BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LÊ VĂN HIỂN

MỘT SỐ KẾT QUẢ
VỀ TÍNH DƯỚI CHÍNH QUY MÊTRIC
TRONG GIẢI TÍCH BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 9 46 01 02

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2019


Công trình được hoàn thành tại trường Đại học Vinh

Người hướng dẫn khoa học:
1. TS. Nguyễn Huy Chiêu
2. PGS. TS. Đinh Huy Hoàng

Phản biện 1:

Phản biện 2:

Phản biện 3:

Luận án sẽ được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án cấp trường Đại học Vinh
vào hồi ... ngày ... tháng ... năm ...

Tính dưới chính quy mêtric là một trong những tính chất chính quy đáng chú ý
trong giải tích biến phân bậc nhất. Gần đây, đã có nhiều công trình nghiên cứu về
tính dưới chính quy mêtric trong giải tích biến phân bậc hai. Tuy vậy, vai trò của
tính chất này trong giải tích biến phân bậc hai vẫn là một vấn đề thú vị cần được
khảo sát thêm.
Với các lý do như thế, chúng tôi lựa chọn đề tài luận án của mình là “Một số
kết quả về tính dưới chính quy mêtric trong giải tích biến phân và ứng
dụng”.


4

2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận án là thiết lập các kết quả nghiên cứu mới dựa vào việc khảo
sát hai vấn đề cơ bản nêu trên, góp phần làm rõ vai trò của tính dưới chính quy
mêtric trong giải tích biến phân và ứng dụng.
3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận án là các tính chính quy trong giải tích biến
phân, đạo hàm đồ thị dưới gradient, tính ổn định xiên (tilt stability) và tính chất
tĩnh lặng cô lập (isolated calmness).
4. Phạm vi nghiên cứu
- Đối với vấn đề thứ nhất, luận án tập trung nghiên cứu khả năng của đạo hàm
đồ thị dưới gradient trong việc nhận biết tính ổn định xiên cho các bài toán tối ưu
không ràng buộc với hàm mục tiêu chính quy gần kề. Đồng thời, luận án cũng quan
tâm đến các bài toán quy hoạch phi tuyến ràng buộc bất đẳng thức thỏa mãn điều
kiện dưới chính quy mêtric với hàm mục tiêu và các hàm ràng buộc khả vi liên tục
hai lần.
- Đối với vấn đề thứ hai, luận án tập trung vào việc tính đạo hàm đồ thị dưới
gradient cho một lớp ánh xạ nón pháp tuyến với điều kiện dưới chính quy mêtric
và sử dụng kết quả tính toán này để khảo sát tính chất tĩnh lặng cô lập của ánh xạ

ưu. Thuật ngữ “dưới chính quy mêtric” được đề xuất năm 2004 bởi A. L. Dontchev
và R. T. Rockafellar. Tính dưới chính quy mêtric của ánh xạ đa trị tương đương
với tính chất tĩnh lặng (calmness) của ánh xạ ngược. Năm 2008, A. D. Ioffe và J.
V. Outrata đã thiết lập được hệ thống quy tắc tính toán cho các cấu trúc vi phân
suy rộng bậc nhất dạng đối ngẫu với điều kiện dưới chính quy mêtric. Gần đây, các
nhà nghiên cứu cũng đã thiết lập được nhiều quy tắc tính toán cho các cấu trúc vi
phân suy rộng bậc hai với giả thiết dưới chính quy mêtric.
Đạo hàm đồ thị (graphical derivative) của ánh xạ đa trị tại điểm thuộc đồ thị
là ánh xạ đa trị có đồ thị là nón tiếp tuyến của đồ thị ánh xạ đa trị đã cho tại điểm
được xem xét. Khái niệm này được J. -P. Aubin đề xuất năm 1981 với tên gọi là
đạo hàm contingent. Thuật ngữ đạo hàm đồ thị đã được sử dụng trong cuốn sách
chuyên khảo “Variational Analysis” xuất bản năm 1998 của R. T. Rockafellar và R.
J. -B. Wets và hiện nay nó là thuật ngữ thông dụng để chỉ khái niệm trên. Đạo hàm
đồ thị là công cụ mạnh trong giải tích biến phân. Nó đã được dùng để nghiên cứu
tính ổn định của các hệ ràng buộc, hệ biến phân và tổng quát hơn là các phương
trình suy rộng. Đạo hàm đồ thị còn có thể sử dụng để đặc trưng một số tính chất
tốt của ánh xạ đa trị như tính chính quy mêtric, tính chất Aubin, tính chất tĩnh
lặng cô lập và tính dưới chính quy mêtric mạnh. Mặc dù là chìa khóa để giải quyết
nhiều vấn đề quan trọng trong giải tích biến phân, tính toán đạo hàm đồ thị nói
chung là bài toán khó. Nó đã được nhiều người nghiên cứu trong thời gian dài và
nhiều kết quả thú vị theo hướng này đã được thiết lập.
Xét tập Γ cho bởi công thức Γ := x ∈ Rn | q(x) ∈ Θ , trong đó q : Rn → Rm ,
q(x) = (q1 (x), q2 (x), ..., qm (x)), là ánh xạ khả vi liên tục hai lần và Θ ⊂ Rm là tập
đóng khác rỗng. Đặt Mq (x) := q(x) − Θ với x ∈ Rn . Nếu Θ = Rm
− thì Γ là miền
ràng buộc của quy hoạch phi tuyến và, trong trường hợp này, chuẩn hóa ràng buộc
Mangasarian-Fromovitz (MFCQ) đúng tại x
¯ ∈ Γ khi và chỉ khi ánh xạ Mq chính
quy mêtric quanh (¯
x, 0). Hơn nữa, nếu thêm giả thiết qi : Rn → R, i = 1, 2, ..., m,

