TRƯỜNG THCS ĐOÀN THỊ ĐIỂM GREEN FIELDS ECOPARK
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ II LỚP 9
NĂM HỌC 2017­2018
I­
 RÚT GỌN BIỂU THỨC 
Bài 1: Cho biểu thức:
1
7
+
:
x +2 x−4

A=

x −1
−1
x −2

a. Rút gọn biểu thức A.
b. Tìm x để A>2
c. Tìm  x Z  để  A Z  
Bài 2: Cho biểu thức:
B=

x +3
+
x −9

1
x
:

Tìm giá trị của x để  A =

c. Rút gọn Q.
d. So sánh A và  A2
Bài 4: Cho biểu thức:
A=

Q 2 x +1
 
=
P
2

x+2
x
−
;B =
x+ x −2
x +2

3
x −3
−
x −1 x −1

a. Rút gọn biểu thức A
b. Tìm giá trị của x để B=1
c.

Tìm m để 



D=

1
1
3 x −3
−
.
x −1 x x − 1 x + x

a. Rút gọn biểu thức D.
b. Tìm x để D có giá trị nguyên.
II­

 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH­ 
PHƯƠNG TRÌNH:
Bài 7: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi là 124m, người ta mở rộng chiều 
dài thêm 5m, chiều rộng thêm 3m, do đó diện tích mảnh vườn tang thêm 255 m2
.Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn lúc đầu.
Bài 8: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 1 giờ 30 phút bể 
đầy. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 15 phút rồi khóa lại và sau đó mở vòi 2 chảy 
1
5

trong 20 phút thì được   bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu thì sẽ 
đầy bể.
Bài 9: Để hoàn thành một công việc theo dự định cần có một số công nhân làm 
trong một số ngày nhất định. Nếu bớt đi 3 công nhân thì phải mất thêm 6 ngày mới 
hoàn thành công việc. nếu tang thêm 2 công nhân thì công việc hoàn thành sớm hơn 

−
=2
2
3

1 1
+ =2
x y
c.
 
3 1
− =2
x y


1
3
+
=4
x + 2 2 y −1
d.
 
4
1
−
=3
x + 2 2 y −1

e.



x + my = 1
 
mx + y = 1

a) Giải hệ với m = ­2
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x + 2y = 5
c) Tìm các giá trị m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) với x , y là số nguyên
d)Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
IV. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ HỆ THỨC VIET
Bài 17. giải các phương trình sau:
a ) x 2 + 3 x − 4 = 0                                                         b)2 x 2 + x + 3 = 0  

(

)

(

)

c)3 x 2 + 3 + 2 x + 2 = 0                                        d ) x 2 − 5 + 2 7 x − 6 − 2 7 = 0  

Bài 18. giải các phương trình sau:
c) x 4 + 4 x 2 + 4 = 16 x 2 − 8 x + 1
x + 4 2x − 3
+
=2
2x − 3 x + 4
h) 5 − x + x + 3 = 2


Bài 20. Cho parabol (P) :  y = x 2  
a) Viết phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc  là k và đi qua M (1,5 ; ­1).
b) Tìm k để đường thẳng (d) và parabol (P) tiếp xúc nhau.
c) Tìm k để đường thẳng (d) và parabol (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.
Bài 21. Cho parabol (P) :  y = x 2   và đường thẳng  y = mx + m + 1  
a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một hệ trục tọa độ khi m = 1.
b) Tìm m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B.
c) Gọi  x1   và  x2   là hoành độ của A và B. Tìm m để  x1 − x2 = 2  
d) Tìm m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm nằm cùng bên trái của trục tung.
Bài 22. Cho phương trình  x 2 − 2 ( m +1) x + m − 4 = 0   m là tham số
a) giải phương trình khi m = ­ 5.


b) Tìm m để phương trình có nghiệm bằng 1. Tìm nghiệm còn lại nứng với m vừa 
tìm được.
c) Chứng minh rằng  phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
d) Chứng minh rằng biểu thức  A = x1 ( 1 − x2 ) + x2 ( 1 − x1 )   không phụ thuộc vào m.
e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm  x1 , x2   thỏa mãn  x 21 + x 2 2 = 10  
f) Tìm m để phương trình có hai nghiệm  x1 , x2  thỏa mãn  2 x1 + x2 = 3  
g) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
h) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương.
V. HÌNH HỌC
Bài 23. Cho (O)nhai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Cho M là một 
điểm thuộc đoạn OB (M khác O, B) . Tia CM cắt (O) tại N. Đường thẳng vuông 
góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn tại P. Chứng minh:
a) Tứ giác OMNP nội tiếp.
b) Tứ giác CMPO là hình bình hành.
c) CM, CN không phụ thuộc vào vị trí của M trên đoạn OB.
d) DP là tiếp tuyến của (O).

