Bài tập về khảo sát hàm số
và các dạng toán có liên quan đến hàm số
Bài 1.Từ đồ thị hàm số y= f(x)=
1
2
2

+
x
xx
suy ra đồ thị hàm số y= g(x)=
1
2
2

+
x
xx
.
HD: -Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y= f(x)
-Chứng minh hàm số y= g(x) là hàm số chẵn nên đồ thị của nó đối xứng qua trục Oy.
-Vẽ đồ thị hàm số y=g(x) nh sau:
+ với x

0 thì g(x) = f(x) .
+ với x<0 ta lấy đối xứng qua trục 0y.
Bài 2. Từ đồ thị hàm số y=f(x)=
2
33
2
+

0

ứng với phần nằm bên dới trục
hoành).
Bài 3. Từ đồ thị hàm số y=f(x)=
2
32
2
+
++
x
xx
suy ra đồ thị hàm số y=g(x)=
2
32
2
+
++
x
xx
.
HD: Ta có g(x)=



<
>
2)(
2)(
xkhixf

2


x
xx
từ đồ thị hàm số y=
)1(2
342
2


x
xx
.
- Số nghiệm của phơng trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y=
12
342
2


x
xx
và đờng
thẳng y=m.
Bài 5. Cho hàm số y = - x
3
+3x (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàn số (1)
2. Viết phơng trình tiếp tuyến của (1) biết tiếp tuyến đó song song với đờng thẳng y = - 9x
ĐS: y = -9x

33
2

+
x
xx
=m.
- Tìm điều kiện của m để có hai hoành độ giao điểm.
- Dùng ĐL Viet để tính khoảng cách giữa hai giao điểm theo m, từ đó suy ra m.
Bài 8.
1. Khảo sát sự biến thiên của hàm số y=x+1+
1
1

x
(C)
2. Tìm những điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với
hai đờng tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất.
HD: - Đặt toạ độ điểm thuộc (C) là M(a;
1
2

a
a
) với a>1..Lập phơng trình tiếp tuyến tại M.
- Xác định toạ độ giao điểm của tiếp tuyến với các đờng tiệm cận.
- Tính chu vi tam giác , từ đó suy ra giá trị của a để chu vi tam giác nhỏ nhất.
Bài 9. Cho hàm số y=mx
3
-3mx

HD: - Lập phơng trình hoành độ giao điểm.
- Tìm điều kiện để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều lớn hơn -1.(hàm số có tiệm
cận đứng x=-1 nên một nhánh đồ thị có x>-1, nhánh kia có x<-1).
Bài 11. Cho hàm số y=
1
1
2

+
x
xx
(C)
1. Chứng minh rằng nếu tiếp tuyến của đờng cong (C) tại điểm M cắt hai đờng tiệm cận của
đờng cong tại hai điểm A và B thì M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
2. Gọi I là tâm đối xứng của đờng cong (C) . Chứng minh rằng tam giác IAB có diện tích
không đổi khi điểm M di động trên đờng cong (C) . Có nhận xét gì về tích IA.IB ?
3. Tìm trên đờng cong (C) các cặp điểm đối xứng với nhau qua đờng thẳng y= x-1.
HD:- Do M thuộc (C) nên có toạ độ dạng M(a; a+2+
1
1

a
)..Lập phơng trình tiếp tuyến tại tiếp
điểm M, xác định toạ độ giao điểm với các tiệm cận .Từ đó kiểm tra điều kiện M là trung điểm
của AB.
-Tính diện tích của tam giác từ công thức S=
2
1
ha . Từ công thức S=
2

) tiếp xúc với đờng thẳng y = m
HD:1. - Xác định các đờng tiệm cận
- Tìm giao điểm của hai đờng tiệm cận
2. - Lập hệ phơng trình hoành độ tiếp điểm
- Tìm điều kiện của m để hệ phơng trình hoành độ tiếp điểm có nghiệm
ĐS: 1. I(2; 1)
2. m = 3
Bài 13. Cho hàm số y = 4x
3
- mx
2
- 3x
1. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0
b) Phơng trình
3
2
4 3 1x x x =
có bao nhiêu nghiệm.
2. Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn có cực đại , cực tiểu đồng thời các điểm cực đại , cực
tiểu của đồ thị hàm số luôn thuộc một đờng cong cố định khi m thay đổi.
HD: 1.b) - Số nghiệm của phơng trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y =
3
4 3x x

và đồ thị hàm số y =
2
1 x
- Đồ thị hàm số y =
3
4 3x x

)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi k = 1
2. Biện luận theo tham số m số nghiệm của phơng trình : x
2
- 2x - 2 =
1
m
x
HD: 1. Khi k = 1 vẽ đồ thị (C
1
) : y = x
3
- 3x
2
+ 2
2. - Phơng trình x
2
- 2x - 2 =
1
m
x

- Số nghiệm của phơng trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số
y =f(x) =
3
2
3
3 2 1
( 3 2) 1
x x m khi x

2
Bài 16. (ĐH- CĐ Khối A- 2008) Cho hàm số y =
2 2
(3 2) 2
3
mx m x
x m
+
+
(1) , m là tham số
1. Khảo sát và vẽ dồ thị của hàm số (1) khi m = 1
2. Tìm m để góc giữa hai đờng tiệm cận của hàm số (1) bằng 45
0
.
Nguyễn Thị Tuyết Hạnh - THPT Phú Xuyên A
HD: 2. - Biến đổi hàm số về y = mx - 2+
6 2
3
m
x m

+
- Tìm điều kiện để hàm số có hai đờng tiệm cận
- Tìm giới hạn suy ra tiệm cận
- Dùng công thức tính cosin góc giữa hai đờng tiệm cận suy ra m.
ĐS: m =
1

Bài 17. (ĐH-CĐ Khối B-2003) Cho hàm số y = x
3

x


(1)
1. Khảo sát sự biến thiên vàvẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
2. Gọi I là giao điểm haiđờng tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến
của (C) tại M vuông góc với đờng thẳng IM.
HD: 2. - Tìm toạ độ I
- Đặt toạ độ M( x
0
; y
0
) suy ra hệ số góc tiếp tuyến tại M là k = y'(x
0
).
- Tìm hệ số góc của đờng thẳng IM là k' =
0
0
I
I
y y
x x


- Từ điều kiện k. k' = - 1 suy ra toạ độ M
ĐS: M( 0; 1), M(2; 3).
Bài 19.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =
2
1x

1
x m x m
x
+ +
+
(1)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m \= -1
2. Tìm m để đờnh thẳng (d): y = -x - 4 cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm đối xứng nhau qua đờng
thẳng :y = x
HD: 2. - Lập pt hoành độ giao điểm của (d) và (1).
- Tìm đk để có hai nghiệm . Dùng ĐL Viet tìm liên hệ giữa toạ độ các giao điểm.
- Để hai giao điểm đối xứng nhau qua thì trung điểm của hai giao điểm nằm trên

ĐS: 2. m = 1
Nguyễn Thị Tuyết Hạnh - THPT Phú Xuyên A