một cách thỏa đáng bài toán tính đạo hàm đồ thị của ánh xạ nón pháp tuyến. Sử
1
dụng lược đồ này cho trường hợp Θ := {0Rm1 } × Rm−m
với chuẩn hóa ràng buộc
−
dưới chính quy mêtric, năm 2015, H. Gfrerer và B. S. Mordukhovich đã chứng tỏ
rằng kết quả tương tự vẫn đúng nếu thay điều kiện chính quy mêtric đều bởi điều
kiện yếu hơn, đó là tính chất điểm cực biên bị chặn (BEPP) được thỏa mãn.
Kết quả tính toán đạo hàm đồ thị của A. L. Dontchev và R. T. Rockafellar và
các kết quả thiết lập về sau nói chung là độc lập với nhau. Tuy nhiên, về bản chất,
chúng đều có giả thiết là thỏa mãn chuẩn hóa dưới chính quy mêtric và một tính
chất nào đó thêm vào. Điều này dẫn tới câu hỏi tự nhiên như sau: Liệu chúng ta có
thể hợp nhất các kết quả tính toán đạo hàm đồ thị của ánh xạ nón pháp tuyến bằng
cách bỏ tính chất thêm vào được không? Nói cách khác, các công thức tính đạo hàm
đồ thị của ánh xạ nón pháp tuyến đã đề cập ở trên có còn đúng không nếu chỉ giả
thiết Mq dưới chính quy mêtric?
Trong Chương 2, với giả thiết Mq dưới chính quy mêtric tại điểm được xem xét
và Θ là tập lồi đa diện, bỏ tính chất thêm vào, chúng tôi chứng minh được công
thức tính đạo hàm đồ thị của ánh xạ nón pháp tuyến như trên vẫn đúng và như vậy
trả lời được một cách khẳng định cho câu hỏi nêu trên. Để thiết lập công thức này,
chúng tôi đã sử dụng lược đồ chứng minh của H. Gfrerer và J. V. Outrata kết hợp
với một ý tưởng của A. D. Ioffe và J. V. Outrata. Nhờ công thức tính đạo hàm đồ
thị của ánh xạ nón pháp tuyến, chúng tôi thu được công thức tính đạo hàm đồ thị
của ánh xạ nghiệm và đặc trưng được tính chất tĩnh lặng cô lập của ánh xạ nghiệm
cho một lớp phương trình suy rộng. Kết quả của chúng tôi hợp nhất được nhiều kết
quả liên quan theo hướng nghiên cứu này.
Ổn định xiên (tilt stability) là một tính chất của cực tiểu địa phương đảm
bảo điểm này sẽ dịch chuyển kiểu Lipschitz khi hàm mục tiêu của bài toán tối ưu
chịu nhiễu tuyến tính nhỏ. Khái niệm ổn định xiên được R. A. Poliquin và R. T.
Rockafellar giới thiệu cho bài toán tối ưu không ràng buộc với hàm mục tiêu là hàm

