ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TOÁN
    
TÔN THỊ YẾN ANH
CẤU TRÚC ĐA TẠP RIEMANN
CỦA NỬA KHÔNG GIAN TRÊN
CHUYÊN NGÀNH : HÌNH HỌC
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP
GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN
PGS.TS. TRẦN ĐẠO DÕNG
HUẾ, KHÓA HỌC 2007 - 2011
i
LỜI CẢM ƠN
Khóa luận này được hoàn thành với sự hướng dẫn khoa học tận tình,
chu đáo của Thầy Trần Đạo Dõng. Tôi xin phép gửi đến thầy lời cảm ơn chân
thành, lòng biết ơn sâu sắc và mong muốn được thầy hướng dẫn, chỉ bảo trong
lĩnh vực nghiên cứu Toán học sau này.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các Thầy cô giáo Khoa Toán - Trường
Đại học sư phạm Huế, những người đã giúp tôi có kiến thức, tài liệu,cũng như
tạo điều kiện để tôi hoàn thành công việc học tập nghiên cứu của mình.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn những người thân, bạn bè trong
lớp toán 4A đã quan tâm, giúp đỡ, động viên tôi trong suốt thời gian học tập
vừa qua.
Xin chân thành cảm ơn!
Sinh viên thực hiện
Tôn Thị Yến Anh
ii
Mục Lục
Trang phụ bìa i
Lời cảm ơn ii

làm hai chương.
Chương 1 giới thiệu các kiến thức cơ bản về đa tạp khả vi và đa tạp Riemann
có liên quan đến việc nghiên cứu cấu trúc Riemann của nửa mặt phẳng trên
và nửa không gian trên của chương 2.
Chương 2 tập trung khảo sát cấu trúc đa tạp Riemann 2-chiều của nửa mặt
phẳng Poincaré, đĩa mở Poincaré thể hiện qua việc xác định metric Riemann,
khảo sát các phép biến đổi đẳng cự, độ cong Gauss và mở rộng một số kết
quả cho trường hợp nửa không gian trên, được xét như một đa tạp Riemann
3-chiều.
1
Chương 1
ĐA TẠP RIEMANN
Trong chương này chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cơ bản về đa tạp khả
vi và đa tạp Rienmann như trường vector và dạng vi phân, phép biến đổi đẳng
cự, dạng liên kết và phương trình cấu trúc,... liên quan đến chương sau. Các
kiến thức trình bày ở đây được trích dẫn trong tài liệu [2], [3], [5].
1.1 Trường véc tơ và trường mục tiêu
Định nghĩa 1.1.1. Không gian Euclid E
n
là một không gian afin liên kết với
không gian véc-tơ Euclid
−→
E
n
. Mỗi phần tử α
p
= (p,
−→
α ) ∈ T E
n

n
là một không gian véc-tơ thực n- chiều và được gọi là không gian véc-tơ
tiếp xúc của E
n
tại p.
Cho U là một tập mở trong E
n
. Khi đó T U = U ×
−→
E
n
được gọi là không
gian các véc-tơ tiếp xúc (hay phân thớ tiếp xúc) của U. Với p ∈ U, kí hiệu
T
p
U = T
p
E
n
và gọi là không gian véc-tơ tiếp xúc của U tại p.
Định nghĩa 1.1.2. Trường véc-tơ trên tập mở U ⊂ E
n
là ánh xạ
X : U −→ T U
p −→ X(p)
sao cho với p ∈ U, ta có X(p) ∈ T
p
U.
Từ định nghĩa ta thấy trường véc-tơ X : U −→ T U xác định một hàm
2

.
Khi đó X xác định hàm véc-tơ
−→
X : J → E
n
, X(t) = (ρ(t),
−→
X (t)). Trường véc-tơ
X được gọi là khả vỉ (lớp C
k
) nếu hàm số ρ và hàm véc-tơ
−→
X khả vi (lớp C
k
).
Ta có thể xét trường véc-tơ dọc theo ρ là t → X

(t) = (ρ(t),
−→
X

(t)) gọi là đạo
hàm của X dọc ρ trong E
n
. Kí hiệu
D
dt
X.
Xét trường mục tiêu Z trên tập mở U ⊂ E
n

, ..., U
n
} trên U sao cho mỗi p ∈ U, hệ véc-tơ
{U
1
(p), U
2
(p), ..., U
n
(p)} là một cơ sở của T
p
U.
Nếu với mỗi p ∈ U, U
i
(p).U
j
(p) = δ
j
i
thì trường mục tiêu {U
i
} được gọi là
trường mục tiêu trực chuẩn. Nếu có hai trường mục tiêu {U
i
}, {V
i
} trên tập
mở U thì ta có V
i
=

