1. 𝑥 = 𝑥, ∀𝑥 ∈ 𝑋;
6) 𝛼(𝛽𝑥) = (𝛼𝛽)𝑥, ∀𝛼, 𝛽 ∈ 𝐾, ∀𝑥 ∈ 𝑋;
7) (𝛼 + 𝛽)𝑥 = 𝛼𝑥 + 𝛽𝑥, ∀𝛼, 𝛽 ∈ 𝐾, ∀𝑥 ∈ 𝑋;
8) 𝛼(𝑥 + 𝑦) = 𝛼𝑥 + 𝛼𝑦, ∀𝛼 ∈ 𝐾, ∀𝑥 ∈ 𝑋.
Khi đó ta nói rằng X là một không gian tuyến tính trên trường K, K là trường
số thực ℝ hoặc trường số phức ℂ và mỗi phần tử 𝑥 ∈ 𝑋 được gọi là một vectơ;
còn các điều kiện trên được gọi là các tiên đề về không gian tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.2. Cho X là một không gian tuyến tính trên trường K.
Các vectơ 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ∈ 𝑋 gọi là độc lập tuyến tính nếu ∑𝑛𝑖=1 𝛼𝑖 𝑥𝑖 = 𝜃 kéo
theo 𝛼𝑖 = 0, ∀𝑖 = 1,2, … , 𝑛.
Các vectơ 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ∈ 𝑋 gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu chúng không độc

Định nghĩa 1.1.7. Một metric trong X là một ánh xạ
𝜌: 𝑋 × 𝑋 → ℝ
của tích 𝑋 × 𝑋 vào đường thẳng thực ℝ, thỏa mãn các điều kiện sau đây:
4


1) 𝜌(𝑥, 𝑦) ≥ 0, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋;
2) 𝜌(𝑥, 𝑦) = 0 ⇔ 𝑥 = 𝑦;
3) 𝜌(𝑥, 𝑦) = 𝜌(𝑦, 𝑥), ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋;
4) 𝜌(𝑥, 𝑦) ≤ 𝜌(𝑥, 𝑧) + 𝜌(𝑧, 𝑦), ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋.
Một không gian metric là một tập hợp khác rỗng cùng với một metric trong
tập hợp ấy. Số 𝜌(𝑥, 𝑦) được gọi là khoảng cách giữa các điểm x và y.
Định nghĩa 1.1.7. Một không gian metric X được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy cơ
bản trong X đều hội tụ tới một phần tử trong X.
1.1.3. Phương trình đạo hàm riêng
1.1.3.1. Định nghĩa phương trình đạo hàm riêng
Phương trình liên hệ giữa ẩn hàm 𝑢(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ), các biến số độc lập
𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 và các đạo hàm riêng của nó được gọi là phương trình vi phân đạo
hàm riêng. Nó có dạng:
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑘 𝑢
𝐹 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑢,
,…,
,…, 𝑘
𝑘 ,…) = 0
𝜕𝑥1
𝜕𝑥𝑛
𝜕𝑥 1 , … , 𝜕𝑥𝑛 𝑛


Ví dụ 1. Khi 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦) ta có phương trình:
𝜕2𝑢
𝜕2𝑢
𝜕2𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝑎(𝑥, 𝑦)
+
2𝑏(𝑥,
𝑦)
+
𝑐(𝑥,
𝑦)
+
𝑑(𝑥,
𝑦)
+
𝑒(𝑥,
𝑦)
𝜕𝑥 2
𝜕𝑥𝜕𝑦
𝜕𝑦 2
𝜕𝑥
𝜕𝑦
+𝑓(𝑥, 𝑦)𝑢 = 𝑔(𝑥, 𝑦)

(1.2)

là phương trình tuyến tính cấp hai tổng quát đối với ẩn hàm 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦) vì: Nếu
ta đặt vế trái của phương trình (2.2) bằng hàm F thì trong phương trình này hàm

1. Phương trình thuộc loại elliptic (hay phương trình elliptic) nếu như tại
điểm đó 𝑏 2 − 𝑎𝑐 < 0.
2. Phương trình thuộc loại hypebolic (hay phương trình hypebolic) nếu như
tại điểm đó 𝑏 2 − 𝑎𝑐 > 0.

