¤n tËp To¸n 9 1 N¨m häc 2007-2008
Lª Quèc Dòng

Híng dÉn
«n tËp to¸n 9
N¨m häc
2007-2008
Lª Quèc Dòng THCS Liªn M¹c - Thanh Hµ
Ôn tập Toán 9 2 Năm học 2007-2008
Hớng dẫn ôn tập Toán 9
A - Đại số
I. Biểu thức đại số:
Các dạng toán cơ bản:
1. Rút gọn biểu thức, tính giá trị của biểu thức số:
Bài 1: Thực hiện phép tính:
a)
b)
c)
Bài 2: Rút gọn biểu thức:
a)
với a > 0, b > 0 và a b.
b)
với a > 0 và a 1.
2. Tính giá trị của biểu thức tại các giá trị của biến:
3. Tìm giá trị của biến để giá trị của biểu thức thoả mãn điều
kiện cho trớc (lớn hơn, nhỏ hơn, bằng... một giá trị cho trớc,
đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất...)
Bài 3: Cho biểu thức:
a) Rút gọn biểu thức A;
b) Tính giá trị của A, khi ;
c) Với giá trị nào của x < 1, thì A đạt giá trị nhỏ nhất?

Lê Quốc Dũng THCS Liên Mạc - Thanh Hà
Ôn tập Toán 9 4 Năm học 2007-2008
c)
d)
2. Giải hệ hai phơng trình đa về hệ hai phơng trình bậc nhất hai
ẩn.
- Biến đổi tơng đơng.
- Đổi biến (đặt ẩn phụ).
Bài 9: Giải các hệ phơng trình sau:
a) b)
3. Tìm điều kiện của tham số để hệ hai phơng trình bậc nhất hai
ẩn có nghiệm, vô nghiêm, có vô số nghiệm.
Nên dùng phơng pháp thế, đa hệ về hệ hai phơng trình trong đó
có một phơng trình chỉ còn một ẩn và tìm điều kiện của tham số để
phơng trình một ẩn có nghiệm, vô nghiệm, vô số nghiệm.
4. Tìm điều kiện của tham số để hệ hai phơng trình bậc nhất hai
ẩn có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện cho trớc (có các
nghiệm thoả mãn rằng buộc nào đó).
- Tìm điều kiện để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất. Giải hệ
phơng trình, tìm x, y (nghiệm) theo tham số.
- Thay x, y theo tham số vào điều kiện để tìm điều kiện của tham
số.
Bài 10: Cho hệ phơng trình:
a) Giải hệ phơng trình khi a = 2;
b) Tìm điều kiện của a để hệ phơng trình đã cho có nghiệm duy
nhất.
c) Tìm các giá trị của a để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) là các số
nguyên.
Bài 11: Cho hệ phơng trình:
Lê Quốc Dũng THCS Liên Mạc - Thanh Hà

;
b)
;
Lê Quốc Dũng THCS Liên Mạc - Thanh Hà
Ôn tập Toán 9 6 Năm học 2007-2008
c)
;
d)
.
Bài 14: Giải các phơng trình sau:
a)
;
b)
;
c)
;
d)
.
2. Giải phơng trình đa về phơng trình bậc hai.
Bài 15: Giải các phơng trình sau:
a)
;
b)
;
c)
;
d)
.
Bài 16: Giải các phơng trình sau:
a)

Bài 18: Tìm giá trị của k để phơng trình
a) Có hai nghiệm phân biệt;
b) Có nghiệm kép;
c) Vô nghiệm.
Bài 19: Cho phơng trình bậc hai ẩn x
(1)
a) Tìm các giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt;
b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
trong đó có một nghiệm bằng -2.
4. Không giải phơng trình, tính tổng, tích, tính giá trị của biểu
thức chứa hai nghiệm của phơng trình. áp dụng hệ thức Vi -
ét.
Bài 20: Cho phơng trình bậc hai: và gọi hai
nghiệm của phơng trình là x
1
; x
2
. Không giải phơng trình hãy tính giá
trị của biểu thức:
a)
;
b)
Bài 21: Không giải phơng trình, hãy xác định dấu các nghiệm của
các phơng trình sau (nếu có):
a)
;
b)
;
c)
;

