ỨNG DỤNG NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA
VÀO CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Xét phương trình bậc ba:
32
xmxnxp0

(*)
Đặt:
m
xy
3

;
23
m2m9mn27p
n;
327


. Ta thu được phương trình
3
yy0

(**)
Số nghiệm của (**) chính là số giao điểm của đồ thị
3
(C):f(y)yy

với trục hoành
Ta có:
2

3333



Suy ra
   
323
2
12
4274
fy.fy
2727


.
Do đó, ta có:

Phương trình (**) có ba nghiệm khi và chỉ khi:




32
12
fy.fy04270

.
Hay là:



27


Ví dụ 1. Cho các số thực
a,b,c
không đồng thời bằng 0 thỏa
abc0

.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
222
2223
13abc2abc2
P
(abc)



.
Lời giải. Đặt
nabbcca, pabc


Suy ra
a,b,c
là ba nghiệm của phương trình :
3
xmxn0

(4)

13p2p22n13abc2ab22abbcca

Mà:


2222
1
(abc)0abbccaabc
2


Dẫn tới:


3
222222
11
13abc2abc2abcP
44

.
Đẳng thức xảy ra
n2
a,b,c
m3






Lời giải.
Đặt
nabbcca, pabc


Suy ra
a,b,c
là ba nghiệm của phương trình :
3
xnxp0

(4)
Ta có:
233232
42727
pnnpnp
2744

.
Vì
222
abc0abc2(abbcca)2nn0

.
Do đó:
5252
P32n32np8p32(n)(n)p8p




minf(t)f
1827















Suy ra
82
P
27

. Đẳng thức xảy ra khi
3
2
p
18
1
n
24




























.
Vậy
82

 
3
4
1
Pabcabc
(abc)

.
Lời giải.
Đặt
m(abc), nabbcca, pabc

, suy ra
a,b,c
là ba nghiệm của phương
trình
32
tmtntp0


Từ giả thiết ta suy ra:
   
2
2
m
abc4abbccan
4
 .
Suy ra
3

p
54pm
























, chẳng hạn ta chọn
3
3
1

hay
a,b,c
là nghiệm của
phương trình:
2
3
3
3
3
32
97211834
t183tt0tt0
46
33


















222
2abc5abbcca

. Chứng minh rằng:
 
2
3
1
abcabc10
27

.
Lời giải.
Đặt


mabc,nabbcca,pabc

ta suy ra
a,b,c
là ba nghiệm của phương
trình :
32
xmxnxp0

.
Từ giả thiết ta suy ra:



Ta chứng minh:
2
2
3
3
pp
p110
42











(luôn đúng).
Đẳng thức xảy ra khi
2
p2
p2
m27m33
n6n6






, c là hằng số cho trước.

Ví dụ 5. Cho các số thực
a,b,c
thoả
222
abcabbcca4

. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:






2
P18abbccaabbccaabc489abc
 .
Lời giải.
Đặt
m(abc), nabbcca, pabc


Từ giả thiết ta suy ra:










2
P18abbcca48abbccaabbccaabc9abc








2
23abbcca4abbccaabc9abc16









2











. Nên
3
12
P64
3
3












.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
































minP64
3
3












.
Ví dụ 6. Cho các số thực
a,b,c
thoả
222
abcabbcca1

. Chứng minh rằng:


2
2
(abc)43abbcca18abc

.

323
27p2m3m(m1)227pm3m2
3
27pm3m2


Do đó:


222223
3P3m9n54p3m(m1)2m3m2


43222
m2m5m6m3(mm3)1212

.
Đẳng thức xảy ra khi


2
2
3
mm30
m1
n
3

513
n
6
1113
p
54

























4
abc
P
abc



.
Lời giải.
Chuẩn hoá
abc2abc4

. Đặt
nabbcca

, suy ra


3
18n91163n

32
3n12n108n4650


2
155
(n5)(3n3n93)05n
2




Vì hàm
2
f(n)n32n144

nghịch biến trên
551
5;
2






nên ta suy ra
19
maxPf(5)
128128

và
15513831655
minPf
12822