6


3. Phương trình thuộc loại parabolic (hay phương trình parabolic) nếu như
tại điểm đó 𝑏 2 − 𝑎𝑐 = 0.
Nếu như phương trình (1.4) thuộc một loại nào đó tại mọi điểm trong miền G thì
ta nói rằng phương trình thuộc loại đó trong miền G.
Người ta chứng minh được rằng qua phép biến đổi bất kì
𝜉 = 𝜉(𝑥, 𝑦),
𝜂 = 𝜂(𝑥, 𝑦),
với 𝜉(𝑥, 𝑦), 𝜂(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐶 2 (𝐺) và
𝜉
𝐽 = |𝜂𝑥

𝑥

𝐷(𝜉, 𝜂)
𝜉𝑦
=
𝜉
𝜂
−
𝜉
𝜂
=



Hàm số
𝑓∶Ω⟶ℝ
𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥).
Nếu 𝑓(𝑥) là hàm liên tục trong ℝ𝑛 , 𝑓 ∈ ℂ(ℝ𝑛 ) thì ta kí hiệu
𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ𝑛 : 𝑓(𝑥) ≠ 0}.
Khi đó bao đóng của A được gọi là giá của hàm f và kí hiệu supp f. Nếu supp f
compact thì hàm 𝑓(𝑥) được gọi là có giá compact.
Đặt 𝐶0𝑘 (Ω) là không gian gồm các hàm khả vi liên tục đến cấp k và có giá
compact. Cho tập mở Ω ⊂ ℝ𝑛 . Với phép cộng hàm số và phép nhân hàm số với
một hằng số thì 𝐶0𝑘 (Ω) là một không gian tuyến tính, kí hiệu là 𝐷𝑘 (Ω).
∞

𝐷(Ω) = ⋂ 𝐷𝑘 (Ω).
𝑘=1

𝐷(Ω) là không gian tuyến tính các hàm khả vi vô hạn, có giá compact trong Ω.
Định nghĩa 1.2.1. Ta nói rằng f là một hàm suy rộng trong Ω nếu f là một phiếm
hàm tuyến tính liên tục trên 𝐷(Ω).
Hàm suy rộng f tác động lên mỗi 𝜑 ∈ 𝐷(Ω) được kí hiệu là 〈𝑓, 𝜑〉.
Hai hàm suy rộng f,g được gọi là bằng nhau nếu:
〈𝑓, 𝜑〉 = 〈𝑔, 𝜑〉, ∀𝜑 ∈ Ω.
Tập hợp tất cả các hàm suy rộng trong Ω lập thành không gian 𝐷′ (Ω).
Nếu Ω = ℝ𝑛 ta kí hiệu 𝐷′ = 𝐷′ (ℝ𝑛 ).
Định nghĩa 1.2.2. Cho 𝑓 ∈ 𝐷′ (Ω), 𝛼 = (𝛼1 , … , 𝛼𝑛 ) ∈ ℤ𝑛+ . Đạo hàm suy rộng
cấp 𝛼 của hàm f trong Ω, kí hiệu 𝐷𝛼 (𝑓), là một ánh xạ từ 𝐷(Ω) vào ℂ được xác
định bởi:
𝐷𝛼 (𝑓): 𝜑 ⟼ (−1)|𝛼| 〈𝑓, 𝜑〉,
với 𝜑 ∈ 𝐷(Ω).

𝑝

‖𝑢‖𝐿𝑝(Ω) ≔ (∫ |𝑢|𝑝 𝑑𝑥) .
Ω

Chú ý rằng 𝐿𝑝 (Ω) là không gian Banach phản xạ khi 1 < 𝑝 < +∞.
Định nghĩa 1.2.4. 𝐿∞ (Ω) là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm đo được
và bị chặn hầu khắp trên Ω với chuẩn:
‖𝑢‖𝐿𝑝(Ω) ≔ 𝑒𝑠𝑠 𝑠𝑢𝑝|𝑢(𝑥)|.
𝑥∈𝛺

1.2.3. Không gian Sobolev
Định nghĩa 1.2.5. 𝑊𝑝𝑚 (Ω), 1 ≤ 𝑝 < ∞ là không gian bao gồm tất cả các hàm
𝑢(𝑥) ∈\𝐿𝑝 (Ω), sao cho tồn tại các đạo hàm suy rộng mọi cấp 𝛼, |𝛼| ≤ 𝑚 thuộc
𝐿𝑝 (Ω) và được trang bị chuẩn
9


1
𝑝

‖𝑢‖𝑊𝑝𝑚 (Ω) ≔ ( ∑ ∫ |𝐷𝛼 𝑢(𝑥)|𝑝 𝑑𝑥 ) .
|𝛼|≤𝑚 Ω

Ta kiểm tra được 𝑊𝑝𝑚 (Ω) là một không gian Banach với 1 ≤ 𝑝 < ∞ và là không
gian Hilbert với 𝑝 = 2. Không gian 𝑊𝑝𝑚 (Ω) với chuẩn trên được gọi là không
gian Sobolev.
1.3.