quy vào thì họ đã thu được đặc trưng bậc hai cho cực tiểu địa phương ổn định xiên.
Thay vì sử dụng các dưới vi phân bậc hai, chúng tôi sử dụng đạo hàm đồ thị của
ánh xạ dưới gradient để đặc trưng tính ổn định xiên. Đây là cách tiếp cận nghiên
cứu ổn định xiên chưa từng được sử dụng bởi các tác giả khác. Lợi thế của cách
tiếp cận này là hiện nay đã có sẵn các công thức tính đạo hàm đồ thị dưới gradient
trong nhiều trường hợp với giả thiết khá nhẹ. Hơn nữa, một số kết quả về tính ổn
định xiên đã được thiết lập dựa trên tính toán đạo hàm đồ thị dưới gradient như là
một bước trung gian. Các quan sát này dẫn đến các câu hỏi tự nhiên như sau:
Liệu chúng ta có thể sử dụng đạo hàm đồ thị dưới gradient để đặc trưng tính ổn
định xiên của cực tiểu địa phương của bài toán tối ưu không ràng buộc với hàm mục
tiêu chính quy gần kề và liên tục dưới vi phân được không? Nếu có thì đặc trưng này
có thể giúp chúng ta cải thiện các kết quả đã thiết lập về tính ổn định xiên cho bài
toán quy hoạch phi tuyến được không? Giả thiết chính quy gần kề có bỏ được không?
Chương 3 của luận án sẽ trả lời các câu hỏi trên một cách đầy đủ, cụ thể: Chúng
tôi thiết lập được đặc trưng tính ổn định xiên của cực tiểu địa phương của bài toán
tối ưu không ràng buộc thông qua đạo hàm đồ thị dưới gradient; áp dụng kết quả
này vào quy hoạch phi tuyến thỏa mãn MSCQ, chúng tôi thu được các điều kiện
cần, đủ cho cực tiểu địa phương ổn định xiên.
7.2. Cấu trúc luận án
Nội dung luận án được trình bày trong 3 chương.
Chương 1 được dành để trình bày các kiến thức chuẩn bị, làm cơ sở cho việc giới
thiệu các kết quả chính của luận án trong hai chương sau.
Chương 2 tập trung nghiên cứu công thức tính đạo hàm đồ thị của ánh xạ nón
pháp tuyến cho trường hợp Θ là tập lồi đa diện với Mq là dưới chính quy mêtric và
các áp dụng của công thức này. Mục 2.1 được dành để thiết lập công thức tính toán
đạo hàm đồ thị của ánh xạ nón pháp tuyến. Mục 2.2 cung cấp các kết quả về tính
đạo hàm đồ thị và đặc trưng tính tĩnh lặng cô lập của ánh xạ nghiệm cho một lớp
phương trình suy rộng chứa tham số.



Miền hữu hiệu, ảnh và đồ thị của ánh xạ đa trị F : Rn ⇒ Rm được định nghĩa
tương ứng bởi
domF := x ∈ Rn | F (x) = ∅ ,
rgeF := y ∈ Rm | ∃x ∈ Rn sao cho y ∈ F (x) ,
gphF := (x, y) ∈ Rn × Rm | y ∈ F (x) .
Ánh xạ ngược F −1 : Rm ⇒ Rn được định nghĩa bởi

F −1 (y) = x ∈ Rn | y ∈ F (x) , với mọi y ∈ Rm .
1.1.2 Định nghĩa. Cho Ω là tập con khác rỗng của Rn .

(i) Nón tiếp tuyến (Bouligand-Severi)/contingent của Ω tại x¯ ∈ Ω kí hiệu là
TΩ (¯
x) và được định nghĩa bởi
TΩ (¯
x) := v ∈ Rn | tồn tại tk ↓ 0, vk → v với x¯ + tk vk ∈ Ω với mọi k ∈ N .
(ii) Nón pháp tuyến chính quy (Fréchet) của Ω tại x¯ ∈ Ω kí hiệu là NΩ (¯
x) và


10

được cho bởi

NΩ (¯
x) := v ∈ Rn | lim sup
Ω

x→¯
x


x, y¯)

với mọi v ∈ Rn ,

nghĩa là, gphDF (¯
x|¯
y ) := TgphF (¯
x, y¯).

