CHUY£N §Ị THĨ TÝCH
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
: Thể tích của mỗi khối đa diện là một số dương có tính chất sau :
a. Hai khối đa diện bằng nhau thì thể tích bằng nhau .
b. Nếu một khối đa diện được phân
1 Đònh nghóa
chia thành nhiều khối đa diện nhỏ thì thể tích của nó bằng tổng
thể tích của các khối đa diện nhỏ đó .
c. Khối lập phương có cạnh bằng 1 thì thể tích bằng 1 .
2 Thể tích của kh ối h
3
đáy
ĐL : V = abc với a,b,c là ba kích thước của khối hộp chữ nhật.
ĐL : V = a vớ
ộp chữ nhật
3 Thể tích của khối chóp
i a là cạnh của hình lập phương

1
ĐL : V .S .h với h là chiều
3
=
đáy
cao
ĐL : V
4 Thể tích
S .h
của khối lă
với h là ch
ng trụ

⊥ ⇒ ⇒
⇒ = =
∆ = =
o
o
g

3 Ba kích thước của một hình hộp chữ nhật làm thành một cấp số nhân có công bội là 2 . Thể tích bằng
64 . Tìm các kích thước đó .
Giải
Gọi kích thước nhỏ nhất là x với x
3 3 3
> 0 thì ba kích thước của hình hộp chữ nhật là x , 2x , 4x .
Vì : V = x.2x.4x = 8x . Theo đề : V= 64 8x 64 x 8 x 2 (nhận)
Vậy : Ba kích thước cần tìm là 2,4,8 .
⇔ = ⇔ = ⇔ =
Gi¸o Viªn §Ỉng Th¸i S¬n –Su tÇm- 1 -
CHUY£N §Ị THĨ TÝCH
2
4 Tính thể tích của khối lập phương có tổng diện tích các mặt bằng 24 .
Giải
Gọi a là cạnh của hình lập phương ta có diện tích của một mặt của hình lập phương là a
Theo đề : Tổ
2 2
3 3
ng diện tích các mặt bằng 24 hay S = 6a 24 a 4 a 2
Vậy thể tích của hình lập phương là V = a = 2 8
= ⇔ = ⇔ =
=
5 Các đường chéo của các mặt bên của một hình hộp chữ nhật bằng 5, 10, 13 . Tính thể tích hình

ối hộp chữ nhật là V= abc = 1.2.3 = 6
6 Khi độ dài cạnh của hình lập phương tăng thêm 2cm thì thể tích của nó tăng thêm 98cm. Khi đó tính
độ dài cạnh của hình lập phương .
Giải
Gọi a (với a > 0) là cạnh của hình lập
3
3
3 3 2
phương . Khi đó thể tích của hình lập
phương là V = a .
Thể tích của hình lập phương khi cạnh tăng thêm 2cm là V' = (a+2)
a 3 (nhận)
Theo đề : V' V = 98 (a+2) a 98 a 2a 15 0
a 5
=
− ⇔ − = ⇔ + − = ⇔
= − (loại)
Vậy cạnh của hình lập phương đã cho là a = 3cm



7 Đáy của hình hộp đứng là hình thoi cạnh a , góc nhọn 60 . Đường chéo lớn của đáy bằng đường
chéo nhỏ của hình hộp . Tính thể tích của hình hộp .
Giải
ABCD là hình thoi cạnh
o
g
·
a và BAD 60 ABD là tam giác đều cạnh a
BD a

Gi¸o Viªn : §Ỉng Th¸i S¬n-Su tÇm- 2 -
CHUY£N §Ị THĨ TÝCH
8 Cho hình hộp với sáu mặt đều là hình thoi cạnh a , góc nhọn bằng 60 . Tính thể tích của hình hộp.
Giải
Gọi hình hộp đã cho là ABCD.A'B'C'D' . Kẻ A'K AB và A'H (ABCD) suy ra A'H BD
⊥ ⊥ ⊥
o
·
·
(1)
Vì BD AC,BD A'C' nên BD (AA'C'C) (2)
Từ (1),(2) suy ra H AC .
1
A'KA vuông tại K có A'AK 60 nên AK = a
2
a 3
AKH vuông tại K có AKH 30 nên AH =
3
a 6
A'H .
3
ABD là tam giác
⊥ ⊥ ⊥
∈
∆ =
∆ =
⇒ =
∆
o
o

