Một số bài toán chứng minh, khó của bậc trung học
I .Phương pháp giải các bài chứng minh :
Một số cách giải bài toán chia hết :
Cách 1 : Để chứng minh A(n) chia hết cho một số nguyên tố p có thể xét mọi trường
hợp về số dư khi chia n cho p .
Vd : Chứng minh rằng trong 3 số tự nhiên liên tiếp có một số và chỉ một số chia hết cho
3 .
Giải
Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là a, a +1, a + 2 ( a thuộc N )
Ta xét 3 trường hợp :
TH1: a chia cho 3 dư 0
Suy ra : a chia hết cho 3
TH2: a chia cho 3 dư 1
Ta có : a = 3q + 1
a + 2 = 3q +1 + 2
a + 2 = 3q + 3
a + 2 = 3q + 3 .1
a + 2 = 3.(q + 1 )
Suy ra : a +2 chia hết cho 3
TH3 : a chia cho 3 dư 2
Ta có : a = 3q + 2
a + 1 = 3q +2 + 1
a + 1 = 3q + 3
a + 1 = 3q + 3 .1
a + 1 = 3.(q + 1)
Suy ra : a + 1 chia hết cho 3
Vậy trong 3 số tự nhiên liên tiếp có duy nhất 1 số chia hết cho 3 .
Cách 2 : Để chứng minh A(n) chia hết cho một hợp số m ta phân tích m = p .q
a) Nếu ƯCLN ( p,q ) = 1 thì ta lần lượt chứng minh A(n) chia hết cho p , A(n) chia hết
cho q rồi suy ra A(n) chia hết cho p .q hay A(n) chia hết cho m .
Vd : Chứng minh tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6 .

Vd : Chứng minh A(n) = n^2 + 3n chia hết cho 2 .
Giải
Ta có : A(n) = n^2+ 3n
= n^2 + n + 2n
= n .n + n .1 + 2 .n
= n .( n + 1 ) + 2n
Ta có : n .( n + 1 ) chia hết cho 2 ( vì n và n + 1 là 2 số tự nhiên liên tiếp )
2n chia hết cho 2
Suy ra : A(n) chia hết cho 2
Vậy A(n) = n^2 + 3n chia hết cho 2 .
b) Để chứng minh A(n) không chia hết cho m ta có thể phân tích A(n) thành tổng rồi
chứng minh một số hạng nào đó của tổng không chia hết cho m còn tất cả các số hạng
khác đều chia hết cho m .
Cách 4 :
Ta có thể sử dụng tính chất sau để chứng minh chia hết :
Nếu : a = 1bs(d) + r thì
a^n = 1bs(d) + r ^n ( 0 < r < d )
Vd : Chứng tỏ A(n) = n . ( n^2 – 49 ) . ( n^2 + 49 ) chia hết cho 2 .
Giải
Ta xét 2 trường hợp :
TH1 : n là số chẵn
Suy ra : n chia hết cho 2
Do đó : n . ( n.n – 49 ) . ( n.n + 49 ) chia hết cho 2
Vậy A(n) chia hết cho 2
TH2 : n là số lẻ
Suy ra : n = 1bs(2) + 1
n^2= 1bs(2) + 1^2
n^2= 1bs(2) + 1
Do đó : n^2 – 49
= 1bs(2) + 1 – 49

*Xét n = 0, ta có :
0 .( 0 + 1 ) = 0 . 1 = 0
Mà : 0 chia hết cho 2
Do đó : n .( n + 1 ) chia hết cho 2 với n = 0
*Giả sử : n .( n + 1 ) chia hết cho 2 với n = k,
có nghĩa là k .( k + 1 ) chia hết cho 2
*Ta cần chứng minh : n .( n + 1 ) chia hết cho 2 với n = k +1
Ta có : ( k + 1 ) . ( k + 1 + 1)
= ( k + 1 ) . ( k + 2 )
= ( k + 1 ) . k + ( k + 1 ) .2
Ta có : k . ( k + 1 ) chia hết cho 2
( k + 1 ) . 2 chia hết cho 2
Suy ra : ( k + 1 ) . ( k + 1 + 1 ) chia hết cho 2
Vây n .( n + 1 ) chia hết cho 2 .
II . Các kiến thức tổng quát thường được sử dụng chứng minh :
Tính số đoạn thẳng của một hình :
( n – 1 ) . n : 2 ( n là số điểm và từ 2 điểm trở lên )
Công thức tính một tổng nhiều số hạng :
Số số hạng : ( số cuối – số đầu ) : khoảng cách + 1
Tổng số hạng : ( số cuối + số đầu ) : 2 . số số hạng
So sánh hai lũy thừa :
1/Cách so sánh :
a) Nếu a > b thì a^n > b^n ( vd : 9 > 8 thì 9^2 > 8^2 )
b) Nếu m > n thì a^m > a^n ( vd : 5 > 3 thì 2^5 > 2^3 )
2/Để so sánh 2 luỹ thừa ta thường dùng các công thức sau : Lũy thừa của lũy thừa; Lũy
thừa của một tích; Lũy thừa của một thương .
3/Chú ý : Nếu a^m = a^n thì m = n ( a khác 0, a khác +/– 1 )
Tính chất của ƯC( a,b )
Nếu : a chia hết cho d,b chia hết cho d . Suy ra : a + b chia hết cho d ( hoặc a – b chia
hết cho d ) ( a, b thuộc N )

..... 5^n = ..... 5
..... 6^n = ..... 6
b) ..... 7^4n = ..... 1
..... 9^2n = ..... 1
..... 9^4n = ..... 1
c) ..... 2^4n = ..... 6
..... 4^4n = ..... 6
..... 8^4n = ..... 6
..... 4^2n = ..... 6
IV . Các bài toán chứng minh ở Trung học :
Các bài toán chứng minh đại số :
1/Chứng minh n + 2 / n + 1 là phân số tối giản .
2/Chứng minh rằng : 12^2n +1 + 11^n +2 chia hết cho 133 .
3/Chứng minh rằng 4^n + 15n – 1 chia hết cho 9 .
4/Chứng tỏ :
a) /a/ lớn hơn hoặc bằng 0 (a thuộc Z ) .
b) /a/ lớn hơn hoặc bằng a (a thuộc Z ) .
5/Cho a;b thuộc Z . Chứng tỏ : a – b và b – a là hai số đối nhau .
6/Chứng minh phân số sau là phân số tối giản :
a) m + 2 / m + 3 .