Phng trỡnh nghim nguyờn
CHUYấN PHNG TRèNH NGHIM NGUYấN
Chuyên đề Bồi dỡng HSG Toán
Giáo viên : Phan c Thnh Trng THCS Qunh vinh
Phơng trình nghiệm nguyên là một lĩnh vực khó,đa dạng về phơng pháp giải,linh
hoạt về cách suy luận Tuy nhiên,ở mức độ nào đó,chúng ta có thể trấn an học sinh
bằng cách cung cấp bài tập một cách hệ thống kèm theo phơng pháp điển hình và qui
trình bắt buộc (nếu có). Với phạm vi bồi dỡng HSG thi cấp huyện, trong chuyên đề này
tôi u tiên đề cập dạng bài Giải bằng phơng pháp phân tích, các phơng pháp khác nh
Chẵn lẻ,Cực hạn, Dùng bất đẳng thức, Loại trừ ,Chia hết, Đồng d, Xuống thang chỉ
giới thiệu với mục đích tham khảo và làm cho học sinh có khái niệm về chúng mà
thôi.
i. GiảI bằng ph ơng pháp phân tích
Vài lu ý khi giảng dạy phơng pháp này:
- Chuyên đề chỉ đề cập đến 3 kiểu phân tích: thành tích,thành tổng các luỹ thừa,
thành tổng dạng liên phân số. (Kiểu bài này phù hợp với trình độ thi HSG cấp huyện)
- Cần phải nhắc nhở và chỉ rõ : Chỉ có trên tập Z (hoặc hẹp hơn nữa là trên số tự
nhiên,tập số nguyên tố) thì việc phân tích 1 số nguyên thành tích các thừa số hoặc tổng
các luỹ thừa mới có thể thực hiện đ ợc. Điều này không thực hiện đợc đối với số trên
tập R
(vì có vô hạn khả năng),để tránh sự nhầm lẫn đáng tiếc giống nh trờng hợp sau:
Bài tập: Giải pt: x
2
+2x-3 = 0. Có h/s giải: x(x+2) =3 .Giải 4 khả năng và
chọn đợc x=1, x=-3 ! ( Một sự trùng hợp thú vị)
H/s này đã không đọc kỹ đề (giải trên R),vì vậy đã mắc mắc sai lầm lớn .
- a/ Đối với dạng phân tích thành tích
+) Dng n gin: Khụng cn gii h m gii cỏc c, thay giá trị vừa tìm vào phơng
trình suy ra nghiệm (BT: 1; 2; 5; 9; 10; 11). Loi bi toỏn ny sau khi phõn tớch cú
dng
...))((

9
=++
yxyx
; c.
212
=++
yxxy
(thi chọn HSG lớp 8-2003-2004)
d.
xyyxp
=+
)(
vi p l mt s nguyờn t.
2, a. Tỡm x, y thuc N:
53
3
=
xyx
b. Tỡm x, y, z thuc N* tha món



++=
=+
)(2
222
zyxxy
zyx
Hay tỡm tam giỏc vuụng cú s o din tớch bng s o chu vi.
(Thi chọn HSG lớp 8 năm 2001-2002)


N sao cho
n
222
118
++
l mt s chớnh phng.
7, Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh:
)8)(7)(1(
2
+++=
xxxxy
8, Tỡm x, y, z

N* :
0)()2(
323
=++
yxxzxyyzy
9, Tỡm
xy
sao cho
14)(
222
+=
xyyx
10, Tỡm x;y nguyờn ca phng trỡnh:
19522
2
+=

155332
22
=++++
yxxyyx
b.
9539109
22
=+
yyxyyx

17, Tỡm x, y

Z tha món cỏc phng trỡnh:
a.
)(283612
22
yxyxyx
+=++
; b.
)(3)(7
22
yxyxyx
+=+
b. Phân tích thành tổng các luỹ thừa
1, Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh:
)32(2
362
=
yxxy
2, Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh:

