BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HCM
--------ooo--------

XÂY DỰNG HÀM TỬ EXT BẰNG
PHƯƠNG PHÁP PHÂN HOẠCH CÁC DÃY KHỚP

NGƯỜI HƯỚNG DẪN : PTS.TRẦN HUYỀN
NGƯỜI THỰC HIỆN : LÊ THỊ HOA

TP.HCM 1996


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HCM
--------ooo--------

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN
CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỔ
MÃ SỐ:

ĐỀ TÀI :
XÂY DỰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN HOẠCH
CÁC DÃY KHỚP

NGƯỜI HƯỚNG DẪN : PTS. TRẦN HUYÊN
NGƯỜI THỰC HIỆN : LỀ THỊ HOA
Người phản biện 1:
Người phản biện 2:

Luận văn được bảo vệ tại Hổi đổng chấm luận vân

a. Định nghĩa : Cho X Y là các R-mođun. Trên tập XxY = {(X. y), X ∈ X. y ∈ Y} ta định
nghĩa 2 phép toán sau :
(x1, y1)+ (x2, y2) = (x1 + x2 ,y1 + y2)
α ∈ R :α(x,y) = (αx, αy)
∀ x 1 , x 2 , x ∈X.∀ y 1 , y 2 , y∈ Y
Khi đó X xY cùng với hai phép toác trên lập thành một R-Mođun và được gọi là tổng trực
tiếp của hai mođun X và Y. và được ký hiệu X⊕ Y.
b. Đặc trưng của tổng trực tiếp
• Ta gọi các đồng cấu :

Là các phép nhúng các modun thành phần vào tổng trực tiếp và các đồng cấu :

là các phép chiếu xuống các modun thành phần.
Mệnh đề 1.1
Các hệ thức:

Là đặc trưng cho tổng trực tiếp hai modun X,Y.

c.Tổng trực tiếp hai đồng cấu
Nếu f: X1 Y1, g: X2 Y2 là đồng cấu modun thì :

Cũng là đồng cấu modun và ta gọi là đồng cấu tổng trực tiếp của hai đồng cấu.


2

2.Dãy khớp
•

Dãy các khớp đồng cấu :


Dĩ nhiên tích S.T bắt đầu từ A qua trung gian C kết thúc tại D có độ dài m+n.
•
Tổng trực tiếp của hai dãy khớp độ dài n.
Giả sử S và S’ là hai dãy khớp có độ dài n :

Khi đó tổng trực tiếp của S và S’ là dãy khớp sau :

3. Khái niệm dãy khớp ngắn :
Cho A, B, C là các R –Modun và x : A
•
Dãy E: 0 A
cấu và Im = Ker
•

B

Dãy khớp ngắn E : 0

;

:B

C là các R – đồng cấu

0 được gọi là dãy khớp ngắn nếu

C
A


A sao cho p = 1A
B sao cho q = lC

Bổ đề (5 ngắn)
Cho biểu đồ các R-đồug cấu và R-mođun

trong đó 2 dòng là khớp, hai hình vuông là giao hoán. Khi đó :
a) Nếu , - đơn cấu thì

- đơn cấu.

b) Nếu , - toàn cấu thì

- toàn cấu.

c) Nếu , - đẳng cấu thì

- đẳng cấu.

4. Đồng cấu chéo, đổng cấu tổng :
Cho các R - mođun A và C


Đồng cấu
c



Đồng cấu



§ 2. PHÂN LỚP CÁC MỞ RỘNG
Phần này dành cho việc xây dựng tập nếu Ext(C. A). Gia sử A và C ià các mođun trên vành R có đơn
vị. Ta gọi một mở rộng của A nhờ c là dãy khớp ngắn các R-mođun và R- đồng cấu :

Tập hợp các mở rộng của A nhờ C ta sẽ ký hiệu là D (C. A).
Một ví dụ về mở rộng của A nhờ C là dãy khớp ngắn :

trong đó i là phép nhúng A vào A ⊕ C và π là phép chiếu A⊕ C lên C. Mở rộng này thực chất là một
dãy khớp ngắn chẻ ra. Đôi khi chúng ta còn gọi là mở rộng tự phân rã hay mở rộng tầm thường.
Về một lớp các mở rộng chẻ, chúng ta có :
Mệnh đề 2.1 : Nếu A là rnođun nội xạ hoặc C là mođun xạ ảnh thì mọi mở rộng của A nhờ C
đều là mở rộng chẻ.
Chứng minh:
Để chứng tỏ mở rộng E : 0 → A → B → C → 0 là mở rộng chẻ với nội xạ A hoặc C là một xạ
ảnh thì ta chứng tỏ E là dày khớp ngắn chẻ ra.
Trường hợp C là mođun xạ ảnh, ta xét dãy khớp :