A'HA vuông cân tại H nên A'H = 5 2
2
Vậy thể tích hình
=
⊥ =
= = =
∆ =
o
o
o
2
ABCD
hộp là V = S .A'H 18 2.5 2 180(cm )= =

10 Với một tấm bìa hình vuông , người ta cắt bỏ ở mỗi góc tấm bìa một hình vuông cạnh 12cm , rồi
gấp lại thành một hình hộp chữ nhật không có nắp . Nếu dung tích của cái ho
3
äp đó là 4800cm , hãy
tính độ dài cạnh của tấm bìa .
Giải
Gọi x là cạnh của tấm bìa ( x > 24)
Khi gấp lại ta được một hình hộp chữ nhật có đáy là một hình vuông có cạnh x 24
−
2
2 2
và chiều cao h = 12
Khi đó thể tích hình hộp là V = (x 24) .12
x 44 (nhận)
Theo đề : V = 4800 (x 24) .12 4800 (x 24) 400 x 24 20
x 4 (loại vì x > 24)

4 2
ABB' vuông tại B nên BB' = AB.tan atan
a 3 3
Vậy thể tích của hình hộp là V = S .BB' .atan a tan
2 2
=
⇒ = = =
∆ α = α
= α = α
g
Gi¸o Viªn : §Ỉng Th¸i S¬n-Su tÇm- 3 -
CHUY£N §Ị THĨ TÝCH
Vấn đề 2 : THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
1 Tính thể tích của khối tứ diện đều cạnh bằng a .
Giải
Gọi khối tứ diện đều đã cho là ABCD . Khi đó ta coi đó chính là khối chóp A.BCD . Kẻ AH (BCD)
tại H thì là tâm của tam
⊥
2
2 2 2 2 2
ABCD A.BCD
giác đều BCD ( tâm của đường tròn ngoại tiếp )
2 2 a 3 a 3
Gọi M là trung điểm BC . Ta cóù : AH = AM .
3 3 2 3
AHD vuông tại H nên :
a 3 3a a 6
AH = AD AH a ( ) a
3 9 3
Vậy : V V

Kẻ SH (ABC) tại H thì H là tâm của tam giác đều ABC .
Gọi M là trung điểm BC .
Vì H = hc S AH = hc AS (SA;(ABC)) SAH 60
SHA vuông tại H có SAH 60 nên A
⊥
⇒ ⇒ = =
∆ =
o
o
2
ABC
ABC
1
H = SA.cos60 2. 1 ,
2
2 3 3
SH = AH.tan60 3 . Mặt khác : AH = AM AM .AH
3 2 2
2.AM 2 3
Mà ABC đều có đường cao AM nên AB = . 3
2
3 3
AB . 3 3 3
S
4 4
1
Vậy thể tích của khối chóp là V = .S .
3
= =
= ⇒ = =

Do đó : SH = NH = 1 . Vì A
⊥
⇒ = =
∆ =
∆ + ⇔ = + ⇔ =
∆
o
o
2 2
ABC
ABC
BC đều có đường cao CH nên CH = 3NH = 3 .
AB. 3 2CH 6
Mà CH = AB 2 3
2
3 3
AB . 3 (2 3) . 3
S 3 3
4 4
1 1
Vậy thể tích của khối chóp là V = .S .SH .3 3.1 3
3 3
⇒ = = =
⇒ = = =
= =
5 Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA (ABC) . Mặt bên (SBC) tạo với
mặt phẳng đáy một góc . Tính thể tích khối chóp .
Giải
Gọi M là trung điểm BC , vì
⊥