(ii) Đối đạo hàm chính quy của F tại điểm (¯
x, y¯) ∈ gphF là ánh xạ đa trị
m
n
D F (¯
x, y¯) : R ⇒ R được định nghĩa bởi
∗

D∗ F (¯
x, y¯)(y ∗ ) := x∗ ∈ Rn | (x∗ , −y ∗ ) ∈ NgphF (¯
x, y¯)

với mọi y ∗ ∈ Rm .

Trong trường hợp F (¯
x) = {¯
y }, ta viết DF (¯
x) và D∗ F (¯
x) thay cho DF (¯
x|¯
y ) và

x) ⊂ ∂ϕ(¯
x) và nếu ϕ là hàm lồi thì cả ∂ϕ(¯
x) và ∂ϕ(¯
x) trùng với
dưới vi phân theo nghĩa giải tích lồi:

∂ϕ(¯
x) = ∂ϕ(¯
x) = x∗ ∈ Rn | x∗ , x − x¯ ≤ ϕ(x) − ϕ(¯
x) với mọi x ∈ Rn .


11

1.1.8 Định nghĩa Cho hàm giá trị thực suy rộng f : Rn → R.
(i) Miền hữu hiệu của f được định nghĩa bởi domf := x ∈ Rn | f (x) < ∞ .
(ii) Hàm f được gọi là chính thường nếu domf = ∅ và f (x) > −∞, ∀x ∈ Rn .
(iii) Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới tại x nếu lim inf f (u) ≥ f (x).
u→x

(iv) Hàm f được gọi là chính quy gần kề tại x
¯ ∈ dom f đối với v¯ ∈ ∂f (¯
x) nếu
tồn tại r, ε > 0 sao cho với mọi x, u ∈ Bε (¯
x) với |f (u) − f (¯
x)| < ε, ta có
r
f (x) ≥ f (u) + v, x − u − x − u 2
(1.1)
2

y ) với mọi x ∈ Br (¯
x).
Kí hiệu:

(1.3)

subreg F (¯
x|¯
y ) := inf κ ∈ R+ | ∃ r > 0 sao cho (1.3) đúng .

Sử dụng tính chất dưới chính quy mêtric, H. Gfrerer và B. S. Mordukhovich đã
giới thiệu chuẩn hóa ràng buộc dưới chính quy mêtric cho bài toán quy hoạch phi
tuyến và trên cơ sở đó chúng tôi đã giới thiệu cho trường hợp tổng quát sau.
1.2.8 Định nghĩa Xét tập ràng buộc
Γ := {x ∈ Rn | q(x) ∈ Θ},
ở đây q : Rn → Rm là ánh xạ khả vi liên tục hai lần và Θ là tập con đóng, khác
rỗng của Rm . Ta nói chuẩn hóa ràng buộc dưới chính quy mêtric (MSCQ) đúng tại
x¯ ∈ Γ nếu ánh xạ Mq (x) := q(x) − Θ dưới chính quy mêtric tại (¯
x, 0).
Tiếp theo, chúng tôi nhắc lại một số điều kiện chuẩn hóa đã biết trong quy hoạch
phi tuyến.
1.2.9 Định nghĩa Xét Γ là miền ràng buộc của bài toán quy hoạch phi tuyến

Γ := x ∈ Rn | q(x) ∈ Rm
− ,


12

ở đây q(x) := q1 (x), ..., qm (x)) với qi : Rn → R là các ánh xạ khả vi liên tục hai

T
∗
Λ(x, x∗ ) := λ ∈ Rm
/ I(x) .
+ | ∇q(x) λ = x , λi = 0 với i ∈


13

CHƯƠNG 2
ĐẠO HÀM CỦA ÁNH XẠ NÓN PHÁP TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN
DƯỚI CHÍNH QUY MÊTRIC

Chương này trình bày công thức tính đạo hàm đồ thị của ánh xạ nón pháp tuyến
với điều kiện dưới chính quy mêtric cùng với các ứng dụng của nó.