Do C xạ ảnh nên đồng cấu lC : C → C phân tích được qua
toàn cấu σ :B → c, ∃h : C → B sao cho : σ.h = lC .
Suy ra h là nghịch đảo phải của σ. Vậy là dãy khớp ngắn chẻ ra.
Trường hợp A là mođun nội xạ. thì trong dãy khớp :

do A là mođun nội xạ. nên đồng cấu 1 A : A

A phân tích được qua đơn

A→ B. tức là ∃ g : B → A sao cho : g.χ = lA Suy ra g là nghịch đảo
trái của χ Vậy E là dãy khớp ngắn chẻ ra.
cấu

là các mở rộng của A nhờ c. bộ ba các đồng cấu :

Và
= (1A,

, lC)- Với

: B B’ được gọi là một cấu xạ toàn đẳng nếu biểu đồ sau là giao hoán:

Khi đó ta cùng nói E là toàn đẳng với E’ và ký hiệu E ≡ E’
Ví dụ, từ sơ đồ giao hoán :

Trong đó χ (m) = 2m, i(n) = n với

(k) = k ∈ Z2 ; ∀m, n, k ∈ z.

Ta có E= E’.
Ví dụ về sự không toàn đẳng của 2 mở rộng cùng nguồn & đích có thể xét -2 dãy sau :


6
Trong đó χ(m) = 3m. ∀m ∈ Z và là phép chiếu tự nhiên từ Z lên Z3 .
Thật vậy. nếu ∃α đẳng cấu : Z Z đế E ≡ E' thì vì Z là nhóm cyclic với 2 phân tử sinh là
1,-1 nên α chỉ có thể là lz hoặc - 1z . Cả 2 đẳng cấu đó đều không làm cho biểu đồ giao hoán.
Vậy E
E'.
Về tính chất của quan hệ toàn đẳng, chúng ta có mệnh đề sau :
Mệnh đề 2.2 : Quan hệ toàn đẳ
(C,A) là một quan hệ tương đương.
Chứng minh :

b- ku ∈ ku π3 = im i3

ku

kI

b = ku + i3 (m) m ∈ z
Trước hết ta cố định u ∈ B mà π3 (u) =

∈ Z2

Khi đó với mọi b ∈ B có sự biểu diễn : b = i3(m) + k.u (k = 0; 1)
Thật vậv, nếu b ∈ i3(z) thì k = 0. còn nếu b∉ i3(z) thì π3(b - u) = 0
nên b - u = i3(m). với m nào đó

b = i3 tức k =1. b ∉ i3 (Z)

b ∉ ker π3

Vì 2u ∈ Im i3 nên∃n0 ∈Z mà i3(n0) = 2u.
Phép cộng trong B theo đó sẽ là :

Đặt
Bằng cách sử dụng bảng cộng (*) sẽ tính toán dễ dàng để thấy B là đẳng cấu và các hình
vuông trong biểu đồ trên là giao hoán và do vậy:E2 ≡ E .


8

§ 3. TÍCH MỞ RỘNG VÀ CÁC ĐỒNG CẤU.


(b –b1) =

(b) –

(b1) = (c’) - (c1’) = (c’ – c1’)
∀r ∈ r ta có : r(b,c’) = (rb,rc’) ∈ B’ vì
Ta lấy các đồng cấu

,

(rb) = r (b) = r (c’) = (rc’).

là các phép chiếu từ modun B’ xuống các modun thành phần B và

C’ tương ứng, tức là :
((b, c’)) = b,

, ’ dễ dàng nhận thấy chúng là các đồng cấu.

Ta kiểm tra tính giao hoán của biểu đồ :

Ta có :
•

và

•
• Để chứng minh tính khớp của dòng trên ta lần lượt kiểm tra :
Im


σ' toàn

ánh.
Ta đã kiểm tra được dòng trên là khớp, vậy E' là một mở rộng và biểu đồ là giao hoán. tức
= (1A, .β, γ) là một cấu xạ từ E' vào E. điều đó có nghía là : E' = E γ
Chú ý rằng E' nói trong mệnh đề 3.1 nói chung là không duy nhất khi cho trước mở rộng :
và đồng cấu γ :C ' → C.
Chẳng hạn , trong phạm trù Z - mođun từ biểu đồ giao hoán sau :


10

Trong đó:

, ’, ,

xác định như ví dụ đã đưa ở trên, thì ta cũng có :

và

: E'' = E như là E' = E nhưng rõ ràng là E'
Tuy nhiên E’’

E’ bởi cấu xạ toàn đẳng
-i : 2Z
n

E''.