α
·
·
·
(ABC) (ABCD)
ABC nên SA = SB = SC .
Kẻ SH (ABC) tại H thì H là tâm của tam giác đều ABC .
Gọi M là trung điểm BC .
Vì H = hc S AH = hc AS (SA;(ABC)) SAH
SHA vuông tại H có SAH nên AH = S
⊥
⇒ ⇒ = = α
∆ = α
2 2 2
ABC
A.cos a.cos .
SH = AH.tan acos .tan asin .
2 3 3
Mặt khác : AH = AM AM .AH acos
3 2 2
2.AM 2 3
Mà ABC đều có đường cao AM nên AB = . acos 3acos
2
3 3
( 3acos ) . 3 3 3a cos
S
4 4
Vậy thể tích
α = α
α = α α = α

⇒
⇒
·
·
· ·
2
2 2 2 2 2
(ABC) (ABC)
tiếp ABC
Vì ABC vuông tại A nên H là trung điểm BC .
a 3 a 3a a 2
Do SH SB HB ( ) ( ) SH
2 2 4 2
b) Do SH (ABC) H hc S AH hc AS (SA;(ABC)) SAH 60
SH
SAH vuông tại H nên tanSAH 2 SAH
AH
∆
∆
= − = − = ⇒ =
⊥ ⇒ = ⇒ = ⇒ = =
∆ = = ⇒
o
acrtan 2=
c) Gọi M là trung điểm AB
·
·
(ABC) (ABC)
đlí 3 đ
2

8 Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy là tam giác vuông cân AB = BC = a . Gọi B' là
trung điểm của SB , C' là chân đường cao hạ từ A của SAC .
a) Tính thể tích khối chóp
∆
2 3
S.ABC ABC
S.ABC .
b) Chứng minh rằng SC vuông góc với mp(AB'C') .
c) Tính thể tích khối chóp S.AB'C' .
HD
1 1 a a
a) Ta có : V .S .SA .a.
3 3 2 6
b) Ta có :
BC AB
BC (SAB) BC AB' (1)
BC SA
SAB c
= = =

⊥
⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥

∆
S.AB'C' AB'C'
ân tại A nên SB AB' (2)
Từ (1),(2) suy ra AB' (SBC) AB' SC . Mặt khác : AC' SC nên SC (AB'C')
c) Ta có

∆ + = + + = ⇒ =
= ⇒ = = =
= = = ⇒ =
=
g
9 Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều , mặt đáy có cạnh bằng 2 , cạnh bên bằng 11 .
Giải
Gọi hình chóp tứ giác đều là S.ABCD và H là tâm của mặt đáy ABCD .
Ta có : SH (AB⊥
2 2
2
ABCD
1
CD) tại H và AH = AC 2
2
Vì SHD vuông tại H nên SH = SD HD 11 2 3
1 1
Vậy V = .S .SH .2 .3 4
3 3
=
∆ − = − =
= =

10 Cho hình chóp tứ giác đều có diện tích đáy bằng 4 và diện tích
của một mặt bên bằng 2 . Tính thể tích của hình chóp đó .
SCD
2 2
Giải
Gọi hình chóp đã cho là S.ABCD , H là tâm của mặt
đáy ABCD và M là trung điểm của CD.

ABCD
iải
Vì SA (ABCD) A = hc S AC = hc SC
(SC;(ABCD)) SCA 30
3 2 3
SAC vuông tại A nên SA = AC.tan30 2.
2 3
AC
S AB ( ) 2
2
1 1 2 3 4 3
V = .S .SA .2.
3 3 3 9
⊥ ⇒ ⇒
⇒ = =
∆ = =
⇒ = = =
= =
o
o
g
g
12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh ,
cạnh SA vuông góc với mặt đáy và SA = AB = a .
a) Tính diện tích SBD theo a .
b) Chứng minh rằng : BD SC .
c) Tính góc tạo
∆
⊥
bởi SC và mặt phẳng (SBD) .