2. Cho θ,

θ là hai 1-dạng vi phân trên U, ϕ là một hàm số trên U. Ta
3
định nghĩa θ +

θ, ϕθ là các 1-dạng trên U xác định bởi
(θ +

θ)
p
= θ
p
+

θ
p
, (ϕθ)
p
= ϕ(p)θ
p
, ∀p ∈ U.
3. Cho θ là 1-dạng vi phân và X là trường véc-tơ trên U. Ta có hàm số
θ(X) được xác định bởi θ(X)(p) = θ
p
(X(p)), ∀p ∈ U.
Khi đó nếu {U
1
, U
2

.
1.2.2. Dạng vi phân bậc hai
1. Cho U là một tập mở trong R
n
. Một dạng vi phân bậc hai (hay 2-dạng vi
phân) ω trên U là việc đặt tương ứng mỗi p ∈ U một ánh xạ ω
p
: T
p
U×T
p
U → R
là dạng song tuyến tính phản xứng trên T
p
U. Kí hiệu Ω
2
(U) là tập hợp các
2-dạng vi phân trên U.
2. Cho ω,

ω là hai 2-dạng vi phân trên U, ϕ là một hàm số trên U. Ta có
ω +

ω, ϕω là các 2-dạng vi phân trên U xác định bởi
(ω +

ω)
p
= ω
p

i=1,n
là trường mục tiêu trên U và {θ
i
}
i=1,n
là trường đối mục
tiêu của {U
i
}. Khi đó mọi ω ∈ Ω
2
(U) viết được duy nhất dưới dạng:
ω =

i<j
ϕ
i,j
θ
i
∧ θ
j
, ϕ
i,j
= ω(U
i
, U
j
).
Đặc biệt, trong tọa độ afin (x
1
, x

1
, x
2
, ..., x
n
) của E
n
. Khi
đó mọi dạng vi phân bậc một θ được viết duy nhất dưới dạng θ =

n
i=1
ϕ
i
dx
i
.
Ta định nghĩa ánh xạ sau gọi là vi phân ngoài của vi phân bậc một:
d : Ω
1
(U) −→ Ω
2
(U)
θ =

n
1
ϕ
i
dx

.
Giả sử (V, ϕ) là một bản đồ trên M. Khi đó với mỗi x ∈ V , ϕ(x) ∈ V

được hiển thị dưới dạng ϕ(x) = (x
1
, x
2
, ..., x
n
) trong đó x
1
, x
2
, ..., x
n
∈ R. Ta
gọi các số x
i
là các toạ độ địa phương của x.
Một họ các bản đồ {(V
i
, ϕ
i
)}
i∈I
của M sao cho {V
i
}
i∈I
là một phủ mở của

, ϕ
2
: V
2
−→ V

2
, ta có ánh xạ:
ϕ
2
◦ ϕ
−1
1
|
ϕ
1
(V
1
∩V
2
)
: ϕ
1
(V
1
∩ V
2
) −→ V

2

nó nên một atlas khả vi hoàn toàn xác định một cấu trúc khả vi.
Không gian tô pô Hausdorff M cùng với một cấu trúc khả vi xác định
bởi atlas {(V
i
, ϕ
i
)}
i∈I
với ϕ
i
: V
i
−→ V

i
⊂ R
n
được gọi là một đa tạp khả vi n
chiều, ký hiệu dim M = n.
1.3.3. Ví dụ
1. R
n
là đa tạp khả vi n- chiều với atlas {(R
n
, id)}.
2. Cho M là một đa tạp khả vi với atlas {(V
i
, ϕ
i
)}

)
2
+ ... + (x
n+1
)
2
= 1}.
Gọi N = (0, 0, ..., 0, 1) ∈ R
n+1
và S = (0, 0, ..., 0,−1) ∈ R
n+1
lần lượt là
điểm cực bắc và cực nam của S
n
. Xét U
N
= S
n
\{N}, U
S
= S
n
\{S} là các tập
mở của S
n
. Ta có {U
N
, U
S
} tạo thành một phủ mở của S