TỔ TỰ NHIÊN

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ II
Năm học 2017 ­ 2018
MÔN: TOÁN 9

I/ Mục tiêu
1. Về kiến thức:
A. Phần đại số
1. Phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: PP cộng đại số, PP thế
2. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, công thức nghiệm thu gọn
3. Hệ thức Vi – et
4. Đồ thị hàm số Parabol, và tương giao giữa Parabol với đường thẳng.
5. Các bước giải toán bằng cách lập phương trình – hệ phương trình.
B. Phần hình học
1. Góc với đường tròn: Các loại góc và các định lý liên hệ với số đo cung bị chắn, định lý 
liên hệ giữa các loại góc (góc nội tiếp, góc ở tâm, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, …)
2. Định nghĩa, tính chất và dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đường tròn.
3. Các công thức tính: diện tích hình tròn, hình quạt, chu vi hình tròn, độ dài cung tròn, ...
2. Về kĩ năng:
­ Học sinh có kĩ năng vận dụng các kiến thức đã học vào giải các dạng bài tập, lập luận 
chính xác, ngắn gọn và logic, cẩn thận trong tính toán, trình bày.
3. Về thái độ: 
­ Học sinh có ý thức ôn tập các nội dung đã học.
II/ Các dạng bài tập minh họa
Dạng 1. Giải phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau

{



f) 

2 x −1 − y −1 = 1
x −1 + y −1 = 2


15 7
2
1
4
5
5
− =9
+
=3
−
=
x y
x+ y x− y
x + y −1 2x − y + 3 2
g) 
h)  1
k) 
3
3
1
7
4 9
−

5
x
2x
8( x + 1)
e)  
+
= 2
−
=
f)  
x − 2 3 − x x − 5x + 6
x + 4 x − 2 (2 − x)(4 + x)
g)  ( x + 1)2 − 4( x 2 − 2 x + 1) = 0
h)   9( x − 2) 2 − 4( x − 1) 2 = 0
k) x3 – 3x2 – 3x – 4 = 0
l) (x2 – 3x)2 – 6(x2 – 3x) – 7 = 0
2

Dạng 2. Các bài toán về Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
2.1. Toán chuyển động
Bài 1. Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 25 km/h. Lúc về người đó đi với vận 
tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 5 km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 20 phút. Tính 
độ dài quãng đường AB
Bài 2.  Lúc 6 giờ, một ô tô xuất phát từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Khi đến B, người 
lái xe làm nhiệm vụ giao nhận hàng trong 30 phút rồi cho xe quay trở về A với vận tốc 
30 km/h. Tính quãng đường AB biết ô tô về đến A lúc 10 giờ cùng ngày
Bài 3. Hai người di xe đạp cùng lúc, ngược chiều nhau từ hai địa điểm A và B cách nhau 
42 km và gặp nhau sau 2 giờ. Tính vận tốc mỗi xe. Biết rằng người đi từ A mỗi giờ đi 
nhanh hơn người đi từ B là 3 km.
Bài 4. Lúc 7 giờ sáng, một người đi xe đạp khởi hành từ A với vận tốc 10 km/h. Sau đó 