⊥ ⊥

⊥ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⇒
· · ·
2 2 2
3
2
ABCD
hàm số cosin trong SCH ta được :
2 2 2 2
HC SH SC 2SH.SC.cosHSC cosHSC HSC acr cos .
3 3
1 1 a
d) V = .S .SA .a .a
3 3 3
∆
= + − ⇒ = ⇒ =
= =
12 (ĐHSPTpHCM-D2000) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có
đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA = SB = SC = SD = a .
a) Tính diện tích toàn phần và thể tích hình chóp S.ABCD theo a .
b) Tính cosin của góc nhò diện (SBA,SAD) .
2
2 2
tp ABCD SAB
3
2 2 2 2 2
ABCD
HD
a 3

· · ·
3
2
ABCD
mặt đáy là hình
vuông ABCD có tâm H .
Kẻ đường cao SH , ta có SAH SBH SBH SBH
a 2
Xét SAH vuông tại H nên SH = AH .tan tan
2
1 1 a 2 a 2
Vậy V = .S .SH .a . tan tan
3 3 2 6
= = = = α
∆ α = α
= α = α
14 Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và các mặt bên hợp với đáy một góc . Tính thể
tích của khối chóp tứ giác đều .
α
·
2 3
ABCD
HD
Gọi hình chóp đã cho là S.ABCD , H là tâm của mặt
đáy ABCD và M là trung điểm của CD thì SMH
a
SH HM.tan tan
2
1 1 a 1
V .S .SH .a . tan a tan

2
3
2 2 2
ABCD
2
n 1
1 1 a a
Vậy V= .S .SH .a . tan 1 tan 1
3 3 2 6
Với điều kiện tan 1 0
4 2
α −
= α − = α −
π π
α − > ⇔ < α <
16 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đường cao bằng a và các mặt bên là tam giác cân có góc ở
đỉnh bằng .α
·
2 2 2 2 2
2
2 2 2
HD
Gọi BSH = . Áp dụng đl cosin vào SBD và SBC :
BD 2SB (1 cos2 ) BC 2SB .sin
sin 1 cos
BC 2SB (1 cos ) cos cos
β ∆ ∆

= − β ⇔ = β
⇒ β = − α

2 2
V = .S .SH . .a .
3 3 cos 3 cos
α
⇒
α
α α
= =
α α
g
17 Tính thể tích của khối tám mặt đều có cạnh bằng a .
Giải
Gọi khối tám mặt đều đã cho là ABCDE và O là tâm của hình
vuông BCDE có cạnh bằng a .
Vì mặt BCDE chia khối tám mặ
3
2
ABCDEF ABCDE BCDE
t đều thành hai phần bằng nhau nên :
1 1 a 2 a 2
V = 2.V 2. .S .AO 2. .a .
3 3 2 3
= = =
18 Cho hình lập phương có cạnh bằng a . Tính thể tích của khối tám mặt đều mà các đỉnh là tâm của
các mặt hình lập phương .
Giải . Khối lập phương có cạnh bằng a . Khi đó khối tám mặt đều được tạo thành có mặt chéo ABFD
a 2
có AF = a , BD = a . Dó đó : các cạnh bằng nhau và bằng
2
Thật vậy : AOB vuông tại O là tâm của khối tám mặt đều , cạnh :

ABCDEF
a 3 a a 2
AQ AP ( ) ( )
2 2 2
a
PRQ vuông tại R và PQ = RP RQ 2RP PQ
2
a a a 2
RP cạnh RP = đường cao AO = .
4 2 4
Mặt BCDE chia khối tám mặt đều thành hai phần bằng nhau nên :
V = 2
− = − =
∆ + ⇔ = =
⇒ = ⇒ ⇒
3
2
A.BCDE BCDE
1 1 a a 2 a 2
.V 2. .S .AO 2. .( ) .
3 3 2 4 24
= = =
·
a 5
20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , BAD 60 , SA = SC = , SB = SD.
2
a) Tính thể tích của khối chóp .
=
o
tp