Bài 24: Cho phơng trình:
a) Chứng minh rằng phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân
biệt với mọi giá trị của m khác -1;
b) Tìm giá trị của m để phơng trình đã có hai nghiệm cùng dấu;
c) Tìm giá trị của m để phơng trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu
và trong hai nghiệm đó có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
Hớng dẫn: Phần (c), ta có x
1
+ x
2
= ; x
1
. x
2
=; x
1
= 2x
2
.
Bài 25: Cho phơng trình . Tìm các giá
trị của m để phơng trình đã cho có nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn:
a)
b)
Bài 26: Cho phơng trình bậc hai:
a) Giải phơng trình đã cho khi biết m = 1;
b) Chứng minh rằng phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân

Cách giải: Đặt x + y = u, xy = v, giải hệ tìm u, v từ đó thế vào giải hệ
để tìm x, y.
Lê Quốc Dũng THCS Liên Mạc - Thanh Hà
Ôn tập Toán 9 10 Năm học 2007-2008
c)
(hệ đối xứng loại II)
Mô tả: Nếu thay x = y và y = x thì phơng trình này trở thành phơng
trình kia. Hệ không thay đổi.
Cách giải: Lấy phơng trình thứ nhất trừ đi phơng trình thứ hai, đặt đ-
ợc nhân tử chung (x - y), rút x theo y hoặc y theo x, từ đó thế vào
một trong hai phơng trình để giải.
d)
(hệ đẳng cấp)
Mô tả: Nếu đa ẩn của hệ về một vế của mỗi phơng trình thì bậc của
các đơn thức trong từng phơng trình là bằng nhau.
Cách giải: Xét x = 0 (hoặc y = 0), xét xem có là nghiệm của hệ hay
không. Xét x 0 (hoặc y 0), đặt y = kx (hoặc x = ky), thế vào hệ,
lấy phơng trình thứ nhất chia cho phơng trình thứ hai ta đợc phơng
trình chứa ẩn ở mẫu với một ẩn k, tìm k, thế vào hệ để giải.
9. Một số dạng toán khác:
Bài 32: Lập phơng trình bậc hai nhận và và hai
nghiệm.
Bài 33: Lập phơng trình bậc hai với các hệ số nguyên nhận
là nghiệm.
Bài 34: Xác định m trong phơng trình
nếu biết một nghiệm của nó là 2. Tìm
nghiệm còn lại của phơng trình.
Bài 35: Cho là một nghiệm của phơng trình

(với a,c 0). Chứng minh rằng là nghiệm của phơng trình

(a 0).
3. Viết phơng trình đờng thẳng (tìm điều kiện của tham số để đ-
ờng thẳng) đi qua hai điểm cho trớc, đi qua một điểm và song
song với một đờng thẳng cho trớc hoặc vuông góc với một đ-
ờng thảng cho trớc, đi qua một điểm và tiếp xúc với Parabol.
Bài 42: Cho hàm số y = ax + b (a 0)
Lê Quốc Dũng THCS Liên Mạc - Thanh Hà
Ôn tập Toán 9 12 Năm học 2007-2008
a) Xác định các hệ số a và b để đồ thị hàm số đi qua hai điểm: A(-2;
3) và B(1; 1);
b) Xác định các hệ số a, b để đồ thị hàm số đi qua A và song song
với đờng thẳng 2x + y = 1;
c) Xác định các hệ số a, b để đồ thị hàm số đi qua B và vuông góc
với đờng thẳng y = - x.
Bài 43: Cho đờng thẳng y = kx + 3 (D) và Parabol (P) .
a) Xác định k để (D) cắt trục Ox tại điểm có hoành độ là - 2;
b) Xác định k để đờng thẳng (D) cắt parabol (P) tại hai điểm phân
biệt;
c) Xác định k để đờng thẳng (D) tiếp xúc với parabol (P).
Bài 44: Cho parabol (P) có phơng trình
a) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua M (-2; 3) và tiếp xúc với
parabol (P); Vẽ đồ thị minh hoạ.
b) Chứng minh rằng mọi đờng thẳng đi qua điểm I (0; 2) luôn cắt
parabol (P) tại hai điểm phân biệt.
c) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm A, B trên parabol (P)
biết hoành độ của A và B lần lợt là - 3 và 2.
4. Tìm điều kiện của tham số để đờng thẳng thoả mãn điều kiện
cho trớc, hai đờng thẳng cắt nhau tại một điểm thảo thoả mãn
một điều kiện cho trớc: nằm trong góc phần t thứ I (II, III,
IV), nằm trên một đờng thẳng, một parabol

