GIẢI TÍCH TỔ HP
LOẠI TOÁN ĐẾM
Bài 1: Với các chữ số 1,2,3 có thể lập được bao nhiêu số nguyên dương khác nhau có tính chất:
1. Mỗi số gồm 3 chữ số trong đó chữ số 1 là chữ số duy nhất lập lại nhiều nhất 2 lần.
2. Mỗi số gồm 5 chữ số, trong đó chữ số 1 và 3 xuất hiện một lần, chữ số 2 xuất hiện ba lần.
1. Đs: 12
2. Đs: 20
Bài 2: Với các chữ số 0,1,2,3,4 có thể lập được bao nhiêu số số tự nhiên khác nhau, mỗi số có các chữ số không
trùng nhau và dó nhiên không có chữ số 0 ở vò trí đầu trừ số không.
Đs:261
Bài 3: Với các chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số nguyên dương có 5 chữ số không trùng nhau sao
cho hai chữ số chẵn không đứng cạnh nhau.
Đs :72
Bài 4: Với các chữ số 1,2,3,....,n có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có n chữ số khác nhau trong đó chữ số 1
và 2 không đứng cạnh nhau.
Đs :n! - 2(n - 1)!
Bài 5: Với các chữ số 1,2,3,4 có thể lập được bao nhiêu số lớn hơn 20.000 sao cho trong mỗi số các chữ số 2,3,4
có mặt một lần và chữ số 1 có mặt hai lần.
Đs :
!
.
4
3
2
Bài 6: Có tất cả bao nhiêu số đăng ký xe ôtô khác nhau có 5 chữ số nếu chữ số đầu tiên khác không.
Đs :9x10
4
.
Bài 7: Các số 1,2,...,n được xếp thành hàng ngang. Hỏi có mấy cách sắp xếp sao cho:
1. Hai chữ số 1 và 2
2. Ba chữ số 1,2,3

6
10
9
2
.
Bài 10: Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số chỉ tạo bỡi các chữ số 1,2 và 3 với điều kiện chữ số 2 xuất hiện hai
lần trong mỗi số.
Trang 1
GIẢI TÍCH TỔ HP
HD: Vì số các chữ số dùng để lập một số như yêu cầu của bài toán là không kiểm soát được như vậy ta lại dựa vào
vò trí, thứ mà ta kiểm soát được. Cụ thể như sau:Ta sẽ chọn ra hai vò trí cho số 2: có
C
2
7
cách. Còn lại 5 vò trí dành
cho hai số 1 và 3: có 2
5
cách sắp. Vậy đáp số là: 2
5
C
2
7
.
Bài 11 : Có bao nhiêu số nguyên dương nhỏ hơn 10
4
viết dưới hệ cơ số thập phân có tất cả các chữ số khác nhau.
Đs:
A A A A A A A A+ + + − − − −
4 3 2 1 3 2 1 0
10 10 10 10 9 9 9 9

.
Bài 16 : Có bao nhiêu số nguyên dương nhỏ hơn 10
4
có các chữ số không trùng nhau, là bội số của 4 tạo bỡi các
chữ số 0,1,2,3,5.
Đs: 31
Bài 17: Có bao nhiêu số nguyên dương có bốn chữ số, trong đó nhiều nhất là hai chữ số trùng nhau.
Đs:576
Bài 18: Có bao nhiêu số nguyên dương có sáu chữ số, trong đó chỉ có đúng bốn chữ số khác nhau.
Bài 19: Có bao nhiêu số nguyên dương nhỏ hơn
.
8
2 10
chia hết cho 3 có các chữ số là 0, 1, 2.
Đs:
. −
7
2 3 1
Bài 20: Người ta xếp 12 cuốn sách vào 6 hộc, mỗi hộc có 2 cuốn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp.
ĐS:
!
C C C C C C
2 2 2 2 2 2
12 10 8 6 4 2
6
=10395=
!
!
6
12

2
8
Bài24: Trong ba lần chọn ngẫu nhiên 3 chữ số thì có mấy trường hợp:
1. Có hai lần lặp lại.
2. Có một lần lặp lại.
3. Không có lần nào lặp lại.
HD: 1. Chọn ba chữ số mà có hai lần lặp lại như vậy là thật ra ta chỉ chọn có một chữ số. Vậy trong trường hợp
này có 10 cách chọn.
2.Chọn ba chữ số mà có một lần lặp lại như vậy là thật ra ta chọn 2 chữ số rồi sau đó ta thêm vào một chữ số
trùng với một trong hai số đã chọn ta được
C
2
10
2
. Sau đó ta thay đổi thứ tự của các chữ số trong số được lập, ta
được
!
.
!
C
2
10
3
2
2
= 270.
3.
A =
3
10