Toán tử

𝛿𝑡 ∶ ℝ𝑁 ⟶ ℝ
(𝑥1 , … , 𝑥𝑁 ) ⟼ 𝛿𝑡 (𝑥1 , … , 𝑥𝑁 ) = (𝑡 𝜀1 𝑥1 , … , 𝑡 𝜀𝑁 𝑥𝑁 )
với 1 = 𝜀1 ≤ 𝜀2 ≤ ⋯ ≤ 𝜀𝑁 , sao cho 𝛾𝑗 là 𝛿𝑡 - thuần nhất bậc 𝜀𝑗 − 1, tức là
10


𝛾𝑗 (𝛿𝑡 (𝑋)) = 𝑡 𝜀𝑗−1 𝛾𝑗 (𝑋), ∀𝑋 ∈ ℝ𝑁 , ∀𝑡 > 0, 𝑗 = 1, … , 𝑁.
̃ là số chiều thuần nhất của ℝ𝑁 cùng với nửa nhóm {𝛿𝑡 }𝑡>0 ,
Ta định nghĩa 𝑁
tức là
̃ ≔ 𝜀1 + 𝜀2 + ⋯ + 𝜀𝑁 .
𝑁
Ví dụ 1.3.1: Giả sử k là một số thực không âm. Khi đó toán tử
∆𝛾 ≔ ∆𝑥 + |𝑥|2𝑘 ∆𝑦 ,
trong đó
|𝑥|𝑘 , … , |𝑥|𝑘 ) , 𝑥 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑁1 ) ∈ ℝ𝑁1 ,
𝛾 = (1,1,
⏟ … ,1 , ⏟
𝑁1 −𝑠ố

𝑁2 −𝑠ố

𝑦 = (𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑁2 ) ∈ ℝ𝑁2 , 𝑁1 , 𝑁2 ∈ ℕ,
được gọi là toán tử Grushin.
𝑝

Định nghĩa 1.3.1. Không gian 𝑆𝛾 (Ω) (1 ≤ 𝑝 ≤ +∞) gồm tất cả các hàm 𝑢 ∈
𝐿𝑝 (𝛺) mà 𝛾𝑗 𝜕𝑥𝑗 𝑢 ∈ 𝐿𝑝 (Ω) với mọi 𝑗 = 1,2, … , 𝑁.Ta định nghĩa chuẩn trong
không gian này như sau
𝑁


∇𝛾 𝑢 ≔ (𝛾1 𝜕𝑥1 𝑢, 𝛾2 𝜕𝑥2 𝑢, … , 𝛾𝑁 𝜕𝑥𝑁 𝑢), |∇𝛾 𝑢| ≔ (∑ |𝛾𝑗 𝜕𝑥𝑗 𝑢| ) .
𝑗=1

1.3.2. Một số tính chất

11


̃ > 2. Khi đó phép nhúng
Mệnh đề 1.3.2. Giả sử 𝑁
∗

2 (Ω)
𝑆𝛾,0
↪ 𝐿2𝛾 (Ω), trong đó 2∗𝛾 =

̃
2𝑁
’
̃ −2
𝑁

∗

2 (Ω)
là liên tục. Hơn nữa, phép nhúng 𝑆𝛾,0
↪ 𝐿2𝛾 (Ω) là compact với mỗi q ∈

[1,2∗𝛾 ).

𝐴𝜃 = |‖𝜙

𝜃 ‖|𝑆2 (Ω)
𝛾,0

và 𝐴 ≔ 𝐴1 =

‖𝜙‖ 𝑝(𝜏)
𝐿
(Ω)
|‖𝜙‖|𝑆2 (Ω)
𝛾,0

.