2.1

Tính toán đạo hàm của ánh xạ nón pháp tuyến

Trong mục này ta giả sử

Γ := {x | q(x) ∈ Θ},
ở đây q : Rn → Rm là ánh xạ khả vi hai lần và Θ là tập lồi đa diện trong Rm
−.
∗
Với x
¯ ∈ Γ và x¯ ∈ NΓ (¯
x), đặt


ở đây NΘ (¯
y ) = pos{bi | i ∈ Iq (¯
x) và TNΘ (¯y) (λ) = pos{bi | i ∈ Iq (¯
x) − R+ λ. Vì vậy,
với v ∈ K, ta có




⊥
T
∗
NK (v) =
ti bi ∇q(¯
x) − t0 x¯ | t0 , ti ∈ R+ , i ∈ Iq (¯
x) ∩ v .
(2.2)


i∈Iq (¯
x)


14

Bây giờ, chúng tôi trình bày kết quả chính của mục này, kết quả này đưa ra công
thức tính đạo hàm đồ thị của ánh xạ nón pháp tuyến NΓ trong trường hợp Θ là lồi
đa diện với điều kiện đặt ra rất yếu (MSCQ).
2.1.10 Định lý. Giả sử MSCQ thỏa mãn tại x
¯ ∈ Γ, x¯∗ ∈ NΓ (¯

2.1.13. Hệ quả. Dưới các giả thiết của Định lý 2.1.10, ta có

D∗ NΓ (¯
x, x¯∗ )(u∗ ) = u |

u, v − u∗ , ∇2 λT q (¯
x)v ≤ 0,
với mọi v ∈ K, λ ∈ Λ(v), −u∗ ∈ TK (v) .

2.2

Áp dụng vào lý thuyết phương trình suy rộng

Xét phương trình suy rộng có tham số sau:

0 ∈ F (x, y) + NΓ (x),

(2.5)

ở đây F : Rn × Rs → Rn là ánh xạ khả vi liên tục, x là biến, y là tham số và
Γ := {x ∈ Rn | q(x) ∈ Θ}, Θ là tập lồi đa diện khác rỗng trong Rm , q : Rn → Rm là
ánh xạ khả vi liên tục hai lần. Kí hiệu S là ánh xạ nghiệm của phương trình (2.5),
được cho bởi
S(y) := x ∈ Rn | 0 ∈ F (x, y) + NΓ (x) .


15

2.2.2 Định lý. Cho (¯
y , x¯) ∈ gphS và Mq là dưới chính quy mêtric tại (¯

y , x¯) ∈ gphS và x¯∗ := −F (¯
x, y¯), ta có

DS(¯
y |¯
x)(z) ⊂ v | − ∇y F (¯
x, y¯)z ∈ ∇x F (¯
x, y¯)v + NK (v) ,

(2.7)

với mọi z ∈ Rs .
Bao hàm thức (2.7) xảy ra dấu bằng nếu ∇y F (¯
x, y¯) toàn ánh.
1
2.2.6 Hệ quả. Xét (2.5) với Θ := {0Rm1 } × Rm−m
và (¯
y , x¯) ∈ gphS. Giả sử CRCQ
−
thỏa mãn tại x
¯. Khi đó, ta có

DS(¯
y |¯
x)(z) ⊂ v | − ∇y F (¯
x, y¯)z ∈ ∇x F (¯
x, y¯)v + ∇2 λT q (¯
x)v + NK (v) , (2.8)
với mọi z ∈ Rs và λ ∈ Λ. Bao hàm thức (2.8) xảy ra dấu bằng nếu ∇y F (¯
x, y¯)

y , x¯). Ngược lại, nếu S có tính chất tĩnh
lặng cô lập tại (¯
y , x¯) và ∇y F (¯
x, y¯) toàn ánh thì (2.9) đúng.
2.2.10 Hệ quả. Xét phương trình suy rộng (2.5) với Γ := Θ, n = m và q := In là
ánh xạ đồng nhất trong Rn . Giả sử (¯
y , x¯) ∈ gphS và x¯∗ := −F (¯
x, y¯). Khi đó, nếu

(∇x F (¯
x, y¯) + NK )−1 (0) = {0}

(2.10)

thì S có tính chất tĩnh lặng cô lập tại (¯
y , x¯).
Ngoài ra, nếu rank∇y F (¯
x, y¯) = n thì tính chất (2.10) là điều kiện cần và đủ để S
có tính chất tĩnh lặng cô lập tại (¯
y , x¯).
Tiếp theo ta xét phương trình suy rộng có tham số.

w ∈ F (x, y) + NΓ (x),

(2.11)

ở đây F : Rn × Rs → Rn là ánh xạ khả vi liên tục, x là biến và p := (y, w) là
tham số, Γ := {x ∈ Rn | q(x) ∈ Θ} với Θ ⊂ Rm là tập lồi đa diện khác rỗng và
q : Rn → Rm là ánh xạ khả vi liên tục hai lần.
Gọi S : Rs × Rn ⇒ Rn là ánh xạ nghiệm của (2.11), nghĩa là,

Như đã biết, ánh xạ điểm dừng XKKT (p) là một trường hợp đặc biệt của ánh
xạ đa trị S(p) cho bởi (2.12). Vì vậy, nhờ Định lý 2.2.11, chúng tôi thu được đặc
trưng tính tĩnh lặng cô lập của ánh xạ điểm dừng của Bài toán (2.13) như sau.


