Lời nói đầu:Dùng đồng dư ta có thể giải được nhiều bài toán về phương trình nghiệm nguyên hóc búa,các
bạn sau khi đọc xong phần này thật kĩ thì sẽ có phương pháp giải mới tốt hơn để giải phương trình nghiệm
nguyên .Mong được mọi người góp ý nếu còn sai sót.
I.Các ví dụ
Ví dụ 1:CM phương trình sau không có nghiệm nguyên:
Giải:Đặt x=z-1001.Phương trình trở thành:
Hay
nên nó không thể là số chính phương
VD 2:Tìm các cặp số nguyên tố (p,q) thỏa mãn:
Giải:Phương trình chỉ có 1 nghiệm là (7,3).Thật vậy,đầu tiên ta giả sử p và q khác 3.Khi đó,
,và .Nếu thì vế trái chia hết cho 3 ,mà vế phải lại
không chia hết cho 3.
Nếu p=3 thì ,điều đó là không thể
Nếu q=3 ,ta được và p=7
VD 3:Xác định mọi số nguyên tố p thỏa mãn hệ pt sau có nghiệm nguyên x,y:
(Olympic Đức)
Giải:Số nguyên tố p phải tìm chỉ có thể là 7.Không mất tính tổng quát,giả sử x,y 0.Chú ý là
số chẵn nên p 2 .Ngoài ra nên suy ra .
Từ p lẻ và x<y<p,ta có x+y=p nên (2) p = 4x - 1
Vậy (1) x =0 hoặc x=2 thì p=-1 hoặc p=7
Tất nhiên,(-1)không phải số nguyên tố,nên p=7và (x,y)=(2,5) là nghiệm.
II.Bài tập tự luyện
1)Chỉ ra rằng pt sau không giải được với x,y,z nguyên dương và z>1:
(Olympic Hungari)
2)CM phương trình sau không có nghiệm nguyên:
3)Tìm các cặp số nguyên dương (x,y) thỏa mãn pt sau:
4)Cm phương trình sau không có nghiệm nguyên dương :
( IMO shortlist)
15)Tìm các cặp nghiệm nguyên dương thỏa mãn pt:
p/s:Do thấy phần thặng dư bình phương cấp THCS chưa học đến nên mình bỏ qua.
inhtoan

Phương trình đã cho tương đương với
Nghiệm của pt là(3,4);(4,3);(0,7);(7,0).
Ví dụ 4:Tìm cặp nghiệm nguyên (x,y) của pt sau:
2
Giải:
Đặt x=u+1,y=v+1,phương trình đã cho trở thành :
Từ (1) ta có :
Chỉ có hệ phương trình đầu và cuối có nghiệm là (0,1),(1,-6) và hoán vị dẫn đến (x,y)=(u+1,v+1) là (1,2),
(2,-5)và hoán vị.
Ví dụ 5:Tìm bộ ba số nguyên (x,y,z) thỏa mãn : trong đó p là số nguyên tố lớn
hơn 3
Giải:
Phương trình đã cho tương đương với Từ x+y+z>1,ta có
x+y+z=p và .Ta có:
.Không mất tính tổng quát ,chúng ta có thể giả sử .Nếu x>y>z,ta có:
.V“ thế nên x=y=z+1 hay x-
1=y=z.Số nguyên tố p chỉ ở dạng 3k+1,3k+2.Trong trường hợp 1 nghiệm của pt là và
các hoán vị .Ở trường hợp 2,nghiệm của pt là
Bài tập tự rèn luyện
1)Cho p và q là 2 số nguyên tố.Tìm cặp nghiệm nguyên dương (x,y) thỏa mãn phương trình:
2)Tìm nghiệm nguyên dương của pt:
3)Giải pt nghiệm nguyên sau trong đó x là số nguyên tố:
4)Tìm các số nguyên a,b,c với 1<a<b<c thỏa mãn (a-1)(b-1)(c-1) là ước của abc-1.
5)Tìm các tam giác vuông với độ dài mỗi cạnh là số nguyên sao cho diện tích và chu vi của tam giác đó
bằng nhau.
6)Giải hệ phương trình sau với x,y,z,u,v là các số nguyên
hung0503
Jan 1 2009, 08:32 PM
em có bài sau
cho hệ pt

em làm dc tới đây, sau đó đọc bài này trong sách bảo là
tương tự
và chỉ cần xét điều kiện **
xét trường hợp ta cũng dc m=-1
B
4)Cm phương trình sau không có nghiệm nguyên dương :
( IMO shortlist)
Viết lại phương trình trên:
* Mọi số tự nhiên có dạng 4k+3 đều có ít nhất 1 ước nguyên tố dạng 4t+3.
* Mọi số có dạng không có ước nguyên tố dạng 4l+3.
=> Bài toán trên vô nghiệm.
4