Chứng minh Bất đẳng thức bằng
phơng pháp khác
Ph ơng pháp 1 :
Dùng phép chứng minh phản chứng:
* Giả sử cần phải chứng minh BĐT nào đó đúng. Ta hãy giả sử BĐT đó sai và kết hợp với các
giả thiết để suy ra điều vô lý
1) Ví dụ
CMR ít nhất 1 trong 3 BĐT sau là sai

Giải.
Giả sử 3 BĐT trên đều đúng
< < <
tức là x y z ; y z x ; z x y
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )

<

+ + <



< + + < + + + < + + <

< +

< +


< +


< +

3) Cho a ; b ; c < 1.CMR ít nhất 1 trong 3 BĐT sau là sai
1 1 1
a (1 b) ; b (1 c) ; c (1 a)
4 4 4
> > >
4) Cho f(x) = ax
2
+ bx
2
+c với a ; b ; c t/m
+ + >
a b c 17.
CMR
[ ]
( )
x 0 ;1 / f x 1
>
5) Cho
a b c 17
+ + >

( )
1
1 h 1 1.h
+ +
Giả sử bài toán đúng với
n k (k 1)=
Tức là
( )
h
1 k 1 k.h+ +
(1)
Ta phải CM
( ) ( )
k 1 h
1 h 1 k 1
+
+ + +
Thật vậy:
Chuyên đề BĐT - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh-Trờng THPT chuyên Lê Hồng Phong
Từ (1)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+
+ + = + + + + + + +
k k 1
2
1 h 1 h 1 k.h . 1 h 1 h 1 k 1 h k.h 1 k 1 h

Với
2
kh 0

; ....; .a
n
t/m
a
1
+ a
2
+ ...+ a
n
= f
CMR: Với
x 0
>
ta có
n
1 2 n
1 1 1 n
x . a ... x x
a fa a


+ + + +
ữ ữ ữ
ữ


5*/ CMR

số nguyên
n 2

với
m R
Khi đó a
4
+ b
4
= (2 + m)
4
+ (2 - m)
4
= 32 + 48 m
2
+ 2m
4

32 m

Dấu - xảy ra

a = b = 2
2) Bài tập áp dụng
1/* Cho a + b = c + d. CMR d
2
+c
2
+ cd

3ab
2/* Cho a < 2 ; x+ y > 5.CMR 5x
2

; ;
a b c d a b c a c a b c d b c d b d
c c c d d d
;
a b c d c d a a c a b c d d a b d b
2
Chuyên đề BĐT - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh-Trờng THPT chuyên Lê Hồng Phong
Cộng từng vế các BĐT ta có

a b c d a b c d a c b d
a b c d a b c b c d c d a d a b a c b d
a b c d
1 2
a b c b c d c d a d a b
+ + + + +
< + + + < +
+ + + + + + + + + + + + +
< + + + <
+ + + + + + + +
2) Bài tập áp dụng:
1/* Cho a ; b ; c ; d t/m
1 a b c d 100

. CMR
a c 1
b d 5
+
2/* Cho 0 < a
1
, a

4/* Cho a =
2 1 3 2 4 3 25 21
...
1 2 2 3 4 3 25 21

+ + + +
+ + + +
. CMR:
<
2
a
5
5/* CMR
2
1 1 1 5
1 ...
4 9 3
n
+ + + + <
*Ph ơng pháp 5 : Dùng tam thức bậc 2
* Định lý về dấu của tam thức bậc 2
Cho f(x) = ax
2
+ bx + c với a
0
Gọi

= b
2
4ac là biệt thức của tam thức khi đó ta có

2

a.f(x) < 0 nếu x
1
< x < x
2
( Với x
1
< x
2
)
1) Ví dụ
1* CMR
a, b,c R
Ta có (a
2
b
2
). (c
2
d
2
)

(ac bd)
2
Xét tam thức bậc hai:
f(x) + (a
2
b


3
Chuyên đề BĐT - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh-Trờng THPT chuyên Lê Hồng Phong
Giải:
Xét tam thức bậc 2: f(x) = (a
2
b
2
)a
2
2(ac- bd)x + (c
2
d
2
)
Có

= (ac bd)
2
(a
2
b
2
).(c
2
d
2
) mà f(x) = (ax c)
2
(bx d)


>

Vì vai trò của a; b nh nhau nên không mất tính tổng quát ta giả sử a > 0
đặt
x t (t 0)
= >

x = t
2
Có
ax + by xy

+
2
at by y t

+
2
at y t by 0
đặt
2
f(t) at y t by
= +
Ta có
f(t) 0
a 0




1 2 1
3 2
2 2 2
ax bx cx d 0
ax bx cx d 0

+ + + =


+ + + =


( ) ( )
( ) ( )
( )
( )

+ + + = + = + + + =

3 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
a x x b x x c x x 0 x x . a x x x x b x x c 0
Vì
1 2 1 2
x x x x 0
Nên
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+ + + + =

0 b 4a(c a.x x ) 0 b 4ac 4a x x 0 x x
4a
2) Bài tập áp dụng
1*) CH
2
3x 4 1 x 5
+
2*) a; b ; c là 3 cạnh của 1

