Bi tp phỏt trin t duy Trn Quc T

2. Bài toán mở đầu thứ hai.
Bài toán gốc. Cho tam giác ABC, về phía ngoài tam giác, dựng
các tam giác đều ABF; ACD. Chứng minh rằng CF = BD.

B
C
A
F
D
H ớng dẫn:
Xét hai tam giác:
VDAB
và
VCAF
, có:

ã
ã
=


=


=

DA CA
DAB CAF
AB AF

F
O
Bi tp phỏt trin t duy Trn Quc T
H ớng dẫn
Gọi O là giao điểm của BD và CF.
Ta cần chứng minh A; O; E thẳng hàng.
Ta có

DAB =

CAF (bài toán mở đầu)


à
1
B
=
$
1
F


tứ giác AOBF nội tiếp


à
1
O
=
à

C
= 60
0
(2)
Từ (1) và (2)

ã
AOF
= 180
0


A; O; E thẳng hàng
Hay AE; BD; CF đồng quy.
Qua bài trên ta nhận thấy các góc
ã
ã
ã
= = =
0
AOB AOC BOC 120
Khi đó ta bài
toán dựng hình khá quen thuộc:
Bài toán 2:
Dựng điểm O trong tam giác nhọn ABC sao cho
ã
ã
ã
= = =
0

DC = AC (gt)


ã
ã
ã



= = =


0 0
CP = OC (1)
CPD AOC 120 CPO 60 (2)
Bi tp phỏt trin t duy Trn Quc T
Từ (1) và (2) suy ra

CPO đều

OP = OC
Do đó ta có: OA + OB + OC = PD + OB + OP Hay: OA + OB + OC = BD
Đây là một đẳng thức khá đẹp, nhng đẳng thức trên có ý nghĩa gì không?
Từ đó ta có bài toán mới
Bài toán 3:
Xác định điểm O trong tam giác nhọn ABC sao cho tổng khoảng cách từ O tới
ba đỉnh của tam giác là nhỏ nhất.
H ớng dẫn
Dựng





CQD =

COA (c.g.c)

OA = QD
DC = AC (gt)
Do đó ta có: OA + OB + OC = BO + OQ + QD

BO + OD

BD
Dấu = xảy ra khi :
+) O, Q, D thẳng hàng mà
ã
CQO
= 60
0



ã
CQD
= 120
0
nên
ã
AOC

Bài toán 4:
Cho tam giác ABC, về phía ngoài tam giác, dựng các tam giác ABF; ACD
vuông cân tại A. Chứng minh rằng CF = BD; CF

BD.

B
C
A
D
F
O
H ớng dẫn:
+) CF = BD (tơng tự nh bài toán 1)
+) CF

BD (Tứ giác AOBF nội tiếp


ã ã
= =
0
BOF BAF 90
)
Tiếp tục bài toán trên. Gọi M; N; I lần lợt là trung điểm của BF; CD; BC

B
C
A
D


MIN là tam giác gì?

B
C
A
N
M
I
Bài toán trên có thể diển đạt cách khác làm cho học sinh dễ chứng minh
hơn bằng cách thay các tam giác vuông cân ABM, CAN bằng các hình
vuông ABDE và ACHF thì ta đợc bài toán đơn giản hơn. Ta có bài toán 6.
Bài toán 6 :
Cho tam giác ABC, dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE và
ACHF.
a.Chứng minh rằng: BF = CE và BF

CE
b.Gọi I, J lần lợt là tâm của hai hình vuông đó. M là trung điểm của BC.
Chứng minh rằng

MIJ là tam giác vuông cân.