Bài 12. Năm ngoái hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 600 tấn thóc. Năm 
nay, đơn vị 1 làm vượt mức 10%, đơn vị 2 làm vượt mức 20% so với năm ngoái. Do đó 
cả hai đơn vị thu hoạch được 685 tấn thóc. Hỏi năm nay, mỗi đơn vị đã thu hoạch được 
bao nhiêu tấn thóc?
2.4. Toán chung, riêng
Bài 13. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 2 giờ đầy bể. Nếu để 
mỗi vòi chảy riêng đầy bể thì vòi 1 chảy đầy bể nhanh hơn thời gian vòi 2 chảy đầy bể 
là 3 giờ. 
Bài 14. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau 4 giờ 48 phút đầy bể. Nếu vòi 1 chảy 
trong 4 giờ, vòi II chảy trong 3 giờ thì cả hai vòi chảy được 75% bể. Tính thời gian mỗi 
vòi chảy một mình đầy bể?
Bài 15. Hai công nhân nếu làm cùng 1 công việc thì sau 15 giờ xong. Hai người làm được 
8 giờ thì người thứ nhất được điều đi làm việc khác, người thứ 2 tiếp tục làm trong 21 
giờ nữa thì xong công việc. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người làm trong bao lâu mới 
xong công việc.
2.5. Toán quan hệ số, toán có nội dung hình học, dạng toán khác…
Bài 16. Tìm hai số biết hai lần số lớn lớn hơn ba lần số bé là 9 và hiệu các bình phương 
của chúng bằng 119.
Bài 17. Tìm tất cả các số tự nhiên có hai chữ số biết rằng tổng các chữ số của nó bằng 5 
và tổng các bình phương của hai chữ số của nó bằng 13.
Bài 18. Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu tăng chiều dài thêm 2m và tăng chiều rộng 
thêm 3m thì diện tích tăng 100m2. Nếu cùng giảm chiều dài và chiều rộng đi 2m thì diện 
tích giảm 68m2. Tính diện tích thửa ruộng đó.
Bài 19. Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280m. Người ta làm một lối đi xung quanh 
vườn (thuộc đất của vườn) rộng 2m, diện tích còn lại của khu vườn là 4256m2. Tính các 
kích thước của khu vườn.
Bài 20. Trong hội trường có một số ghế băng, mỗi ghế băng quy định số người ngồi như 
nhau. Nếu bớt 2 ghế băng và mỗi ghế băng ngồi thêm 1 người thì thêm được 8 chỗ. Nếu 
thêm 3 ghế băng và mỗi ghế ngồi rút đi 1 người thì giảm 8 chỗ. Tính số ghế băng trong 
hội trường.

giác IHK vuông tại I.
Bài 4. Trong cùng một mặt phẳng tọa độ, cho parabol (P): y = kx2 (k  0) (a là tham số)
Và hai đường thẳng (d1): y = x + 1 và (d2): x + 2y + 4 = 0
a) Tìm tọa độ giao điểm A của d1 và d2
b) Tìm giá trị của k để (P) đi qua A. Vẽ (P) với giá trị k vừa tìm được
c) Viết phương trình đừng thẳng d biết d tiếp xúc với (P) tại A.
1
Bài 5. Cho (P): y =  − x 2  và đường thẳng d: y = mx – 2m – 1
4
a) Vẽ (P)
b) Tìm m để d tiếp xúc với (P)
c) Chứng tỏ d luôn đi qua 1 điểm cố định A thuộc (P).
Dạng 4. Các bài toán về áp dụng Hệ thức Vi­et; quan hệ giữa đường thẳng và 
Parabol
Bài 1. Cho Parabol y = x2  (P) và đường thẳng d: y = mx – m + 1.
Tìm m để d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B có hoành độ  x1 , x 2 thỏa mãn điều kiện:
a)  x1 + x 2 = 4                                        b)  x1 = 9x 2
Bài 2.  Cho parabol (P) y = ­ x2 và đường thẳng d: y = mx ­2
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B;
b) Gọi x1, x2 là hoành độ của A và B. Tìm m sao cho  x12 x2 + x1 x22 = 2018 .