+=
( Thi HSGlớp 9- huyện Quỳnh lu 2005-2006)
8, Tỡm nghim t nhiờn ca phng trỡnh: a.
3222236
)5(315
+=+
yzyxzxzx
b.
)4914(17)284(
244222
+++=++
yyxyx
c. phân tích thành liên phân số
1, Tỡm nghim nguyờn dng ca phng trỡnh
7
10
1
1
=
+
+
z
y
x
2, Tỡm nghim t nhiờn ca phng trỡnh :
)(40)1(31 tyyztztxtxyxyzt
++=++++

3, Tỡm nghim t nhiờn ca phng trỡnh:
)1(229)(55

yx
cp nghim (0;0)
b/.
( ) ( ) ( )( )
101110119
=++=+++=++
yxyyxyxyx
Suy ra
1
+
x
l c ca 10. Suy ra
1
+
x
{ }
10;5;2;1

suy ra
{ }
11;9;6;4;3;1;2;0

x
Thay giỏ tr ca x vo phng trỡnh ó cho thu c y tng ng.
Cỏc nghim ca ph.t. l: (1;4); (4;1); (-3;-6); (-6;-3); (0;9); (9;0); (-2;-11); (-11;-2)
c/. 2xy+x+y=21 4xy+2x+2y+1=43 (2x+1)(2y+1)=43
2x+1 là ớc của 43 =>
{ } { }
22;21;1;043;43;1;1


).
2, a/.
( )
5353
23
==
yxxxyx
do
{ }
yxx

5;1
tng ng l
{ }
74;2

Nghim ca phng trỡnh l (x;y) = (5;74) vỡ y = -2 b loi.
b/.
*
,,

zyx
t h
( )



++=
+==+
)2)((2

84484448444222
===+=
yxyyxyxxyyxxy
Suy ra
{ } { }
4;12;0;8;2;6;3;58;4;2;14

xx
Giỏ tr x = 0; -4 b loi nờn y tng ng l: {12;-4;8;0;6;5}
Giỏ tr y = -4; 0 b loi nờn z tng ng l: {13;10;10;13}
Cỏc nghim ca phng trỡnh l (5;12;13); (12;5;13); (6;8;10); (8;6;10).
3. Gii h trờn Z.
a/.
( ) ( )
9629124968103
222222
=++++=++
yxyxyxyxyxyx


( ) ( ) ( )( )
...12.824.432.348.296.1962439632
22
=======++=++
yxyxyxyx
6.16
( Cỏc hoỏn v v trỏi du (-).(-) nờn cú 24 kh nng )

Nhn xột: Do
( ) ( )

3).

4
Phng trỡnh nghim nguyờn
=>










=
=



=
=









22
2222
=+=+=+
yxyxxyxx

( )( ) ( )( )
11111122122
===+++
yxyx
Giải 2 hệ đợc 2 nghiệm là (0; 0); (-1; 0).
d/.
( )( )
1379119191
22
===+=
yxyxyx
Giải 8 hệ đợc 8 nghiệm là (x,y) = (46;45); (46;-45); (-46;45); (-46;-45)
(10;3); (-10;3) ; (-10;-3); (10;-3).
4. Đặt
22
6 mxx
=++
với m

Z =>
4
23
4
1
2


+






++=






+
mxmxmx
( )( )
)1(2312323122122
===+++
mxmx
.(*)
Và các hoán vị nên ta giải 4 hệ :
5
Phng trỡnh nghim nguyờn
(*)






















=+
=++



=+
=++



=+
=++


mx
mx
mx
mx
mx
mx
Nh vậy có 2 giá trị của x thoả mãn là x=5; x= -6
5, Gọi x, y là 2 số nguyên dơng cần tìm suy ra
yx 1
+
và
xy 1+
Nên
( )( )
)(11
=++
xypyx
với p

N
pxyyxxy
=+++
1
Do

1;1 yx
chia cả 2 vế của (*) cho xy suy ra
1
111
0

yy
y
y
xyxyxyyx
xyyx
6
Phng trỡnh nghim nguyờn

12
2
1


=
y
y
Do y
{ } { }
2;11;2
12
2
1
==



xy
y
y
suy ra có 2 nghiệm là (1; 2); (2; 1)

3
)12(
2
1
==
yxy
{ } { } { }
1;22;13;112

yxx
. Vậy p.t có 2 nghiệm : (1;2);(2;1)
6. Đặt
A
n
=++
222
118
Thử n

8 thấy A không chính phơng (2305; 2306; 2308; 2312; 2320; 2336;
2368; 2442; 2560).
Với n > 8 ta có A=
( ) ( )
9221822
8888
+=++

nn
Do 2
8

với a,b

N và a > b


( )