CH:
( ) ( )
ax by . x y cxy x; y
+ +
3*) a; b; c; d là 4 số thực t/m b<c <d
CH (a + b + c + d)
2
> f (ac + bd )
4*) CMR
( ) ( )
2
x y xy 1 x y 3 x; y R
+ + +
thì
4
Chuyên đề BĐT - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh-Trờng THPT chuyên Lê Hồng Phong
Ph ơng pháp 6: Phơng pháp hình học
1) Ví dụ:
CMR:
( ) ( )
2 2

1/* Cho a ; b ; c là độ dài 3 cạnh

CMR: a
2
(b + c - a) + b
2
(c + a - b) + c
2
(a + b - c)

3.a.b.c
2/* Gọi R ; x Lần lợt là bán kính đờng tròn ngoại tiếp vầ nội tiếp

CMR : R

2x
3/* Cho a

c > 0 ; b

c > 0 . CMR:
( ) ( )
c a c c b c ab
+
4/* a b ; c ; > 0 .CMR
2 2 2 2 2 2
a ab b b bc c a ac c
+ + + + +
5/* Độ dài 3 cạnh


1 2 3 n
a a a ... a
b b b ... b
= = = =



= = = =

Chứng minh :
Đặt
1 2 n
a a ... a
a
n
+ + +
=
.
Luôn

i sao cho :
+ +
1 2 i i n 1 2 i i n
a a ... a a a 1 ... a và b b ... b b b 1 ... b
Có
=
k 1, 2,...n
ta đợc
( ) ( )
+

ì
Dấu = xảy ra
k 1; 2; ...; n =
thì
5
Chuyên đề BĐT - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh-Trờng THPT chuyên Lê Hồng Phong
(a
k
a). (b
k
b) = 0
Nếu (a
1
; a
2
; . .. ; a
n
) Re là 1 dãy số dừng

a
1
< a
i
< a
n
thì
( ) ( )
( ) ( )
1 1
n n



= = =

1) Ví dụ
CH BĐT Nesbit với 3 sốn
a b c 3
b c a c a b 2
+ +
+ + +
Giải
Đặt x = a + b + c
BĐT
a b c 3
x a x b x c 2
+ +

có:
( )
a b c 1 1 1 1
a b c
x a x b x c 3 x a a b a c

+ + + + ì + +
ữ


( ) ( ) ( )
a b c 1 1 1 1
x a x b x c

+ + +
2 2 2
a b c 3
b c a c a b 2
2/* Cho a ; b ; c ; d

0 t/m
a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2


1
CMR: a)
3 3 3 3
a b c d 1
d c b a c d a b d a b c 3
+ + +
+ + + + + + + +
b)
2 2 2 2
a b c d 2
c b d a c d a b d a b c 3
+ + +
+ + + + + + + +

2
+ d
2
= 1.
Tìm min A =
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b c d
b c d a c d a b d a b c
+ + +
+ + + + + + + +
6
Chuyên đề BĐT - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh-Trờng THPT chuyên Lê Hồng Phong
Bất đẳng thức Cauchy
Chơng I- Bất đẳng thức Cauchy và ứng dụng
Bất đẳng thức Cauchy
Chơng I- Bất đẳng thức Cauchy và ứng dụng
1) Định lý: Với mọi số thực dơng a
1
; a
2
...a
n
ta có bất đẳng thức
1 2 n
n
1 2 n
a a ... a
a a ...a (*)
n
+ + +

a a ... an n a a ...a
a a ... a n a a ...a
a a ... a 2n a a a ...a a
+ + + +

+ + +
+ +
+ + +
Do dó BĐT đúng khi n là một luỹ thừa của 2 . Mặt khác nếu BĐT đúng với n số thì cũng đúng
với n -1 số. Thật vậy ta chỉ cần chọn
n
s
a
n 1
=

với s = a
1
+ a
2
+...+ a
n-1
1 2 n 1
n _1
n
1 2 3 n 1
a a ...a s
s
s n s n 1. a a a ...a
n 1 n 1

7
Chuyên đề BĐT - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh-Trờng THPT chuyên Lê Hồng Phong
( )
3
3
3
1 1 1 1
3
a b c abc
a b c 3 abc
1 1 1 1
. a b c 9 abc. 9
a b c abc
+ +
+ +

+ + + + =
ữ


đpcm. Dấu = xảy ra

a = b = c
Bất đẳng thức tổng quát hơn đợc chứng minh hoàn toàn tơng tự.
Bài 2: ( Bất đẳng thức Nesbit)
CMR
a, b, c N *
Ta có
a b c 3
b c a c a b 2

+
(x; y, > 0) hệ quả
( )
2
1 4
xy
x y

+
1 1 1 9
x y z x y z
+ +
+ +
(x; y; z > 0) (tcm)
Để giải một số bài toán sau :
Bài 3: Cho a, b, c > 0 cm:
9 4 4 4 1 1 1
a b c 2a b c a 2b c a b 2c a b c
+ + + +
+ + + + + + + +
Giải: áp dụng BĐT phụ
( )
1 1 4
x;y 0
x y xy
+ >
Có
4 1 1 1 1 1
2a b c 2a b c 2a 4b 4c
+ + +

1
= a + b + 2c ; y
1
= 2a + b + c ; z
1
= a + 2b + c
áp dụng BĐT phụ
1 1 1 1 1 1
1 1 1 9
x y z x y z
+ +
+ +
(Dấu =

x
1
=y
1
=z
1
)
8