Lời mở đầu
I. Đặt vấn đề
Trong Hình học nói riêng và toán học nói chung, việc giải các bài toán
có nhiều phơng pháp khác nhau. Trong các đó bài toán có nhiều phơng pháp
sử dụng diện tích các hình phẳng để giải các bài tập hình học là một phơng
pháp thú vị. Việc sử dụng phơng pháp này để giải các bài toán hình học
mang ý nghĩa tổng quát và có lúc đem lại cho ta những kết quả ngắn gọn bất
ngờ.
Phơng pháp diện tích cho phép ta hiểu sâu thêm các tiêu đề hình học,
trong đó đáng quan tâm về các tiêu đề diện tích đồng thời cho phép ngời đọc
thấy rõ bản chất các vấn đề nêu ra.
Giải các bái toán bằng phơng pháp diện tích còn gây đợc hứng thú tìm
tòi cho ngời giải toán. Bởi lẽ không phải bất cứ bài toán nào cũng có thể giải
bằng phơng pháp đó. Song nếu nh cố gắng tìm tòi thì ta có thể khai thác đợc
nhiều vấn đề hết sức thú vị của các bài toán.
Với những lý do đã trình bày ở trên tôi đã chọn đề tài Sử dụng phơng
pháp diện tích để giải các bài toán hình học để nghiên cứu,.
Trong đề tài, tôi đã lựa chọn đợc các bài tập ở nhiều dạng, có những
bài toán nâng cao và những kiến thức mở rộng hơn so với kiến thức đã trình
bày trong SGK lớp 8 và 9. Do vậy, đề tài chỉ áp dụng đợc cho các học sinh
khá giỏi ở Trờng THCS.
II. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu.
a. Thực trạng:
Trong những năm dạy toán ở Trờng THCS, thông qua việc tìm hiểu số
lợng bài tập hình học thì các bài toán giải bằng phơng pháp diện tích đợc
trình bày quá ít. Chính vì vậy học sinh thờng lúng túng khi đứng trớc những
bài toán nh vậy. Bởi thế, để giúp học sinh giải tốt các bài toán hình học nói
chung và phần bài tập về diện tích đa giác nói riêng là điều mà thầy cô giáo
quan tâm và suy nghĩ. Do kinh nghiệm cha nhiều và sự hạn chế của bản thân,
tôi chỉ chọn kiến thức và bài tập phần diện tích đa giác ở lớp 8 và kiến thức mở
rộng ở lớp 9 để nghiên cứu kinh nghiệm giảng dạy này.

1
(a + b + c) là nửa chu vi của tam giác
- r: bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác ABC
- ra, rb, rc: bán kính đờng tròn
bằng tiếp

ABC tiếp xúc với a, b, c
Ta có công thức tính diện tích tam giác sau:
S =
2
1
a. ha =
2
1
b. hb =
2
1
c. hc (1)
S =
))()(( cpbpapp

(2) công thức Hêrông
S =
2
1
ab. Sin
BacAbcSinC

sin
2

hc
II. Các công thức tính diện tích tam giác hay dùng
1. Diện tích hình vuông cso cạnh là a: S = a
2
.
2. Diện tích hình chữ nhật có hai kích thớc là a, b: S = a. b
3. Diện tích hình bình hành có một cạnh là a và chiều cao tơng ứng h:
S = a.h
4. Diện tích hình thoi có 2 đờng chéo là l
1
, l
2
: S =
2
1
l
1
l
2
(diện tích
hình thoi còn đợc tính theo công thức tính diện tích hình bình hành)
5. Diện tích hình thang có hai đáy là a, b b và đờng cao h :
S =
2
).( hba
+
6. Diện tích hình thang có đờng cao h, đờng trung bình m: S = m .h
III. Các bài toán cơ bản về diện tích.
Bài toán 1:
GT

= k. S
ADE
Hệ quả 1: Nếu C, B, P thẳng hàng (cùng thực đờng thẳng a) và điểm A
không thuộc đờng thẳng a, BC = k. CP thì S
ABC
= k. S
ACP
.
Hệ quả 2: Nếu PB = C thì S
ABC
= S
APC
(k = 1)
4
E
A
B
H
D C
a
Bài toán 2:
GT