⇒ = ⇒
∆
∆
g
g
2 2
2 2
2
ABCD ABD
2 3
ABCD
5a 3a a 2
, ta có : SO = SA AC
4 4 2
1 1 a 2 a 3
S 2S 2. .OA.BD 2. . .a
2 2 2 2
1 1 a 2 a 3 a 6
V = .SO.S . .
3 3 2 2 12
b) Chứng minh : (SAC) (SBD)
AC BD (đ/c hình thoi)
Ta có : AC SO ( vì SO (ABCD))
SO
− = − =
= = = =
⇒ = =
⊥
⊥
⊥ ⊥

2 2
SCD
2 2 2
tp
D)(p SC)(p DC)
a
p SD ( 5 2 3) (1)
4
a
p SC ( 3 5 2) (2)
4
a
p DC ( 3 5 2) (3)
4
a 11
a a
Vậy : S [( 3 5) 2][4 ( 3 5) 60 16
16 16 8
a 11 a 3 a
S ( 11 3)
2 2 2
− −
− = + −
− = − +
− = + −
= + − − − = − =
⇒ = + = +
Vấn đề 3 : THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
2 3
ABC

2
2
xq
3
tp xq đáy
x y 13 169
(x y) 2xy 169
Theo đề :
1
xy 60
xy 30
2
(x y) 169 2xy 289 x y 17
Vậy : S CVi đáy cạnh bên = (17+13) 20 = 600cm
S S 2.S 600 2.30 660cm

+ = =

 
+ − =
⇔
 
=
=




→ + = + = ⇒ + =
= × ×

− − − =
∆
o
1
H : A'H = AA'.sin30 8. 4
2
Thể tích : V = S.h = 336
= =
o
5 Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng 19,20,37, chiều cao của khối lăng trụ bằng trung
bình cộng của các cạnh đáy . Tính thể tích của khối lăng trụ .
Giải
Nửa g
19 20 37
chu vi đáy : p = 38
2
Diện tích đáy : S = 38(38 19)(38 20)(38 37) 114
19 20 37 76
Chiều cao : h =
3 3
76
Vậy thể tích của khối lăng trụ là V = Sh = 114. 2888
3
+ +
=
− − − =
+ +
=
=
g

CHUY£N §Ị THĨ TÝCH
2 2 2 2
2
ABC
2
3
ABC.A B C ABC
AB a 3
AC'B vuông tại A AC' = 3a
1/ 3
tan30
b) AA'= AC' A'C' (3a) a 2 2a
a 3
S
2
a 3
Vậy : V AA'.S 2 2a. a 6
2
′ ′ ′
∆ ⇒ = =
− = − =
=
= = =
o
g
g
2 2 3
ABCC'B' ABC.A'B'C' AA'B'C'
7 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có các cạnh đều bằng a ,
AA' (ABC) . Tính thể tích của khối ABCC'B' .

a 3 3a
A'IA vuông tại I nên A'I = AI.tanA'IA . 3
2 2
3a a 3 3 3a
Vậy : V = A'I.S .
2 4 8
⇒
⇒ = =
∆ = =
= =
o
9 (BT20-P28sgk) Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A'
cách đều ba điểm A,B,C , cạnh bên AA' tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 .
a) Tính the
o
å tích của khối lăng trụ đó .
b) Chứng minh rằng mặt bên BCC'B' là một hình chữ nhật .
c) Tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ .
Giải
a) Gọi O là tâm của tam giác đều ABC .
·
2 3
ABC
Vì A'A = A'B = A'C
nên A'O mp(ABC) .
Vậy : A'AO 60
a 3
Từ đó ta có : A'O = AO.tan60 AO. 3 . 3 a
3
a 3 a 3

3 6
b) Ta có :
⊥
∆
= = = =
A'.AMN M.AA'N M.AA'B
CB AB,CB AA' (do AA' (ABC)) , suy ra : CB (A'AB)
Mặt khác : AN CA' ( do CA' (AMN)) .
Suy ra : AN A'B (đlí 3 đường )
c) Ta có : V V V ( Vì NB//AA')