17

2.2.12 Hệ quả.Giả sử (¯
p, x¯) ∈ gphXKKT và Mq là dưới chính quy mêtric tại (¯
x, 0).
Khi đó, các khẳng định sau là tương đương.

(i) Nếu 0 ∈ ∇x L(¯
x, p¯, λ)v + NK (v), λ ∈ Λ(v), v ∈ Rn thì v = 0,
ở đây L : Rn × Rs × Rn × Rm → Rn được định nghĩa bởi
L(x, p, λ) := ∇x g(x, y) − w + ∇q(x)T λ với p := (y, w).
(ii) Ánh xạ XKKT (p) có tính chất tĩnh lặng cô lập tại (¯
p, x¯).


18

CHƯƠNG 3
ỔN ĐỊNH XIÊN THÔNG QUA ĐẠO HÀM CỦA ÁNH XẠ DƯỚI
VI PHÂN CHO MỘT LỚP BÀI TOÁN TỐI ƯU VỚI GIẢ THIẾT
CHÍNH QUY GẦN KỀ

Trong chương này, chúng tôi thiết lập đặc trưng bậc hai mới thông qua đạo hàm
đồ thị dưới gradient của cực tiểu địa phương ổn định xiên cho bài toán tối ưu không
ràng buộc với hàm mục tiêu chính quy gần kề và liên tục dưới vi phân. Sau đó, áp

x). Giả sử f là hàm chính quy gần kề và liên tục dưới vi phân
tại x
¯ đối với v¯ = 0. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương.
(i) x
¯ là cực tiểu địa phương ổn định xiên của f với môđun κ > 0.


19

(ii) Tồn tại hằng số η > 0 sao cho với mọi w ∈ Rn ta có

z, w ≥

1
w 2,
κ

(3.1)

ở đây z ∈ D∂f (u, v)(w) với (u, v) ∈ gph ∂f ∩ Bη (¯
x, 0).
Hơn nữa, ta có

tilt (f, x¯) = inf sup
η>0

w 2
z ∈ D∂f (u|v)(w), (u, v) ∈ gph ∂f ∩ Bη (¯
x, 0) , (3.2)
z, w



 1
nếu |x| > 1.
Khi đó x
¯ = 0 là cực tiểu địa phương ổn định xiên và f liên tục dưới vi phân nhưng
không chính quy gần kề tại x
¯ = 0 đối với v¯ = 0 ∈ ∂f (0), trong khi khẳng định (ii)
trong Định lý 3.1.3 không đúng.
3.1.5 Ví dụ. Cho f : R2 → R là hàm được cho bởi

f (x) := x21 + x22 + δΩ (x1 , x2 ),
ở đây Ω := {(x1 , x2 ) ∈ R2 | x1 x2 = 0} và x = (x1 , x2 ). Khi đó f không chính quy
gần kề tại x
¯ = 0 đối với v¯ = 0 ∈ ∂f (0) và x¯ không là cực tiểu địa phương ổn định
xiên, trong khi khẳng định (ii) trong Định lý 3.1.3 đúng.

3.2

Ổn định xiên trong quy hoạch phi tuyến với giả thiết
dưới chính quy mêtric

Xét bài toán quy hoạch phi tuyến:
min g(x) | qi (x) ≤ 0, i = 1, 2, ..., m ,

(3.3)

ở đây g : Rn → R và qi : Rn → R là các hàm khả vi liên tục hai lần với mọi
i = 1, 2, ..., m.
Đặt q(x) := q1 (x), q2 (x), ..., qm (x) , với x ∈ Rn và Γ := {x ∈ Rn | q(x) ∈ Rm


I + (λ) := {i = 1, . . . , m | λi > 0} với λ ∈ Rm
+.