ABC,

ABC
AH BC, AH BC
KL
''
'

Bài toán 3: Ta xét các trờng hợp sau:
GT

ABC,

ABC, AA cắt BC tại E
KL
''
'
AE
AE
S
S
BCA
ABC
=
Chứng minh:
Ta có
''
'.
2
1
.
2
1
'
AE
AE
AH
AH

H
E
H
A
B
Bài toán 4:
GT

ABC ~

ABC
theo tỷ số k
KL
2
'''
'
k
S
S
CBA
ABC
=
Chứng minh:
Do

ABC ~

ABC =>
k
CB

kkk
HA
AH
CB
BC
HACB
AHBC
S
S
CBA
ABC
====
Đặc biệt nếu

ABC =

ABC (k = 1) thì S
ABC
= S
ABC
6
A
B
H
C
A
B
H
C
Phần II:

NAB
d(M ; AB) = d(M; AB)



=
2
''
K
S
S
MBA
ABM
và
K
BAMd
ABMd
=
)'';(
);(
Bài tập vận dụng:
Bài toán 1 : Lấy một điểm O trong

ABC. Các tia AO, BO, CO cắt
BC, AC, AB lần lợt tại P, Q, R. Chứng minh rằng
2
=++
CR
OC
BQ

PQ
OQ
S
S
ABC
AOB
=
(2)
CR
OR
S
S
ABC
AOC
=
(3)
Từ (1) (2) và (3) ta có:
1
=++=++
ABC
AOC
ABC
AOB
ABC
OBC
S
S
S
S
S

CO
BQ
OQ
AP
OP
=>
2
=++
CR
CO
BQ
BO
AP
AO
(ĐPCM)
Bài toán 2: Cho

ABC có ba góc nhọn và ba đờng cao AA, BB,
CC, gọi H là trực tâm của

ABC. Chứng minh
'
'
'
'
'
'
CC
HC
BB

AHC
=
(2)
'
'
CC
HC
S
S
ABC
HAB
=
(3)
8
A
B
H
C
R
Q
PK
O
A
B
A
C
C
B
H
Từ (1) (2) và (3) ta có

++
Do

ABC có ba góc nhọn nên trục tâm H nằm ở miền trong

ABC.
Do đó S
HBC
+ S
AHC
+ S
AHB
=>
1
==
++
ABC
ABC
ABC
AHBAHCHBC
S
S
S
SSS
=>
'
'
'
'
'

'
'
'
'
=++
CC
HC
BB
HB
AA
AH
mà
)(
'
'
'
'
'
'
gt
CC
HC
BB
HB
AA
AH
==
Điều này chứng tỏ:
3
1

1..
1
1
1
1
1
1
=
AB
CB
CA
BA
BC
AC
(điều kiện cầu, điều luật Cê va)
9
A
B
A
C
C
B
H
Chứng minh:
Do AA
1
, BB
1
, CC
1

1
(3)
Nhân vế với vế của các đẳng thức (1), (2) và (3) ta có:
1
..
..
..
1
1
1
1
1
1
==
ABPACPBCP
CBCPABPACP
SSS
SSS
AB
CB
CA
BA
BC
AC
10
A
B
A
1
C

RPQ
d(M; AB) = d(N; CD) = d(R;PQ)
Bài tập vận dụng:
Bài toán 5: Cho

ABC (AB = AC). Một điểm D di chuyển trên cạnh đáy
BC. Từ D kẻ các đờng thẳng DE và DF lần lợt vuông góc với AC, AB. Chứng
minh rằng tổng DE + EF không phụ thuộc vào vị trí của điểm D trên BC.
Chứng minh:
Để chứng minh DE + DE không phụ thuộc
vào vị trí điểm D ta chứng minh
nó luôn bằng một đoạn thẳng có
độ dài không đổi.
Thật vậy kẻ đờng cao CK ta có.
S
ABD
+ S
ACD
= S
ABC
mà SABD =
DFACSDFAB
ACD
.
2
1
,.
2
1
=

Ta có: S
MAB
+ S
MBC
+ S
MAC
= S
ABC

Mà S
MAB
=
2
1
MR.AB
S
MBC
=
2
1
MB.BC
S
MAC
=
2
1
MQ.AC
S
MAB
+ S

P
1