Ta có
∫( 𝜙𝜃 (𝑋))𝑝(𝜏) 𝑑𝑋
Ω

= ∫ (𝜙𝜃 (𝜃 𝜀1 𝑥1 , 𝜃 𝜀2 𝑥2 , … , 𝜃 𝜀𝑁 𝑥𝑁 ))𝑝(𝜏) 𝑑𝑥1 𝑑𝑥2 … 𝑑𝑥𝑁
Ω

=

1
𝜃𝑁̃

∫ (𝜙𝜃 (𝜃 𝜀1 𝑥1 , 𝜃 𝜀2 𝑥2 , … , 𝜃 𝜀𝑁 𝑥𝑁 ))𝑝(𝜏) 𝑑𝜃 𝜀1 𝑥1 𝑑𝜃 𝜀2 𝑥2 … 𝑑𝜃 𝜀𝑁 𝑥𝑁
Ω


Ω 𝑗=1

= (∫
Ω

𝑁

1
𝜃

1
2

2

|𝛾 𝜕 𝜙 | 𝑑𝜃 𝜀1 𝑥1 𝑑𝜃 𝜀2 𝑥2 … 𝑑𝜃 𝜀𝑁 𝑥𝑁 ) .
̃ ∑ 𝑗 𝑥𝑗 𝜃
𝑁
𝑗=1

Từ giả thiết 4) ta có
𝛾𝑗 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑁 )𝜕𝑥𝑗 𝜙𝜃 (𝑋) = 𝜃 −𝜀𝑗+1 𝛾𝑗 (𝜃 𝜀1 𝑥1 , 𝜃 𝜀2 𝑥2 , … , 𝜃 𝜀𝑁 𝑥𝑁 )𝜕𝑥𝑗 𝜙𝜃 (𝑋),
và
𝜕𝑥𝑗 𝜙𝜃 (𝑋) = 𝜃 𝜀𝑗 𝜕𝑥𝑗 𝜙(𝜃 𝜀1 𝑥1 , 𝜃 𝜀2 𝑥2 , … , 𝜃 𝜀𝑁 𝑥𝑁 ).
Do vậy

|‖𝜙𝜃 ‖|𝑆𝛾,0
2 (Ω) = 𝜃

1−


𝜃
𝜃

Do

̃
𝑁
2

−1−

̃
𝑁
𝑝(𝜏)

−

̃
𝑁
𝑝(𝜏) ‖𝜙

1−

𝜃 ‖𝐿𝑝(𝜏)(Ω)

̃
𝑁
2 |‖𝜙𝜃 ‖| 2 (Ω)
𝑆𝛾,0

1) E(u) ⟶ ∞ khi ‖𝑢‖𝐻 ⟶ ∞, u ∈ 𝑀;
Và E là nửa liên tục dưới yếu trên M, tức là
2) Với mỗi u ∈ 𝑀 dãy {𝑢𝑛 } ⊂ 𝑀, 𝑢𝑛 ⇀ 𝑢 trong H thì
𝐸(𝑢) ≤ 𝑙𝑖𝑚 𝑖𝑛𝑓 𝐸(𝑢𝑛 ).
𝑛⟶∞

Khi đó E bị chặn dưới trên M và đạt infimum trên M.

Chương 2
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN TRONG VIỆC TÌM
NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC SUY BIẾN
CHỨA TOÁN TỬ ∆𝜸
Trong Chương 2, sử dụng phương pháp biến phân để tìm nghiệm của Bài toán
chứa phương trình elliptic suy biến chứa toán tử ∆𝛾 . Nội dung trong chương được
trích dẫn từ các tài liệu tham khảo [1],[5],[6],[7],[8],[9],[10],[11], [12].
2.1. Bài toán
14


Trong Chương 2, ta đi tìm nghiệm của hai bài toán sau:
2.1.1. Bài toán 1
Giả sử Ω là miền bị chặn, có biên trơn trong ℝ𝑁 , N ≥ 2.
Ta xét bài toán:
−∆𝛾 𝑢 + 𝑎(𝑥)𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑢) 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 Ω
𝑢|𝜕Ω = 0
̃
𝑁
2

với 𝑎 ∈ 𝐿 (𝛺), ∆𝛾 là toán tử có dạng

(H2) 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥, 𝑡)/(𝑡|𝑡|2𝛾−2 ) = 0 đồng nhất với mọi x ∈ Ω, trong đó 2∗𝛾 =
|𝑡|→∞

̃
2𝑁
.
̃
𝑁−2

(H3) 𝑙𝑖𝑚 𝐹(𝑥, 𝑡)/𝑡 2 = +∞ đồng nhất với mọi x ∈ Ω.
|𝑡|→∞

(H4) 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥, 𝑡)/𝑡 = 0 đồng nhất với mọi x ∈ Ω.
𝑡→0

