thi HSG tnh H Tnh Nm hc 2008-2009
Thi gian 150
/
Mụn: Toỏn
Ngy thi 20 thỏng 03 nm 2009
Bài 1: a) Giải hệ phơng trình
2
2
1
12
1
8
x
x
y y
x
x
y y

+ + =




+ + =


b) Ba số a,b,c, thoả mãn đồng thời các điều kiện: a+b+c = 1 v
1
111
=++

4
+ z
4
= 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức : P=x
2
(y+z) + y
2
(x+z) + z
2
(y+x) .
Ngi chộp li: Tụn c Trỡnh
Ngi gii: Tụn c Trỡnh
Bi gii:
Bài 1: a) Giải hệ phơng trình
2
2
1
12 (1)
1
8 (2)
x
x
y y
x
x
y y

+ + =


y
. Thay vo (2) cú: (2y-1)
2
= 0=> y =
1
2
=> x = 2.
Vi t = -5 => x +
1
y
= -5=> x = -5 -
1
y
. Thay vo (2) cú:
13y
2
+ 5y + 1 = 0 phng trỡnh vụ nghim.
Vy h cú nghim duy nht: x = 2, y =
1
2
b, Ba số a,b,c, thoả mãn đồng thời các điều kiện: a+b+c = 1 v
T
1
111
=++
cba
. => ab+ac+bc= abc => (a+b+c)(ab+ac+bc) = abc
=> (a+b)(b+c)(c+a) = 0=> a+b = 0 hoc b+c= 0 hoc c+a = 0.
Nu: a+b = 0 => c = 1 => a
2009

+ x
6
- 6x
4
(3x-2)
<=> x
5
- 15x
5
+ 93x
4
-216x
3
+252x
2
-144x + 32 = 0
<=> (x-1)
2
(x-2)
2
(x
2
- 12x + 8) = 0
=> x
1
= x
2
= 1; x
3
= x

+ (x+z)
2
+ (y+x)
2
]
M: (x
4
+ y
4
+ z
4
)[(y+z)
2
+ (x+z)
2
+ (y+x)
2
] = 6[z
2
+ x
2
+ y
2
+xy+xz+yz]
m: 6[z
2
+ x
2
+ y
2

∠
AO
3
L+
∠
O
3
AL = 90
0
(1)
∠
ADQ=
∠
AO
3
L
(góc nội tiếp, góc ở tâm)
Có:
∠
AEQ=
∠
QCE mà
∠
QDE=
∠
QCE
=>
∠
AEQ=
∠

∠
QEI=
∠
QCD và
∠
QCD=
∠
ADQ,
∠
ADQ=
∠
AO
3
L
=>
∠
IAQ=
∠
AO
3
L (2) Từ (1) và (2) có: O
3
A vuông góc với AC => đccm.
Bài 4: Lấy C1 đối xứng với C
Nối A với C1 cắt đường tròn O tại B1.
Dễ thấy:
∠
MAB=
∠
NAB1 (*)

Mà CC
1
// MN
(do C
1
đối xứng với C qua AO)
=>
∠
C
1
AN =
∠
AC
1
C (sole) (5)
Từ (4) và (5) =>
∠
B
1
AN +
∠
B
1
DN=180
0
=>
ANDB
1
nôi tiếp.
=>

B1
C1
N
D
M
B
O
A
C
E
Cách 2:
Kẻ OH và OK lần lượt vuông
góc với BE và CD
Dễ thấy MAHO nôi tiếp
=>
∠
JHA =
∠
AMO (1) (cùng bù
∠
OHA)
Có NAKO nội tiếp
=>
∠
LKA =
∠
ANO (2) (cùng bù
∠
OKA)
Ta có: ∆ACD ∆AEB (gg)

B
D
O
A
C
E
S
S