Bài 3. Cho đường thẳng d: y = 2x + m + 1 và parabol (P): y = x2. Tìm m sao cho đường 
thẳng d cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt ở bên phải trục tung.
Bài 4.  Cho parabol (P):  y = x2 và đường thẳng d: mx – m+1. Tìm m sao cho đường thẳng 
d cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt nằm ở hai phía của trục tung.
Bài 5. Cho (P): y = x2 và đường thẳng d: y = 2mx – 2m + 3. 
a) Tìm tọa độ các điểm thuộc (P) biết tung độ của chúng bằng 2
b) Chứng minh với mọi giá trị của tham số m, đường thẳng d luôn cắt (P) tại 2 điểm 
phân biệt

b) Tìm m để biểu thức  B =  x1  +  x2 −  3 x1x2   đạt giá trị lớn nhất.
c) Tìm m để biểu thức   C = x12 +  x2 2  −  x1x2  đạt giá trị lớn nhất.
Dạng 5. Hình học tổng hợp
Bài 1: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ hai tia tiếp tuyến Ax, By với nửa 
đường tròn. Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại M cắt Ax, By lần lượt tại C và D. Nối 
MA cắt OC tại E. Nối MB cắt OD tại F.
1. Chứng minh OEMF là hình chữ nhật;
      2. Chứng minh khi M chuyển động trên nửa đường tròn thì AC. BD không đổi;


3. Cho BD =  R 3 . Tính độ dài AM
 4. Hạ MH vuông góc AB tại H. Chứng minh rằng: Khi M chuyển động trên nửa đường 
tròn (O; R) thì đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF luôn đi qua một điểm cố định. 
Bài 2: Cho đường (O; R) và đường thẳng d không có điểm chung với đường tròn. Gọi M 
là điểm thuộc đường thẳng d.Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn. Hạ OH 
vuông góc d tại H. Nối AB cắt OH tại K, cắt OM tại I. Tia OM cắt đường tròn (O; R) tại 
E.
1. Chứng minh bốn điểm A, O, B, M thuộc cùng một đường tròn,
2. Chứng minh OK.OH = OI. OM;
3. Chứng minh E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB;
4. Tìm vị trí của M trên đường thẳng d để diện tích tam giác OIK có giá trị lớn nhất.
Bài 3: Cho đường tròn (O; R) có hai đường kính AB và CD vuông góc. Gọi I là trung 
điểm OB. Nối CI cắt đường tròn ( O; R) tại E. Nối AE cắt CD tại H, nối BD cắt AE tại 
K.
a) Chứng minh BOHE là tứ giác nội tiếp                 b) Chứng minh AH. AE = 2R 
ﾷ
c) Tính tan BAE
                                                         d) Chứng minh OK   BD.
Bài 4. Cho tam giác ABC nhọn, có H là trực tâm, nội tiếp đường tròn tâm O đường kính 
AM = 2R

Bài 2. Gấp hình hộp chữ nhật
Để đựng đồ vật người ta thường dùng các hộp là hình hộp chữ nhật( Hình A), đơn  
16cm
giản nhất người ta thường lấy một tấm bìa hình chữ  nhật, cắt đi ở  4 góc 4 hình vuông
 
bằng nhau và gấp lên, ta được một hộp không nắp. (Hình B ­ Tấm bìa hình vuông cạnh  
12 cm, Hình C ­ Tấm bìa hình chữ nhật cạnh là 8 cm, 16 cm)

12cm

HìnhA

8cm

HìnhC

HìnhB

a) Khi thực hiện gấp hộp theo (Hình C), hình vuông cắt đi có cạnh là 2 cm. Hỏi diện tích  
đáy của hộp là bao nhiêu?
b) Khi thực hiện gấp hộp theo (Hình B), (Hình C), mà hình vuông cắt đi ở cả hai trường 
hợp có cạnh như nhau. Hỏi thể tích hộp gấp theo hình nào lớn hơn? Tại sao?
Bài 3. Kem tươi là một loại kem được làm từ sữa tươi nguyên chất, có độ mềm, xốp, 
thơm ngon và ngậy béo.  Để chứa kem tươi, người ta thường đựng bằng ly thủy tinh. 
Bạn Minh Giang đã lấy một chiếc ly  thủy tinh để đựng kem. Phần thân chiếc ly  dạng 
hình nón có độ dài đường kính đáy và đường sinh bằng nhau. Minh Giang bỏ một viên 
kem hình cầu tiếp xúc với hai thành của ly. Đỉnh cao nhất của quả cầu kem cao bằng 
miệng của ly ( hình vẽ ) . Biết rằng  bán kính quả cầu kem có độ dài bằng R ( R>0,đơn 
vị cm ). Hãy tính thể tích theo R phần hình nón nằm bên ngoài quả cầu kem.  
/>( coi độ dày thành ly không đáng kể)