(H5) Cho một số 𝛿 > 0, hoặc
𝐹(𝑥, 𝑡) ≥ 0 𝑣ớ𝑖 |𝑡| ≤ 𝛿, 𝑥 ∈ Ω,
Hoặc
𝐹(𝑥, 𝑡) ≤ 0 𝑣ớ𝑖 |𝑡| ≤ 𝛿, 𝑥 ∈ Ω.
2.1.2. Bài toán 2
15


Ta xét bài toán sau
−∆𝛾 𝑢 + 𝑏(𝑥)𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑢) 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 ℝ𝑁 ,
{
𝑢 ∈ 𝑆𝛾2 (ℝ𝑁 ),
với ∆𝛾 là toán tử subelliptic có dạng
𝑁


≤ 2𝛾 , 𝑝1 , 𝑝2 > 1, 𝑝3 ≥ ∗
,
𝑝1 − 1
𝑝2 − 1
2𝛾 − 𝑝
𝑝3 (2∗𝛾 − 2𝑝 + 2) ≤ 2. 2∗𝛾 .
(𝐴2 ) 𝑙𝑖𝑚

|𝜉|→∞

|𝐹(𝑥,𝜉)|
𝜉2
𝜉

= ∞, với mọi x ∈ ℝ𝑁 , tồn tại 𝑟0 ≥ 0 sao cho

𝐹(𝑥, 𝜉) ≡ ∫0 𝑓(𝑥, 𝜏)𝑑𝜏 ≥ 0

với mọi (𝑥, 𝜉) ∈ ℝ𝑁 × ℝ, |𝜉| ≥ 𝑟0 ;

(𝐴3 ) Tồn tại các hằng số 𝜇 > 2 và 𝑟1 > 0 sao cho
𝜇𝐹(𝑥, 𝜉) ≤ 𝜉𝑓(𝑥, 𝜉) 𝑣ớ𝑖 𝑚ọ𝑖 (𝑥, 𝜉) ∈ ℝ𝑁 × ℝ, |𝜉| ≥ 𝑟1 ;
(𝐴4 ) 𝑓(𝑥, −𝜉) = −𝑓(𝑥, 𝜉) với mọi (𝑥, 𝜉) ∈ ℝ𝑁 × ℝ;
(𝐵1 ) b : ℝ𝑁 → ℝ sao cho 𝑏 ∈ 𝐿1𝑙𝑜𝑐 (ℝ𝑁 ) và
𝜇0 = 𝑒𝑠𝑠 𝑖𝑛𝑓 𝑏(𝑥) ≔ 𝑠𝑢𝑝{𝜇 ∈ ℝ: 𝑉𝑜𝑙({𝑥 ∈ ℝ𝑁 , 𝑏(𝑥) < 𝜇}) = 0} > 0;
𝑥∈ℝ𝑁

16




∀𝑥 ∈ ℝ𝑁 , ∀𝑡 > 0, 𝑗 = 1, … , 𝑁;

Số
𝑛

̃ = ∑ 𝜀𝑗
𝑁

(2.1)

𝑗=1

gọi là kích thước đồng nhất của ℝ𝑁 đố𝑖 𝑣ớ𝑖 {𝛿𝑡 }𝑡>0 ;
2) 𝛾1 = 1, 𝛾𝑗 (𝑥) = 𝛾𝑗 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑗−1 ), 𝑗 = 2, … , 𝑁;
3) Tồn tại hằng số 𝜌 > 0 sao cho
0 ≤ 𝑥𝑘 𝜕𝑥𝑘 𝛾𝑗 (𝑥) ≤ 𝜌𝛾𝑗 (𝑥), 𝑘 ∈ {1,2, … , 𝑗 − 1}, 𝑗 = 2, … , 𝑁,
𝑁
̅𝑁
với mọi 𝑥 ∈ ℝ
+ ≔ {(𝑥1 , … , 𝑥𝑁 ) ∈ ℝ : 𝑥𝑗 ≥ 0, ∀𝑗 = 1,2, … , 𝑁};

4) Đẳng thức 𝛾𝑗 (𝑥) = 𝛾𝑗 (𝑥 ∗ ), 𝑗 = 1,2, … , 𝑁, không đổi với 𝑥 ∈ ℝ𝑁 , khi đó

17