⊥ ⊥ ⊥ ⊥
⊥ ⊥
⊥ ⊥
= =
C.AA'B
3
3 2
A'.AMN
AMN
2
2 2 2
= V ( do MC//(AA'B))
= a .
3.V
3a a 14
d) S
A'I 3
(3a)
a (2a) (3a)

∆
2 2
2 2 2 2 2
2 2
2
2 2 2
xq
2 3
2 2
ABC
3a 3a
B vuông tại B nên BB' AB' AB a = (3 4sin )
4sin 4sin
a a 3a
BB' = 3 4sin S = 3a. 3 4sin = 3 4sin .
2sin 2sin 2sin
a 3 a a 3
c) V= S .BB' . 3 4sin 3 4sin
4 2sin 8sin
= − = − − ϕ
ϕ ϕ
⇒ − ϕ ⇒ − ϕ − ϕ
ϕ ϕ ϕ
= − ϕ = − ϕ
ϕ ϕ
·
·
12 (QGHN-D2000) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy là tam giác ABC cân tại A , ABC ;
BC hợp với mặt đáy (ABC) một góc . Gọi I là trung điểm cạnh AA .
Biết BIC = 90 .

BC BC
AA' BC
Mặt khác : IAH vuông tại H cho IA AH IH AH
4 4
B
Chia hai vế cho
∆ α =
⇒ ⇒ = β
∆ β =
∆ + = ⇒ + =
2 2 2
2 2
2 2
C AA' 4AH
ta được : 1 tan tan 1
4
BC BC
+ = ⇔ α + β =
Vấn đề 4 : TỈ SỐ THỂ TÍCH
1 (Bài 23-P29 SGK)Cho khối chóp tam giác S.ABC . Trên ba đường thẳng SA,SB,SC lần lượt lấy ba
điểm A', B', C' khác với S . Gọi V và V' lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABC và S.A'B'C' .
V SA SB SC
Chứng minh rằng : . .
V' SA' SB' SC'
Giải
Gọi H , H' theo thứ tự là hình chiếu vuông góc
của A,A' lên mặt phẳng (SBC) . Ta có : S,H,H'
thẳng hàng , vì chúng cùng
=
ABC

g
BCD
B'C'D'
3
2
A'B'C'D'
ABCD
BCD
.S
1
.S .A'H'
V
3
Suy ra : k . k k .
1
V
.S .AH
3
= = =
3 (Bài 1-P30 SGK) Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng V . Gọi B' và D' lần lượt là trung điểm của AB
và AD . Mặt phẳng (CB'D') chia khối tứ diện thành hai phần . Tính thể tích của
1 2
mỗi phần đó .
Giải
Gọi V là thể tích của phần chứa điểm A và V là thể tích phần còn lại .
Áp dụng công thức tính tỉ số thể tích , ta có :
A.B'CD'
1
2 A.BCD
A.B'CD' A.BCD A.B'CD' 1

ABCD
ït là trọng tâm của các ABC, ABD, ACD, BCD và của tứ diện ABCD.
1
Xét phép vò tự tâm G tỉ số k = , ta có : V (ABCD) (G G G G )
3
V
1 1 1 1
Suy ra : . . hay V
V 3 3 3 27
−
∆ ∆ ∆ ∆
− =
= = =
V
27
5 (Bài 16-P28 SGK) Hãy chia một khối tứ diện thành hai khối tứ diện sao cho tỉ số thể tích của hai
khối tứ diện này bằng một số k > 0 cho trước .
Giải
Lấy điểm E trên cạnh AC s
BDE
A.BDE
C.BDE
BDE
ao cho AE = kCE .
Hạ AM , AN lần lượt vuông góc với mp(BDE) tại M và N.
1
.AM.S
V
AM AE
3

S.ABD S.ABCD
S.MB'D' S.MB'D'
S.CBD S.ACBD
S.AB'MD' S.AB'D' S.MB'D' S.AB'MD'
S.ACBD S.ACBD ACB
V
SA SB' SD' 2 2 4 2
. . .
V SA SB SD 3 3 9 V 9
V V
SM SB' SD' 1 2 2 2 1
. . . .
V SC SB SD 2 3 3 9 V 9
V V V V
2 1 1
Suy ra :
V V 9 9 3 V
= = = ⇒ =
= = = ⇒ =
+
= = + = ⇒
DB'MD'
1
2
Chu ù ý : Để áp dụng được công thức tính tỉ số của thể tí
khối đa diệ
ch thì buộc phải
chia đã cho thành các n khối tứ diện
=
6 (Bài 22 - P28 SGK) Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' .