==
=


(*)6122)2.(622
)1(222
8
babba
nba
Suy ra 2
b
là ớc của 6, hay 2
b

{1; 2; 3; 6}

b

{0; 1} (chỉ nhận 1;2; còn 3;6 loại)

zy

( )( )
7749149722722
===++
zyzy
Giải các khả năng có 6 hệ.
7
Phng trỡnh nghim nguyờn
*)




=
=++
49722
1722
zy
zy



=
=
16
12
z
y
; *)

=++
9
12
1722
49722
z
y
zy
zy
*)



=
=




=
=++
16
12
1722
49722
z
y
zy
zy
*)

=++
0
0
7722
7722
z
y
zy
zy
Giải các phơng trình đặt cho z.
*) z = -16

( ) ( ) ( )
12;4;12;4404168
2
2
==+=+
xxxx
*) z = 9
( ) ( ) ( ) ( )
12;9;12;9;12;1;12;19;198
2
===+
xxxx
*) z = 0
( ) ( )
0;8;0;08;008
2
===+
xxxx

y
yzzy
y
xyzyyzzzyxyzyxyz
++=






++=+
Do VT
( )( )
11
4
00
2
2
+
yzzy
y
VP
( Đổi dấu 1- y)
1
=
y
vì nếu
2
2



+
1
2
1
2
1
2
1
2
1
4
1
2
1
(*)
2
xz
xz
xz
xz
xz
Phơng trình đã cho có vô số nghiệm (n; 1; n); (n; 1; n-1) với n

N
*
8
Phng trỡnh nghim nguyờn


( )( )
01212
2222
=++++
xyyxxyyx
vì x
2
+y
2
+2xy+1 >0
( )
01012
2
22
==+
yxxyyx
( )( )
011
=+
yxyx




=+=
==

98;87;76;65;54;43;32;21;101
89;78;67;56;45;34;23;121
xyyx


bị loại vì
2x+1 là lẻ)
Thay vào phơng trình (*) có y tơng ứng là
{ }
11;4;26;19

y
Vậy phơng trình đã cho có 4 nghiệm (x; y) = (0; 19); (-1; -26); (5; 4); (-6; -11).
11. Theo bài ra ta có phơng trình: xy = 2( x + y) (*) trong đó x, y thuộc Z
+
và x lẻ
(*)
( ) ( ) ( )
4222022022
==+=++
yyxyyxyxxy

( )( )
422
=
yx


2x
Ư(4)={

1;

2;

knknknZk
Để ý : (n+k) +(n-k)=2n là số chẵn, nên khả năng-1.16 bị loại( vì tổng của 2 thừa cố này
=15(lẻ), chỉ còn phải xét 6 khả năng có từ -2.8 và -4.4.Kết quả cho ở bảng sau:

n+k 8 -8 2 -2 4 -4
n- k -2 2 -8 8 -4 4
n 3 -3 -3 3 0 0
Ta kiểm tra lại cho 3 khả năng có đợc của n=-3;0;3 để lấy ngiệm (Nếu phù hợp)
*) n = 3 => x
2
-7x+6 = 0 =>x =1;6 , cả 2 nghiệm đều thoả mãn => n = 3 thoả mãn.
*) n =-3 => x
2
-x-6 = 0 =>x = -2;4 , cả 2 nghiệm đều thoả mãn => n = -3 thoả mãn.
*) n = 0 => x
2
- 4x = 0 =>x = 0;4 , cả 2 nghiệm đều thoả mãn => n = 0 thoả mãn.
9
Phng trỡnh nghim nguyờn
Vậy có 3 giá trị thoả mãn : n = -3;0;3
13. Tìm n nguyên để các nghiệm của pt : x
2
-(4+n)x+ 4n- 25 = 0 cũng nguyên.
Vì các hệ số của pt đều nguyên nên đk cần là
0100)4(
2
>+=
n
là số chính ph ơng
Đặt (n-4)