V. Giải bài toán bằng cách lập phơng trình,
hệ phơng trình
Bớc 1: Lập phơng trình (hệ phơng trình):
1) Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn;
Có hai cách chọn ẩn: chọn trực tiếp (chọn ẩn là số liệu cần tìm), chọn
gián tiếp (chọn ẩn là một trong các số liệu cha biết - nhng không là số
liệu cần tìm).
Trớc khi chọn ẩn cần phân tích đợc các đại lợng tham gia bài toán,
số liệu đã biết, số liệu cha biết, số liệu cần tìm.
Điều kiện của ẩn phải phù hợp với tính thực tiễn của bài toán, cần
chú ý đến chọn đơn vị cho ẩn.
2) Biểu thị các số liệu cha biết qua ẩn;
3) Từ mỗi liên hệ giữa các số liệu lập phơng trình.
Bớc 2: Giải phơng trình (hệ phơng trình);
Bớc 3: Chọn giá trị thích hợp và trả lời. Cần kiểm tra nghiệm của ph-
ơng trình và điều kiện của ẩn, trả lời phải đúng với yêu cầu của đề bài
(yêu cầu tìm gì).
Ví dụ: Giải các bài toán bằng cách lập phơng trình
hoặc hệ phơng trình:
Lê Quốc Dũng THCS Liên Mạc - Thanh Hà
Ôn tập Toán 9 14 Năm học 2007-2008
Bài 49: Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành
xong công việc đã định. Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì tổ
thức nhất đợc điều đi làm việc khác, tổ thứ hai làm nốt phần công
việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi tổ thứ hai nếu làm một mình thì sau
bao lâu sẽ hoàn thành công việc?
Bài 50: Trong tháng đầu hai tổ công nhân sản xuất đợc 800 chi
tiết máy. Sang tháng thứ hai tổ I làm vợt mức 15%, tổ II làm vợt mức
20%, do đó cuối tháng cả hai tổ sản xuất đợc 945 chi tiết máy. Hỏi
rằng trong tháng đầu, mỗi tổ công nhân sản xuất đợc bao nhiêu chi


























Lê Quốc Dũng THCS Liên Mạc - Thanh Hà
¤n tËp To¸n 9 16 N¨m häc 2007-2008
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………

I. Tứ giác:
Kiến thức cơ bản:
Hình
Định nghĩa
Tính chất Dấu hiệu nhận biết
Tứ giác: Tứ giác
ABCD là hình tạo
bởi bốn đoạn
thẳng AB, BC,
CD, DA trong đó
không có hai đoạn
nào nằm trên một
đờng thẳng
Tổng bốn góc trong của
tứ giác bằng 180
0
.
Các tứ giác đặc biệt:
+ Hình thang,
+ Hình thang cân,
+ Hình thang vuông
+ Hình bình hành,
+ Hình thoi,
+ Hình chữ nhật,
+ Hình vuông.
Hình thang: Là tứ
giác có hai cạnh
song song.
+ Đờng trung bình của
hình thang (đoạn thẳng

Ôn tập Toán 9 18 Năm học 2007-2008
Hình
Định nghĩa
Tính chất Dấu hiệu nhận biết
Hình bình hành:
Là tứ giác có các
cạnh đối song
song.
Là hình thang có
hai cạnh bên song
song.
+ Các cạnh đối bằng
nhau.
+ Các góc đối bằng
nhau.
+ Hai đờng chéo cắt
nhau tại trung điểm mỗi
đờng.
Hình bình hành là hình
có tâm đối xứng. Giao
điểm của hai đờng chéo
là tâm đối xứng của
hình bình hành.
+ Tứ giác có các cạnh
đối song song là hình
bình hành.
+ Tứ giác có các cạnh
đối bằng nhau là hình
bình hành.
+ Tứ giác có hai cạnh

cạnh bên bằng nhau là
hình thoi.
+ Hình bình hành có hai
đờng chéo vuông góc
với nhau là hình thoi.
+ Hình bình hành có
một đờng chéo là phân
giác của một góc, là
hình thoi.
Hình chữ nhật:
Là hình bình hành
có một góc vuông.
Là tứ giác có bốn
góc vuông
Hình chữ nhật có đầy đủ
các tính chất của hình
bình hành và hình thang
cân. Đặc biệt:
Hình chữ nhật có hai đ-
ờng chéo bằng nhau và
cắt nhau tại trung điểm
+ Tứ giác có ba góc
vuông là hình chữ nhật.
+ Hình bình hành có
một góc vuông là hình
chữ nhật.
+ Hình bình hành có hai
đờng chéo bằng nhau là
Lê Quốc Dũng THCS Liên Mạc - Thanh Hà
Ôn tập Toán 9 19 Năm học 2007-2008

