SƠ ĐỒ CÁC BƯỚC KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
1. Hàm bậc ba : y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a ≠ 0)
a. TXĐ : D = R
b. Sự biến thiên :
+. Chiều biến thiên: Đạo hàm y’ = A x
2
+ Bx + C ( Tính
∆
) , Sau đây là các khả năng
có thể xẩy ra :
TH1:



<
<∆
0A
0

⇒ y’ < 0 với mọi x
∈
R ⇒ HS nghòch biến trên R (1)
TH2:




R ⇒ HS đồng biến trên R (4)
TH5, 6:
∆
> 0 . Cho y’= 0 ⇔



=⇒=
=⇒=
)x(fyxx
)x(fyxx
22
11
(5) và (6)
Căn cứ vào BBT để kết luận các khoảng mà hàm số tăng hoặc giảm
+. Cực trò :
* Các TH1, TH2, TH3, TH4 : Kết luận không có cực trò
* TH5: Hàm số đạt cực đại tại x = x
1
và y
CĐ
= f(x
1
)
Hàm số đạt cực tiểu tại x = x
2
và y
CT
= f(x
2

+∞ ,
=
∞+→
Limy
x
- ∞
+. Bảng biến thiên : (Ứng với các trường hợp đạo hàm phía trên )
c. Đồ thò :
+. Điểm đặc biệt : Tìm gđ của đồ thò (C) với Ox và Oy; điểm CT ; lấy thêm vài điểm khác
+. Vẽ đồ thò : Gồm các bước : Vẽ hệ tục ; Lấy điểm đặc biệt ; Vẽ đồ thò . (Các dạng
đồ thò )
)x(f
1
∞+
∞−
CT
CĐ
)x(f
2
∞−
∞+
CĐ
CT
)x(f
1
)x(f
2
_
∞+
∞−

A2
B
−
_
∞+
∞−
∞+
∞−
x
'y
y
)4(
0
−−
∞+
∞−
+
x
'y
y
)5(
+
0
0
−
1
x
2
x
∞+

4 trường hợp sau:
TH1: Nếu a < 0 và b < 0 thì y’= 0 ⇔ x = 0 ⇒ y = f(0) . Xem BBT để kết luận
khoảng tăng , giảm (1)
TH2: Nếu a > 0 và b > 0 thì y’= 0 ⇔ x = 0 ⇒ y = f(0) . Xem BBT để kết luận
khoảng tăng , giảm (2)
TH3: Nếu a < 0 và b > 0 thì y’= 0 ⇔





=⇒=
=⇒=
=⇒=
)x(fyxx
)0(fy0x
)x(fyxx
22
11
. Xem BBT để kết luận
khoảng tăng , giảm (3)
TH4: Nếu a > 0 và b < 0 thì y’= 0 ⇔





=⇒=
=⇒=
=⇒=

x
-∞
và
=
∞+→
Limy
x
- ∞
+. Bảng biến thiên :
c. Đồ thò :
* Điểm đặc biệt : Tương tự như HS bậc ba
* Vẽ đồ thò : Thứ tự các bước vẽ như HS bậc ba. Các dạng đồ thò của hàm trùng phương
ứng với các trường hợp như sau :

y’
x
y
∞+
+
0
∞−
0
_
∞−
∞−
CĐ
f(0
)
(1)
y’

+
_
CT
f(0)
0
y’
x
y
∞+
+
0
_
∞+
∞+
CĐ
f(0)
(4)
x
1
0
0 0
x
2
+
_
0
∞−
)x(f
CD
1

∞−
x
'y
y
)2(
−
−
c
a
c
a
c
a
c
d
−
c
d
−
3. Hàm nhất biến : y =
dcx
bax
+
+
( c ≠ 0 ; ad –bc ≠ 0 )
a. TXĐ : D = R \





d
−
,+∞ ) (2)
+. Cực trò: Không có
+. Tiệm cận : ( có TCĐ và TCN )
* y’ > 0 :
+∞=
−






−→
ylim
c
d
x
và
−∞=
+






−→
ylim


−→
ylim
c
d
x
⇒ đường thẳng x =
c
d
−
là TCĐ
*
c
a
ylim
x
=
±∞→
⇒ đường thẳng y =
c
a
là TCN
+. Bảng biến thiên : c. Đồ thò :
* Điểm đặc biệt : Tìm giao điểm của đồ thò với các trục toạ độ ; Lấy thêm vài điểm khác
* Vẽ đồ thò : Gồm các bước : Vẽ hệ trục ; vẽ hai đường tiệm cận ; lấy điểm đặc biệt ,
từ đó vẽ đồ thò. Các dạng đồ thò ứng với 2 trường hợp trên như sau:
Đôi điều tâm sự: