CHUYấN TH TCH

Phần 1.
Thể tích khối đa diện
A. Lý thuyết
1. Khái niệm thể tích của 1 khối đa diện (Sgk hh 12)
2. Các công thức tính thể tích của khối đa diện
a) Thể tích khối hộp chữ nhật
V = abc với a, b, c là 3 kích thớc của khối hp chữ nhật
b) Thể tích của khối chóp
V=
3
1
S
đáy
. h ; h: Chiều cao của khối chóp
c) Thể tích của khối lăng trụ
V= S
đáy
. h ; h: Chiều cao của khối lăng trụ
B. Các dạng bài tập
Dạng 1. Tính thể tích của khối đa diện
*Ph ơng pháp: Để tính thể tích của khối đa diện ta có thể:
+áp dụng trực tiếp các công thức tính thể tích
+Chia khối đa diện thành các khối nhỏ hơn mà thể tích của các khối đó tính
đợc
+Bổ sung thêm bên ngoài các khối đa diện để đợc 1 khối đa diện có thể tính
thể tích bằng công thức và phần bù vào cũng tính đợc thể tích.
*Các bài tập
1)Về thể tích của khối chóp
+Nếu khối chóp đã có chiều cao và đáy thì ta tính toán chiều cao, diện tích

a
ABC có SA = SB; ABC = 60
o

SA = AB = SB = a
C
S
A
B
O
a
SO OA ( vì SO (ABC) ) Tam giác vuông SOA có:
SO
2
= SA
2
- OA
2
= a
2
- (
3
2
a
2
3
)
2
=
2

l

b) Tơng tự câu a đáp số:
VSABC =
3
1
.

4
3
2
a
.
3
2
2
a
l

c)
Gọi O là tâm ABC
Gọi A là trung điểm BC
Dễ thấy ((SBC), (ABC)) = góc SAO =
Tam giác vuông SOA có:
SO
2
= l
2
- OA
2


O
B
A'
A
C
a

AA
2
(sin
2
+ 4) = 9l
2


4sin
3
2
'
+
=

l
AA
SABC =
)4(sin2
33
4sin3
3



ll
SO
2
CHUYấN TH TCH

VSABC =
3
1
SABC . SO =
4sin).4(sin
sin
3
3
22
2
.
++


l
Bài 2. Cho lăng trụ ABCABC có độ dài cạnh bên = 2a, ABC vuông tại A, AB
= a, AC = a
3
. Hình chiếu vuông góc của A trên (ABC) là trung điểm BC.
Tính VAABC theo a?
Giải.
-Gọi H là trung điểm BC
AH (ABC) (gt)

2
- a
2
= 3a
2
AH = a
3
B
C
H
2a
a
a 3
C'
A'
VAABC =
3
1
SABC .AH =
2
2
2
1
3
1
2
3.3.
a
aa
=

B
b) SAB có AB = SA = a SAB cân tại A AB SB
BS = BB
3
CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH

BC⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AB’
BC⊥ SA
⇒ AB’ ⊥ (SAC) ⇒ AB’ ⊥ SA ⇒SC ⊥ (AB’C’)
AC’ ⊥ SC
C¸ch 1
2
2
2
1
2
1
2'
a
aSBAB
===
V× AB’ ⊥ (SBC) ⇒AB’ ⊥ B’C’. SC =
aACSA 3
22
=+

3
2
'
a

363243
1
32
..
aaa
=
C¸ch 2
3
' '
1 1
2 3
3
a
SB SC
SB SC
a
= = =
3
' '
3
3
' ' '
1 1 1
' ' '
6 6 6 36
3
SAB C
SABC
a
V

Tam giác vuông SB có sin =
SB
BD
(2)
Từ (1) (2)

sinsincos
22
aAB
BDAB

==



sin
cos
22
2
2
aAB
AB

=
AB
2
(sin
2
cos
2


= =
SA = AB. tan =


22
sincos
sin

a
VSABC =
3
1
SA.SABC =


22
sincos
sin
3
1

a


22
2
sincos
sin


A
D
C
m
B
M
N
Diện tích hình thang AMNC là S =
2
2)(
2
)(
.
anmCNAM
AC
++
=
VAMNC =
)(...
62
2
2
2)(
3
1
3
1
2
nmBIS
a

C
B
H
a
- Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC)
- Vì các cạnh bên nghiêng đều trên đáy H là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC.
- Ta có: ABC =

sin..
2
1
ACAB

mà BC
2
= 2AB
2
- 2AB
2
cos = 2AB
2
(1-cos ) = a
2
AB =
2
cos1


a
SABC =

aa
=
VSABC =



cos24
cot
cos2243
1
3
1
2
3
2
.cot..
a
aa
ABC
SHS
==

Bài 7: SABC có đáy ABCD là hình bình hành và SABCD =
3
và góc giữa 2 đờng
chéo = 60
o
. các cạnh bên nghiêng đều trên đáy 1 góc 45
o
. Tính VSABCD

==
xx
x=3
- (SA, (ABCD)) = (SA, AO) = SAO = 45
o
= SCO = (SC, (ABCD)) ASC vuông
cân tại S SO =
1
2
1
=
AC
VSABCD =
3
3
3
1
1.3
=
Bài 8: SABC có SA = SB = SC = a. ASB = 60
o
, BSC = 90
o
, CSA = 120
o
.
a) Chứng minh rằng ABC vuông
b) Tính VSABC
Giải
a)

= a
2
+ a
2
-2a
2
cos120
o
= 2a
2
- 2a
2
(-
2
1
) =3a
2
-ABC có AC
2
= AB
2
+ BC
2
ABC vuông tại B
b) Hạ SH (ABC)
Vì SA = SB = SL

HA = HB = HC H là trung điểm AC
ABC vuông tại B
Tam giác vuông SHB có SB = a SH

3
1
3
1
23
.2.....
aa
ABC
aaSHBCABSHS
===

Bài 9: SABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB = 2, ACB = 90
o
. SAC
và SBD là các tam giác đều có cạnh =
3
.
Tính thể tích khối chóp SABCD.
Đáp số: VSABCD =
4
6

Bài 10: SABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, SAD đều cạnh = 2a,
BC = 3a. Các mặt bên lập với đáy các góc bằng nhau. Tính VSABCD
Giải
2a
3a
C
D
H

2.5
2
).(
5a
aa
ADCDAB
==
+
⇒VSABCD =
3
5
2
3
1
3
1
23
2.5.
a
ABCD
aaSHS
==
Bµi 11: Cho h×nh chãp SABCD cã ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh 2a, SA = a,
SB = a
3
, (SAB)
⊥
(ABCD). M, N lần lượt là trung ®iÓm AB, BC. TÝnh VSBMDN
Gi¶i
S

⇒
222222
3
4
3
11111
aaaSBSASH
=+=+=
⇒ SH =
2
3a
⇒VSBMDN =
3
1
S⋄BMDN.SH =
2
3
2
3
2
3
1
3
.2
aa
a
=
Bµi 12: SABCD cã ⋄ABCD lµ h×nh thang víi AB = BC = CD =
2
1

+=
hay
aaSH
17
120
289
14400
.
==
-Vì hình thang có AB = BC = CD =
2
1
AD
DA


=
= 60
o
, B = C = 120
o
-SBD có BD
2
= SB
2
+SD
2
=289a
2
BD = 17a

a
o
aBC
==
SABCD = 3SBCD =
12
3289
2
a

VSABCD =
3
1
SABCD.SH =
17
120
12
3289
3
1
.
2
a
a
= 170
3
a
3
Bài 13: hình chóp SACD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SCD cân tại S và nằm
trong mặt phẳng

⊥
AB
AB
⊥
SH (v× SH
⊥
(ABD))
⇒AB
⊥
(SKH) ⇒ AB
⊥
SK ⇒ ∆SAB c©n t¹i S
DÔ thÊy ((SAB), (SCD)) = KSH = α
∆SAB cã SK = acos α , AB = 2AK = 2asin α
∆SHK vu«ng t¹i H cã SH =SK.cosα = acos
2
α
KH = SKsinα = asinαcosα. SABCD =AB.BC = 2asinα.asinαcosα
= 2a2sin
2
αcosα ⇒VSABCD =
23
3
2
.3
1
sinaS
ABCD
SH
=

3.60tan..
2
2
1
2
1
2
1
aaaBCAB
o
==
VMABC =
42
3
2
2
1
3
1
3
1
3
.3..
a
a
ABC
aMHS
==

Cách 2.