Tiếp theo, chúng tôi đưa ra một điều kiện đủ bậc hai mới, nó là mở rộng của điều
kiện đủ bậc hai đều (USOSC) đã được giới thiệu năm 2015 bởi B. S. Mordukhovich
và T. T. A. Nghia.
3.2.2 Định nghĩa. Ta nói điều kiện đủ bậc hai đều nới lỏng (RUSOSC) đúng tại
x¯ ∈ Γ với môđun > 0 nếu tồn tại η > 0 sao cho

∇2xx L(x, λ)w, w ≥

w 2,

(3.4)

với mọi (x, v) ∈ gphΨ ∩ Bη (¯
x, 0), ở đây Ψ : Rn ⇒ Rn , Ψ(x) := ∇g(x) + NΓ (x) và
λ ∈ Λ x, v − ∇g(x); w với w ∈ Rn thỏa mãn

∇qi (x), w = 0 với i ∈ I + (λ), ∇qi (x), w ≥ 0 với i ∈ I(x)\I + (λ).

(3.5)

Bây giờ, chúng tôi đi đến kết quả đầu tiên trong mục này, đó là đặc trưng tính
ổn định xiên của bài toán quy hoạch phi tuyến theo RUSOSC và một phiên bản sửa
đổi của nó.
3.2.5 Định lý. Cho điểm dừng x
¯ ∈ Γ và các số thực κ, γ > 0, giả sử MSCQ đúng
tại x


∇2xx L(x, λ)w, w ≥

1
w
κ

2

với mọi (x, v) ∈ gphΨ ∩ Bη (¯
x, 0), λ ∈ Λ x, v − ∇g(x) , ∇qi (x), w = 0 với
+
i ∈ I (λ) và ∇qi (x), w ≥ 0 với i ∈ I(x)\I + (λ).
Tiếp theo, chúng tôi đưa ra một điều kiện đủ bậc hai tại điểm đang xét của tính
ổn định xiên với điều kiện MSCQ.
3.2.9 Định lý. Cho điểm dừng x
¯ ∈ Γ và số thực κ, γ > 0, giả sử MSCQ đúng tại x¯
với γ > subreg Mq (¯
x|0) và điều kiện bậc hai sau đây đúng.

∇2xx L(¯
x, λ)w, w >

1
w
κ

2

(3.6)

với qui ước 0/0 := 0 trong (3.7).
Định lý dưới đây cung cấp một điều kiện đủ bậc hai khác cho cực tiểu ổn định
xiên mà không có sự xuất hiện của κ trong (3.6).
3.2.11 Định lý Cho điểm dừng x
¯ ∈ Γ và số thực γ > 0, giả sử MSCQ đúng tại x¯,
số dương γ > subreg Mq (¯
x|0) và điều kiện bậc hai sau đúng.

w, ∇2xx L(¯
x, λ)w > 0 với mọi w = 0, ∇qi (¯
x), w = 0, i ∈ I + (λ),
Λ x¯, −∇g(¯
x); v
γ ∇g(¯
x) BRm .
và
λ ∈ ∆(¯
x) :=

(3.8)

0=v∈K x
¯,−∇g(¯
x)

Khi đó, x
¯ là cực tiểu địa phương ổn định xiên của (3.3).
3.2.12 Định nghĩa Ta nói điều kiện đủ bậc hai mạnh (SSOSC) đúng tại x
¯ ∈ Γ nếu
với mọi λ ∈ Λ x


có nghiệm (u, w) ∈ Rm × Rm , ở đây [∇2 g(¯
x)v, w] được hiểu là s-vectơ cột với các
2
thành phần ∇ gi (¯
x)v, w , i = 1, ..., s.
Với mỗi x
¯ ∈ Γ và v ∈ TΓlin (¯
x), kí hiệu

I(¯
x, v) := i ∈ I(¯
x)
Ξ(¯
x, v) := z ∈ Rn
C(¯
x, v) := C

∇qi (¯
x), v = 0 ,

∇qi (¯
x), z + v, ∇2 qi (¯
x)v ≤ 0 với i ∈ I(¯
x) ,

C = i ∈ I(¯
x, v) |

∇qi (¯

(a) x¯ là không suy thoái theo hướng v;
(b) Với mỗi λ ∈ Λ x¯, −∇g(¯
x); v ∩ γ ∇g(¯
x) BRm tồn tại phần tử cực đại C ∈
C(¯
x, v) với I + (λ) ⊂ C sao cho ánh xạ (qi )i∈C là 2-chính quy tại x¯ theo hướng v .
Khi đó, ta có