σ(b’’) =

nghĩa là hợp lý.
• β" là đồng cấu do σβ " là đồng cấu.
Hơn nữa ta có :

(σb’’')) nên ( β'(b"), nên (β'(b’’), σ’’(b’’) nên định


11
Từ (*) và (**) ta suy ra 2 hình vuông ở dòng 1 là giao hoán. Vậy :
’’, 1C ) E’’

= (1A,

0

E’ là cấu xạ toàn đẳng và E’’

E’

Từ mệnh đề 3.2 ta có :
Hệ quả : Nếu E1,E2 ∈

(C, A) mà E1

E2 và

: C’


chính là E2 .

Từ đó theo mệnh đề 3.2 : E1

E2

Thực chất kết quả của mệnh đề 3.2 có thế mở rộng hơn tới cái gọi là "tính chất đối phổ dụng
của E như sau :
Mệnh đề 3.3 :

= ( 1 A , ’, ): E

Cấu xạ
1

=(

1,

1,

) : E1

E có tính chất đối phổ dụng, tức là với mọi cấu xạ

E đều phân tích được 1 cách duy nhất qua , nghĩa là E duy nhất qua

, nghĩa là ∃ duy nhất cấu xạ


1( 1(b1))

,

1

1

’ (b1) = ( 1(b1) ,

1(b1))

∈ B’.(Vì

( 1)b1))

trong mệnh đề 3.2).

là đồng

cấu nên ’là đồng cấu. Để chứng tỏ

0

= ( 1, ’,

sẽ chỉ ra hai hình vuông ở dòng trên trong biểu đồ là giao hoán.
Thật vậy, ∀a 1 ∈ A1 :

C’)

= ’(b1) tức là r0 duy nhất.

Liên quan tới các khái niệm tổng trực tiếp của hai đồng cấu và tổng trực tiếp của hai mở rộng
ta có kết quả.
Mệnh đề 3.4 :
Nếu E1 ∈

(C1, A1), E2 ∈ (C2, A1) và
(E1⊕ E2)(

1⊕

2

1

:C1’

C1 ;

2:

C2’ C2 thì:

) E1 ⊕ E2

Chứng minh :
Trước tiên ta chỉ ra sự tồn tại cấu xạ

: E1 ⊕ E2


1

1

⊕

2,

=(1A1 ⊕ A2, ,

1
1

⊕

⊕

2):
2)là

Theo tính chất đối phổ dụng của

Cấu xạ

0 là

E1 ⊕ E2

E1 ⊕E2 là một cấu xạ.

với mở

Tích của đồng cấu với mở rộng E được ký hiệu E' = E
Ví dụ. từ biểu đồ giao hoán sau trong phạm trù các Z - mođun :

Trong đó:

Ta có E’ = E.
Định nghĩa trên là tốt. theo như khắng định trong mệnh đề sau :
Mệnh đề 3.5: Cho mở rộng :
và đồng cấu α : A→ A', luôn luôn tồn tại ít nhất sao cho E' =
αE.
sao cho E’ =

E

Chứng minh :
Ta chỉ ra sự tồn tại của mở rộng E mẹo biểu đồ sau :

trong đó B’ được xác định là modun thương B’ = (A’ ⊕ B) / N
với N = {(-αa, a ) / a ∈A)} là modun con của A'⊕ B nhờ α, là các đồng cấu.
Các đồng cấu của biểu đồ được xây dựng như sau :


14
Dễ dàng thấy rằng ’, ’,
Thật vậy :

là những đồng cấu và chúng làm cho biếu đồ giao hoán.


giao hoán sau :

Trong đó các đồng cấu , ’, , ’, , được xác định như ví dụ đã đưa ra ở trên.
Ta cũng có: E’’ = E như là E’ = E, nhưng rõ rang là E’ E’’
Tuy nhiên E’’ E’ nhờ cấu xạ toàn đẳng = (16z,-iz;1z6): E’ E’’
Trong đó :
-i : Z Z
n -n


15
Thật vậy. tinh toàn đẳng được khẳng định bởi sự giao hoán hiển nhiên của biểu đồ sau :

Sự kiện này chỉ là một trường hợp cụ thể của mệnh đề tổng quát hơn :
Mệnh đề 3.6 : Cho mở rộng E :
và đồng cấu : A

A’

Nếu E’ và E’' thuộc Ext(C, A ) mà E’ = E và E’’ = E thì E’
rộng αE là tồn tại duy nhất chính xác tới một toàn đẳng.