3
4
1
a
Bài 15 : Hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông tâm O, SA

(ABCD),
AB = a, SA = a
2
. H, K lần lợt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD. Chứng
minh rằng: SC

(AHK) và tính thể tích hình chóp OAHK.
Giải
A
C
O
H
K
a
a
N
F
E
B
D
a2

Từ (3) (4) SC

(AKH)
Gọi {F} = KH SO (SAC) (AHK) = AF
Kéo dài AF cắt SC tại N
Trong (SAC) kẻ đờng thẳng qua O//SC cắt AN tại E OE

(AHK)
Vì OA = OC; OE//CN OE =
2
1
CN
Tam giác vuông SAD có
222
111
ADASAK
+=
AK =
3
2
3
.2
.
222
a
a
aa
ADAS
ADAS
==

===
3
2
33
2
HK =
3
2
BD =
2
3
2
a
OF =
3
1
SO
2
1
=
SF
OF
SAC có : OA = OC

2
1
==
SF
OF
SN

SOE
27
22
3
a
* Có thể dùng PP toạ độ để tính thể tích OAHK nh sau:
Chọn hệ toạ độ nh hình vẽ.Ta có:
A(0,0,0) , B(a,0,0) ,D(0,a,0) , S(0,0,a
2
) , O(
2
a
,
2
a
, 0)
SKA
:
SAD
SD
SA
SA
SK
=
SK=
3
2a
K(0,
2
3

a
aAH
=

)
3
2
,
3
2
,0(
a
aAK
=
13
CHUYấN TH TCH,0)
2
,
2
(
aa
AO
=
[
AKAH,
] =(
9

Giải
a
K
O
C
D
A
a 2
a
N
I
B
SA

(ABCD)
Gọi {O} = AC BD
Trong SAC có ON // SA
ON

(ABCD) NO

(AIB)
Ta có NO =
22
1
a
SA
=
Tính SAIB = ?
ABD só I là trọng tâm

aa
a
=

Bài 17. Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
(SAD)

(ABCD), SAD đều. Gi M, N, P lần lợt là trung điểm SB, BC, CD.
Tính thể tích hình chóp CMNP
Giải
14
CHUYấN TH TCH

A
C
N
a
D
P
B
M
F
E
S
y
x
z
- Gọi E là trung điểm AD. (CNP) (ABCD) SE

AD

ABCDCBD
==

VCMNP =
2
1
SNCP.MF =
96
3
4
3
2
8
1
3
1
3
.
aa
a
=
Nhận xét: có thể dùng phơng pháp toạ độ để giải với gốc toạ độ O .
0x EN, oy ED, oz ES
Bài 18: Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O bán kính đáy bằng
chiều cao bằng a. Trên đờng tròn tâm O lấy A, Trên đờng tròn tâm O lấy B. sao
cho AB = 2a. Tính thể tích hình chóp OOAB
Giải
15
CHUYấN TH TCH


2
3a
VBAOO

=
.
3
1
BH
SAOO =
12
3
2
a
Bài 19: Cho hình chóp có ABCD là hình chữ nhật; AB = a.AD = 2a;
SA (ABCD); (SA, (ABCD) = 60
o
. Điểm M thuộc cạnh SA, AM =
3
3a
.
(BCM) SD ={ N}. Tính thể tích hình chóp S.BCMN
Giải
16
CHUYấN TH TCH

S
A
D
C

).(
2
1
2
a
BMBCMN
=+
VSBCMN =
.
3
1
SH
SBCMN =
27
310
3
a
Bài 20: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình thang; BAD = ABC = 90
o
;
AB = BC = a; AD = 20; SA b (ABCD); SA = 2a. M, N lần lợt là trung điểm SA và
SD. Chứng minh rằng BCMN là hình chữ nhật và tính thể tích hình chóp S.BCNM
Giải
17
CHUYấN TH TCH

A
D
S
H

C
1
có ABC vuông. AB = AC = a;
AA
1
= a
2
. M là trung điểm AA
1
. Tính thể tích lăng trụ MA
1
BC
1
Hớng dẫn:
+Chọn mặt đáy thích hợp V =
12
2
3
a
+Có thể dùng cả phơng pháp toạ độ
Bài 22: Tứ diện ABCD có AB = x có các cạnh còn lại bằng 1.
a.Tính thể tích tứ diện theo x.
b.tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ACD
c. Tìm x để thể ABCD đạt giá trị lớn nhất
Giải
a.
18
CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH

H

sin2
x
xx
C
x
xx
CC
−
−
===
⇒Tam gi¸c vu«ng HCD cã HD
2
= CD
2
- DC
2

=
2
2
2
4
3
4
1
1
x
x
x
−

= − = −
C¸ch 2:
B
A
D
M
C'
Gäi M lµ trung ®iÓm CD ⇒ CD
⊥
ABM
V× ∆ACD vµ ∆BCD ®Òu ⇒ AM = BM =
2
3
VABCD = 2VCBMA = 2.
3
1
CM.S∆ABC =
ABM
S
∆
.
2
1
3
2
S∆ABM =
2
1
MC’.AB =
2