giác khác).
Hình vuông là hình có
tâm đối xừng và có bốn
trục đối xừng).
+ Hình chữ nhật có hai
cạnh kề bằng nhau là
hình vuông.
+ Hình thoi có một góc
vuông là hình vuông.
+ Hình chữ nhật có hai
đờng chéo bằng nhau là
hình vuông.
+ Hình chữ nhật có một
đờng chéo là phân giác
của mọt góc, là hình
vuông.
+ Hình thoi có hai đờng
chéo bằng nhau là hình
vuông.
II. Định lí Talét và Tam giác đồng dạng:
Kiến thức cơ bản:
1) Định lí Talét: Một đờng thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song
song với cạnh còn lại khi và chỉ khi nó định ra trên hai cạnh đó
những đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ.
Hệ quả: Nếu một đờng thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song
song với cạnh còn lại thì nó tạo ra một tam giác mới có ba cạnh tỉ
lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.
2) Tính chất đờng phân giác trong tam giác: Đờng phân giác trong
tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề
với nó.

d) Tích hai cạnh góc vuông bằng tích cạnh huyền và đờng cao ứng
với cạnh huyền;
e) Tổng nghịch đảo bình phơng hai cạnh góc vuông bằng nghịch
đảo bình phơng đờng cao ứng với cạnh huyền.
2) Liên hệ cạnh và góc trong tam giác vuông:
Trong tam giác vuông có góc nhọn thì:
; ;
Lê Quốc Dũng THCS Liên Mạc - Thanh Hà
Ôn tập Toán 9 21 Năm học 2007-2008
;
Tính chất:
+ Hai góc nhọn phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia, tang góc
này bằng cotang góc kia;
+ ; ; ;
+ ; ; .
Chú ý:

30
0
45
0
60
0
sin
cos
tg
1
cotg
1
IV. Đờng tròn:

tròn là dây lớn nhất.
3) Tiếp tuyến của đờng tròn:
a) Một đờng thẳng là tiếp tuyến của đờng tròn khi và chỉ khi nó
vuông góc với bán kính tại đầu mút nằm trên đờng tròn.
b) Nếu hai tiếp tuyến của đờng tròn cắt nhau tại một điểm thì:
- Giao điểm này cách đều hai tiếp điểm;
- Tia nối từ giáo điểm này đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo
bởi hai tiếp tuyến;
- Tia đi từ tâm qua giao điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi
hai bán kính đi qua hai tiếp điểm.
4) Đờng tròn nội tiếp:
- Mọi tam giác đều có một đờng tròn nội tiếp, có tâm là giao của
ba đờng phân giác trong của tam giác và có ba đờng tròn bằng
tiếp (là đờng tròn nằm ngoài tam giác, tiếp xúc với 1 cạnh của
tam giác và tiếp xúc với hai đờng thẳng chứa hai cạnh còn lại),
có tâm là giao của hai đờng phân giác ngoài và đờng phân giác
trong của góc có đỉnh còn lại.
- Mọi đa giác đều có duy nhất một đờng tròn nội tiếp, có tâm là
giao của các tia phân giác các góc của đa giác.
Lê Quốc Dũng THCS Liên Mạc - Thanh Hà
Ôn tập Toán 9 23 Năm học 2007-2008
- Một tứ giác có thể có đờng tròn nội tiếp, có thể không có đờng
tròn nội tiếp.
V. Góc và đờng tròn:
Kiến thức cơ bản:
Trong một đờng tròn
1) Góc ở tâm: Góc ở tâm có số đo bằng số đo của cung bị chắn.
- Cung nhỏ có số đo bằng số đo của góc ở tâm;
- Cung nửa đờng tròn có số đo bằng 180
0

h
a
B
A
C
;
;
;
p là nửa chu vi; R, r
là bán kính đờng
tròn nội, ngoại tiếp.
Các công thức thứ 2
đến 5 để tham khảo,
có thể chứng minh đ-
ợc nếu áp dụng.
Lê Quốc Dũng THCS Liên Mạc - Thanh Hà
Ôn tập Toán 9 24 Năm học 2007-2008
S = pr

(Công thức Hê-rông)
3
Hình thang:
b
h
a
Chú ý: Hình thang
vuông thì cạnh góc
vuông là đờng cao
của hình thang.
Độ dài đờng trung

- Độ dài cung tròn n
0
, bán kính R:
3. Diện tích hình tròn hình quạt:
- Diện tích hình tròn bán kính R:
- Diện tích hình quạt tròn n
0
, bán kính R:







Lê Quốc Dũng THCS Liên Mạc - Thanh Hà
¤n tËp To¸n 9 25 N¨m häc 2007-2008
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………