4 8
= = + =
= = =
−
−
6 (Bài 5 - P31 SGK) Cho khối lăng trụ đều ABC.A'B'C' và M là trung điểm của cạnh AB . Mặt phẳng
(B'C'M) chia khối lăng trụ thành hai phần . Tính tỉ số thể tích hai phần đó .
Giải
G
3
LT
a 3
ọi a là cạnh của lăng trụ , ta có : V
4
Gọi I là giao điểm của đường thẳng MB' và đường thẳng AA' , N là giao điểm của IC' và AC .
Thiết diện của khối lăng trụ khi cắt bơ
=
1 2
ûi mp(B'C'M) là hình thang cân B'C'NM . Mặt phẳng (B'C'M)
chia khối lăng trụ thành hai phần .
Gọi V là thể tích của phần chứa cạnh AA' và V là thể tích phần còn lại .
Gỉa sử kho
1 AMN.A'B'C' I.A'B'C' I.AMN A'B'C' AMN
ABC.A'B'C' 1 2
1
ái lăng trụ có đáy là S và chiều cao AA' = h . Khi đó :
1 1
V V V V .S .IA' .S .IA
3 3
1 1 S 7 7 7

o
ể tích khối chóp đó . ĐS : V = 16 3
µ
a 3
4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , A 60 , SA = SB = SD = .
2
a) Tính thể tích của khối chóp .
=
o
3
S.ABCD
2
tp tp
a 5
V =
12
b) Chứng minh rằng : (SAC) (SBD) .
a
c) Tính S của hình chóp . S ( 2
2
⊥
= + 2 3)
5 Cho S.ABC là hình chóp tam giác đều có cạnh đáy AB = a và cạnh bên SB = b . Tính thể tích hình
chóp ấy .
HD : Kẻ SH (ABC) thì H là tâm của tam giác đều ABC và M là trung điể⊥ m BC , ta được :

2
2 2 2 2
a 3 1 a 3
AM = ,SH 9b 3a V 9b 3a

vuông góc với đáy và SA = 2a .
a) Tính thể tích của khối chóp . b)
∆
tp
3 2
tp
Tính S của khối chóp .
a 3 a
Đáp số : a) V= b) S (8 3 19)
6 4
= + +
9 Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích là 2 . Trên đường thẳng vuông góc với mặt đáy tại A , ta lấy
điểm S , mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy một góc 30 ,mặt bên (SDC) tạo với
o
mặt đáy một góc 60 .
a) Tính thể tích của khối chóp . b) Tính diện tích xung quanh của hình chóp .
c) Tính góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy .

o
·
xq
30
2 2
Đáp số : a) V = b) S 2(1 3) c) SCA arctan
3 10
10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc mặt đáy, SA=
= + =
·
2
SBD

a
V =
48
1
13 Trên cạnh CD của tứ diện ABCD lấy điểm M sao cho CM = CD . Tính tỉ số thể tích của hai tứ
3
diện ABMD và ABMC .
ABDM
ABCM
V
Đáp số : 2
V
=
14 Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC.A B C . Tính tỉ số thể tích của khối chóp A.BB C C và khối
lăng trụ ABC.A B C

′ ′ ′ ′ ′
′ ′ ′
A.BB'C'C
ABC.A'B C
V
2
Đáp số :
V 3
′ ′
=
Gi¸o Viªn : §Ỉng Th¸i S¬n-Su tÇm- 18 -