C C+
1 2
33 33
67
Bài 27: Có bao nhiêu cách phát 10 phần thưởng giống nhau cho 6 học sinh.
Bài 28: Có bao nhiêu cách phát 10 phần thưởng giống nhau cho 6 học sinh sao cho mỗi học sinh có ít nhất một
phần thưởng?
HD: Đầu tiên phát cho mỗi học sinh một phần thưởng. Như vậy có một cách. Còn lại 4 phần thưởng phát cho 6 học
sinh ( phát tuỳ ý ). Vì ta phát tất cả 4 phần thưởng cho 6 học sinh nên ta chỉ cần xét cách phân phối cho 5 học sinh,
học sinh thứ 6 nhận số phần thưởng còn lại. Bỡi vì có thể xảy ra trường hợp có 5 học sinh không nhận phần thưởng
nào trong 4 phần thưởng còn lại, cho nên ta thêm vào 4 phần thưởng đó 5 phần thưởng ảo tượng trưng cho không
có phần thưởng. Vì các học sinh nhận là khác nhau nên ta có thể xem các phần thưởng là khác nhau. Như vậy ta sẽ
lấy 5 phần thưởng trong 9 phần thưởng ra để phát cho 5 học sinh. Số còn lại học sinh thứ 6 sẽ nhận. Vậy có
C
4
9

cách phát thưởng cho học sinh.
Bài 29: Giả sử có n viên bi giống nhau và m cái hộp khác nhau. Ta xếp bi vào các hộp. Tìm số cách xếp:
1, Xếp tuỳ ý.
2, Tất cả các hộp đều phải có bi.
HD:
1, Ta biểu diễn m hộp bỡi các khoảng ở giữa m + 1 gạch thẳng đứng, còn các viên bi biểu diễn bằng các ngôi sao.
Ví dụ: |**|*| |****|….|*|.
Trang 3
GIẢI TÍCH TỔ HP
Như vậy ở ngoài cùng luôn lấcc vạch thẳng đứng, còn lại m – 1 vạch đứng và n ngôi sao được xếp theo thứ tự tuỳ
ý. Như vậy số cách chọn n phần tử trong m-1+n phần tử, nó cũng là số cách chọn m-1 phần tử trong m-1+n phần
tử:
1

x x x x n+ + + + =
Bài 30: Có 5 cuốn sách khác nhau đặt trên giá sách. Rút lần lượt không hoàn lại ba cuốn sách. Có bao nhiêu
cách rút được cuốn A; có bao nhiêu cách rút không được cuốn A?
LOẠI TOÁN GIẢI PT, BPT,…:
Lưu ý: Đặt đk, dùng các công thức, khử giai thừa, giải pt, bpt,…
Vì giải trong tập hợp số tự nhiên nên có thể thử nghiệm nếu cần.
( )
3 2
2 4 2 3 4
1 4 1 1
3 3
8 6
6 5
1
1
2 2 2
4 5 6
4
3
1
1
2
1
2 1
3 1
1 1
2 1
1
1, 14
2,

A C x
x C A C xC
C A
C C
C C
C C C
A
C
C
C
A C x
A C
−
− −
− + −
+
+ +
−
−
−
−
+
−
+
−
+ +
−
+ =
= −
=

x x
x x
x x x
x
x
x x
x
x x
A C x
C A x
C A x A
C
x
C
C P x A
P
A P
−
+
+
+
+
+
−
+ =
= +
+ − =
=
+ =
=

<
>
− − <
− ≤
( )
( )
4
1
3
3
1
1
10 10
2 1
4
3 4
1
4
4
1
105 105
1 1
1 1 1
1 1
2
5
3
1
1
21, 14

k
n
n
y y
x x x
A
P
C
C C
A C
A
A C
A
x P
C C
C C C
C C C
P
A
n k
C C C
+
−
−
−
−
−
+
+
+

1
2 3
1
1 2 1
1 1 1
2
1
1
1 2 3
1
0
2
2 2 2
0 1 2
1 2 3
2 3 4 2
1, .
1
1 , 2 3 ...
2
1 , 2
2, 2 3 ... 1 1
3, 0 :
4, ...
−
−
−
+ − +
+
−

k
n n n n
k
n n n n k
n
C C
r
n n
C C C
a C n
C C C
b C C C C
C C C nC C
k n C C C
C C C C
C C C C
1 1
2 2
1 2 3
3
1
1 2 1 1
1 2 3
4
1
...
2
5, 3 3
6, ...
7, 4 6 4

k k k
n n n
C C C
− +
theo thứ tự là các số hạng của một
cấp số cộng.
Trang 5