1
w 2
κ
+
I (λ), λ

w, ∇2xx L(¯
x, λ)w ≥
với mọi

∇qi (¯
x), w

=

0,

∈

i

(3.10)

x), w = 0, i ∈ I + (λ)
(3.11)


23

với qui ước 0/0 := 0 trong (3.11).
Kết hợp Định lý 3.2.9, Định lý 3.2.11 và Định lý 3.2.20, ta đi đến kết quả đặc
trưng bậc hai cho tính ổn định xiên của Bài toán (3.3) sau.
3.2.21 Hệ quả. Cho x
¯ là điểm dừng của Bài toán (3.3), MSCQ thỏa mãn tại x¯ và
γ > subreg Mq (¯
x|0). Giả sử với mọi 0 = v ∈ K x¯, −∇g(¯
x) một trong các điều
kiện (a) và (b) cho trong Định lý 3.2.20 thỏa mãn. Khi đó, các khẳng định sau đúng.

(i) Với κ > 0, x¯ là cực tiểu địa phương ổn định xiên của (3.3) với bất kì môđun
κ > κ nếu và chỉ nếu điều kiện bậc hai (3.10) thỏa mãn;
(ii) x¯ là cực tiểu địa phương ổn định xiên của (3.3) nếu và chỉ nếu điều kiện xác
định dương (3.8) thỏa mãn.
Cuối cùng, chúng tôi xét bài toán quy hoạch toàn phương với một ràng buộc bất
đẳng thức toàn phương sau:

min g(x) | q(x) ≤ 0 ,

x∈Rn

(3.12)

ở đây g(x) := 21 xT Ax + aT x, q(x) = q0 (x) := 21 xT B0 x + bT0 x + β0 , với A, B0 ∈ S n ,

24

KẾT LUẬN CHUNG VÀ KIẾN NGHỊ

1. Kết luận chung
Luận án này được dành để nghiên cứu tính dưới chính quy mêtric cùng với các
ứng dụng của nó. Kết quả chính của luận án bao gồm:
- Thiết lập được công thức tính đạo hàm đồ thị cho một lớp ánh xạ nón pháp
tuyến với điều kiện chuẩn hóa dưới chính quy mêtric. Đồng thời, sử dụng công thức
này, thu được các công thức tính đạo hàm đồ thị của ánh xạ nghiệm và đặc trưng
được tính ổn định tĩnh lặng cô lập cho một lớp phương trình suy rộng. Kết quả của
chúng tôi hợp nhất được nhiều kết quả quan trọng theo hướng nghiên cứu này.
- Thiết lập được đặc trưng của cực tiểu địa phương ổn định xiên cho lớp bài
toán tối ưu không ràng buộc với hàm mục tiêu chính quy gần kề và liên tục dưới
vi phân thông qua tính xác định dương đều của đạo hàm đồ thị dưới gradient của
hàm mục tiêu. Thay vì sử dụng dưới vi phân bậc hai, ở đây chúng tôi đã sử dụng
đạo hàm dưới gradient để nghiên cứu tính ổn định xiên. Đây là cách tiếp cận mới,
chưa từng được sử dụng bởi các tác giả trước đó. Hơn nữa, chúng tôi chứng minh
được rằng giả thiết chính quy gần kề là thiết yếu cho cả điều kiện cần và điều kiện
đủ.
- Thu được một số điều kiện cần, điều kiện đủ để một điểm dừng của bài toán
quy hoạch phi tuyến với giả thiết dưới chính quy mêtric là cực tiểu địa phương ổn
định xiên. Đặc biệt, chúng tôi chứng minh được rằng điểm dừng của quy hoạch phi
tuyến là cực tiểu địa phương ổn định xiên nếu điều kiện đủ bậc hai mạnh và chuẩn
hóa dưới chính quy mêtric được thỏa mãn. Thêm vào đó, với quy hoạch toàn phương
có một ràng buộc bất đẳng thức toàn phương thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa dưới
chính quy mêtric, bằng cách khai thác tính đặc thù của bài toán, chúng tôi đã đưa
ra được đặc trưng đơn giản, tường minh hơn cho cực tiểu địa phương ổn định xiên.