0)48(
>+=
pp
là số chính ph ơng
Do p là số nguyên tố =>đk cần tiếp theo là:
3;24848
=+
pppp
Với p = 2
6;40242100
2
==+=
xxx
cả 2 nghiệm đều nguyên,p=2 TMĐK.
Với p = 3
153
=
, không chính phơng nên p = 3 bị loại.
Vậy p = 2 là số nguyên tố cần tìm.
15.Tìm
Nnm

;
sao cho các nghiệm của phơng trình: x
2
-m(n+1)x +m +n +1 = 0
cũng là số tự nhiên.
Gọi
21
; xx

Vì vậy VP = 2 chỉ có thể có các cách viết là: 2 = 0+2 = 2+0 = 1+1
Giải 3 khả năng này. Cụ thể là:

a)



=
===
)2....(0)1)(1(
5;1)2;2(),3;1();()1....(..........2)1(
21
xx
xmnmn
(Tính m;n từ (1) ,do có 2 kết quả, sau đó thay từng cặp (m;n) vào pt để tìm x .)
b)



==
==
2)2....(1)1)(1(
)2;1();()1....(..........1)1(
2;121
xxx
mnmn
(Tính đợc trực tiếp từ hệ)
c)



a.+ Nhóm theo x ( xem y là tham số).
155332
22
=++++
yxxyyx
( )
( )
(*)155213
22
=++++
yyyxx
+Thêm bớt vào 2 vế với cùng một số m (tạo cho

của vế trái là chính phơng)
(*)
( )
mmyyyxx
+=+++++
155213
22

+ Chọn m cho

vế trái chính phơng ( đảm bảo Đk cần cho

x
).

( )
( )

( Để dùng phơng pháp phân tích thành tích)
(*)
( )( )
)1(17)17(111717117122
=====++++
yxyx
Giải 4 hệ chọn nghiệm nguyên ( vì

chính phơng chỉ là Đk cần), thử lại.
11
Phng trỡnh nghim nguyờn
*)



=
=




=++
=++
17
18
1712
12
y
x
yx


=++
=++
15
12
1712
12
y
x
yx
yx
; *)



=
=




=++
=++
17
36
112
172
y
x
yx

( )
2
321
+
y
VT = 0 khi
3
12
;
3
5
21
+
==
y
xyx
Phơng trình đã cho trở thành
( )( )
9123539
3
12
3
5
9
=++=







=++
=
1
2
9123
153
y
x
yx
yx
; *)




=++
=
1123
953
yx
yx







=

21
52
y
x
(loại); *)





=
=




=++
=
1
3
4
1123
953
y
x
yx
yx
(Loại);
12
Phng trỡnh nghim nguyờn





=
=




=++
=
7
1
21
26
3123
353
y
x
yx
yx
(loại);
Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (2; 1).
17) Đối với bài tập này, quy trình trên khó thực hiện do việc tìm m quá phức tạp, hơn
nữa do

có cực đại, nên số lợng cần thử có hạn,ta dùng cách thử trực tiếp (Cách
này không dùng đợc cho bài 16, vì do


27
196
3
28
27
2
yy

=






+
27
196
9
196
9
196
3
14
227
2
yy
=
2
2

= 4
2
thì cặp (x; y) = (-1; 10)
(Các trờng hợp còn lại :
222/
0;....,27;28
=
khi thay vào để tìm y, ta đều có
y

không
chính phơng ,hoặc y không mang giá trị nguyên, nên bị loại )
Ví dụ *)
9
42
0019684905882522778428
/222/
===+=+==
yyyyy
y
*)
2092501872522793
/22/
====
y
yy
không chính phơng=> loại
..
Vậy phơng trình đã cho có 3 nghiệm là : (1; 8); (0; 0); (-1; 10).
Bài tập này còn có cách giải khác:(Đánh giá miền giá trị của x)

(3
3
196
9
222
+=
xyxx
; Vì x
2
là số chính phơng nên:
{ } { }
2;1;04;1;0
2

xx
. Đến đây ta thay các giá trị của x vào phơng trình ,tìm
y,chọn cặp nghiệm nguyên (nếu có).
*) x=0 => 3y
2
= 28y => y=0 => (x;y) = (0;0) , (Giá trị y=28/3 bị loại)
13