ACD
ABCD
S
V3
=
xx .3
3
1
2

c)
VABCD =
2 2
2
3
1 1 1
12 12 2 8
3 . .
x x
x x
+
=
Dấu = xảy ra x
2
= 3-x
3
x =
2
3
và thể tích lớn nhất là

1
a
2
Mà SABM =
2
1
AH.BM AH=
22
22
xa
a
BM
a
+
=
SAH vuông ở A có SH=
22
2
222
xa
a
hAHSA
+
+=+
BAH vuông ở H có BH=
22
22
4
222
xa

1
xa
xha
SAS
ABH
+
=
ha
ax
xha
2
3
12
1
26
1
=
Dấu bằng xảy ra khi a=x tức M trùng D.
Bài 24: Hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với
đáy ABC và SA = a.Điểm M thuộc cạnh AB. Đặt góc ACM bằng

Hạ SH vuông góc với CM
a)Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện SAHC
b)Hạ AI vuông góc với SC,AK vuông góc với SH Tính thể tích khối tứ diện
SAKI.
Đáp số
a)V
max
=
12

SBCD =
4
1
SPQR
AD = BC = PR
D là trung điểm PR
AR

AP
21
CHUYấN TH TCH

Tơng tự AP b AQ, AQ b AR
VAPQR =
4
1
SPQRAR
Bài 26: VABCD =
6
1
AD.BC.MN.Sin . Trong đó ABCD là tứ diện có MN là độ dài
của đoạn vuông góc chung của các cặp cạnh đối AD và CB, =(AD, BC)
Hớng dẫn: Dùng hình hộp ngoại tiếp t diện này.
Bài 27: Cho hình chóp SABC có tất cả các góc phẳng ở đỉnh A và B của tam diện
đều bằng . AB = a. Tính thể tích hình chóp SABC
Giải
C
A
B
S

+
2
cos cos 2cos
( )
a
a
EB

= = =
Sin
2

=
BC
FC
FC = BC sin
2

=
2cos2
sin.


a
Tam giác vuông EFC có
22
CHUYấN TH TCH

EF
2

2
1
EF.SC = EF.FC =
2cos22
22
cos2
sin..sinsin





aa

=
2
22
2
cos2
sinsin.sin.
2
2




a
VSABC =
2
22

(ABM) (SCD) = MN
MN // CD N là trung điểm SD
VSABCD =
2
1
SABCD.SO =
2
1
AC.BD.SO =
2822.2.4
2
1
=
2
1
==
SD
SN
V
V
SABD
SABN
VSABN =
2
1
SSABD =
2
28
2
1

VSABMN = VSABN + VSBMN = 3
2
23
CHUYấN TH TCH

Cách 2: Sử dụng phơng pháp toạ độ
O
S
A
C
D
N
M
B
z
x
y
Chọn hệ toạ độ xyz có tia OX tia OA, tia oy OB, tia oz OS
Dễ thấy A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S(0; 0; 2
2
), C(-2; 0; 0), D(0; -1; 0), M(-1; 0;
2
)
Do (ABM) (SCD) = MN
AB // CD
MN//CD
N là trung điểm SD
N(0; -
2
1

6
1
[
SA
,
SM
].SB =
3
22
VSAMN =
6
1
[
SA
,
SM
].SN =
3
2
VSABMN = VSABM + VSAMN =
2
Bài 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCDABCD có AB = a, AD = b , AA = c
a)Tính thể tích ACBD
b)Gọi M là trung điểm CCTính thể tích MABD.
giải
24
CHUYấN TH TCH

C
B'

BCD
V
Tơng tự ta có: VAABD = VBAB C = VDADC =
6
1
V
VACDB = V - 4.
6
1
V =
3
1
V=
3
1
abc
Cách 2: dùng phơng pháp toạ độ
Chọn hệ toạ độ Axyz nh hình vẽ Ta có: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0) D( 0; b; 0), C(a; b; c),
A(0; 0; 0)
DB
= (a; -b; 0);
'DC
= (a; 0; c);
'DA
= (0; -b;c);
[
DB
,
'DC
] = (-bc; -ac; ab)

caBA
=
[
BMBD,
]=
);
2
;
2
( ab
acbc

VBDAM =
6
1
|[
BD
,
BM
].
'BA
| =
4
1
2
3
6
1
=
abc