E’’. hay nói cách khác mở

Chứng minh :
Xét biểu đồ sau :

Trong đó ta đã có các cấu xạ :

Ta xây dựng : β’: B’ B’’ như sau:

Xét biểu đồ :

Ta xác định β’ như sau : β’ : B = (A’⊕ B)/ N B1, β’[(a’,b) + N]= x1(a’) + β1(b).
Khi dó β’ là ánh xạ và dễ thấy β’ là đồng cấu đồng thời β1= β’. Β
(Vì β’ β(b) = β’[(0,b) + N]) = 1(0) + β1(b) = β1(b))
Ta sẽ chứng tỏ hai hình vuông dòng dưới là giao hoán. Vì :

(Vì khớp tại B1 nên 1 1 = 0). Suy ra sự tồn tại cấu xạ :
E1
0 = (1A, β’, ) : E
Sự duy nhất : Giả sử ∃ β’’ : B’ B1 cũng làm cho biểu đồ giao hoán, tức là ta có :
Khi đó


17

∀ (a’, b) +N ∈ B . Vậy ’’ = ’. có nghĩa là cấu xạ tồn tại duy nhất.
Tương tự như tích bên trái, ta có kết quả:
Mệnh đề 3.8 :
Nếu

Chúng ta đã định nghĩa tích bên trái và tích bên phải của một mở rộng với một đồng cấu. Vấn
đề đặt ra là khi thực hiện các tích bên trái và bên phải một mở rộng với các đồng cấu thì thứ
tự thực hiện có làm thay đổi kết quả không?
Cụ thể là cho :
E:0
A’ B’ C 0 thuộc Ext (C, A) và các đồng cấu : A
; : C’ C. Thế thì
chúng ta có các tích (E ) và ( E) . Khi đó có mối quan hệ gì giữa các tích đó. Mệnh đề
sau đây sẽ trả lời câu hỏi đó của chúng ta.

Câu xạ : E E’ được cho bởi biểu đồ giao hoán :

= ( , β’, 1C), nghiã là ta

E, cấu xạ :

Nhưng cấu xạ

E lại chính là cấu xạ xác định E’ . nên αE = E’

1:

αE

Bây giờ ta chứng minh a) và b)
• Ta có bộ ba ( A . B. c): E

:E

E’ có thể phân tích qua

Do tính phổ dụng của
có : = 1 0

E ⊕ E làm giao hoán biểu đồ :

Khi đó theo bổ đề trên thì:
tức có a)
Mặt khác, ta cũng có cấu xạ:
nhờ sự giao hoán của biểu đồ ;

20

Mệnh đề 4.2
Cho các mở rộng E1 E1’, E2 E2’. Vậy thì E1 + E2 E1’ + E2’
Chứng minh :
Theo mệnh đề 4.1 chúng ta đà có : E1 ⊕E2 E1’⊕ E2’
Hơn nữa, từ các hệ quả của mệnh đề 3.2; 3.6 ta có :

Bây giờ chúng ta sẽ xác định phép cộng cho Ext (C, A):
Cho ,
Ext (C, A).Lớp chứa mở rộng E1 + E2 được gọi là tổng của và
hay
+
=
Mệnh đề 4.2 cho ta định nghĩa trên là tốt hay nói cách khác, tổng
+
không phụ thuộc
vào mở rộng đại diện E1 + E2.
Trong những trường hợp không sợ nhầm lẫn. ta có thể viết E1+ E2 thav cho
+
Chúng ta có thể chỉ ra rằng Ext (C, A) với phép cộng trên lặp thành một nhóm Abel. Để thực
hiện điều này. ta xây dựng một nhóm Abel và nhúng Ext (C, A) vào nhóm đó như là một
nhóm con.
Giả sử A, c là các R -mođun. Ta đặt:

trong đó (f, g) là cặp các hàm f : CxC A và hàm g : RxC A.
Trên FR(C, A), ta xác định phép cộng như sau :
Nếu (f1, g1), (f2. g2) ∈ FR (C, A) thì : (f1, g1) + (f2, g2) = (f1+ f2, g1 + g2)
Nhờ phép cộng này. FR (C, A) trở thành nhóm Abel có phẩn tử trung hòa là :
( CxC, RxC)trong đó :

Đặt f(c1,c2) = a ta được hàm f : CxC →A thỏa mãn:
Tương tự, ∀(r,c) ∈ RxC:
Suy ra ru(c) – u(rc) ∈ Ker = Im . Vì đơn ánh nên ∃ duy nhất a ∈ A mà :
(a) = ru(c) – u(rc)
Đặt g(r,c) = a , vậy thì tồn tại hàm g : RxC →A mà ru(c) + u(rc) = [g(r,c)]
Ta đặt :

Ta nhận thấv rằng một hệ các thương (f, g) của mở rộng E xác đinh như trên là phụ, thuộc
vào cách lấy hàm chọn u. Như vậy có thể bị phụ thuộc vào hàm chọn u.