f : M → N được gọi là ánh xạ khả vi nếu f là ánh xạ liên tục và với mọi bản
đồ (U, ϕ) của M, bản đồ (V, ψ) của N sao cho U ∩ f
−1
(V ) = ∅ ta có ánh xạ
ϕ ◦ f ◦ ϕ
−1
từ tập con mở ϕ(U ∩ f
−1
(V )) của R
m
vào R
n
là ánh xạ khả vi.
Ánh xạ khả vi f : M → N có ánh xạ ngược f
−1
: N → M khả vi được gọi là
vi phôi.
1.3.5. Trường mục tiêu trên đa tạp khả vi
1. Định nghĩa
Giả sử M là một đa tạp khả vi, C
∞
(M) là tập các hàm khả vi trên M. khi đó
ánh xạ X : C
∞
(M) → R được gọi là một véc-tơ tiếp xúc tại p ∈ M nếu X nếu
6
thoả mãn:
i. X(f + g)(p) = X(f)(p) + X(g)(p),
ii. X(fg)(g) = X(f)g(p) + f(p)X(g).
Chúng ta có một kết quả về các vectơ tiếp xúc được thể hiện qua định lí sau:

n
(p)} là một cơ sở của không gian véc-tơ T
p
M.
1.4 Đa tạp Riemann
1.4.1. Cấu trúc Riemann
Cho M là một đa tạp khả vi. Một cấu trúc metric Riemann trên M là
việc đặt tương ứng với mỗi p ∈ M một tích vô hướng trên T
p
M sao cho với hai
trường véc-tơ (tiếp xúc) khả vi X, Y trên M, hàm số p → X(p), Y (p) là hàm
khả vi.
Đa tạp M cùng với một metric Riemann xác định trên M được gọi là một
đa tạp Riemann. Kí hiệu (M,,
M
).
1.4.2. Độ dài cung
Cho α : I → M là một đường cong lớp C
1
trên đa tạp Riemann (M,,
M
).
Độ dài của α được xác định như sau:
L(α) =

I
 γ

(t)  dt =


.
Vậy R
n
với tích vô hướng chính tắc là một đa tạp Riemann.
2. Xét M = R
n
và tại mỗi p ∈ M ta xác định một tích vô hướng :
,
M
=
4
(1 + |p|
2
)
2
< X
p
, Y
p
>,
với <,> là tích vô hướng chính tắc trên R
n
. Khi đó, (R
n
,,
M
) là một đa tạp
Riemann n-chiều.
Chứng minh
Ta có R

+
. Khi đó độ dài L(γ) của γ được xác định như sau: L(γ) =

+∞
0
 γ

(t)  dt
= 2

+∞
0
√
<γ

(t),γ

(t)>
1+|γ|
2
dt
= 2

+∞
0
dt
1+t
2
= 2arctan t|
+∞

n
) là một đa tạp Riemann và được gọi là không gian
Hypebolic n-chiều. Kí hiệu H
n
.
Bây giờ ta sẽ xét độ dài của một cung tham số trên B
n
.
Cho γ : (0, 1) → H
n
là một đường cong xác định bởi γ(t) = (t, 0, ..., 0),
với mọi t ∈ (0, 1). Khi đó độ dài L(γ) của γ được xác đinh như sau:
L(γ) =

1
0
 γ

(t)  dt
= 2

1
0
√
<γ

(t),γ

(t)>
1−|γ|

phôi đẳng cự.
Một ánh xạ đẳng cự f : M → M còn gọi là phép biến đổi đẳng cự của
đa tạp Riemann M.
Từ định nghĩa trên ta có nhận xét sau:
1.5.2. Nhận xét
1. Ánh xạ đồng nhất id là một phép biến đổi đẳng cự.
2. Nghịch đảo của phép biến đổi đẳng cự là phép biến đổi đẳng cự.
3. Tích của các phép biến đổi đẳng cự là phép biến đổi đẳng cự.
Nói cách khác, tập hợp các phép biến đổi đẳng cự của M lập thành một
nhóm gọi là nhóm đẳng cự.
1.6 Dạng liên kết và phương trình cấu trúc
1.6.1. Dạng liên kết
Cho R = {U
1
, U
2
, ..., U
n
} là trường mục tiêu trên tập mở U ⊂ R
n
.
Với mọi trường vecto X trên U, kí hiệu
D
X
U
i
=
n

j=1

Gọi {θ
i
}
i=1,n
là trường đối mục tiêu của {U
i
}
i=1,n
và ω = (ω
j
i
)
n×n
là ma
trận các dạng liên kết của E
n
. Khi đó ta có công thức sau:
dθ
i
= −
n

1
ω
i
j
∧ θ
j
(i = 1, n)
được gọi là phương trình cấu trúc thứ nhất của E

j
.
Suy ra δ
k
i
= θ
k
(U
i
) = Σ
n
j=1
C
i
j
θ
k
(E
j
).
Nên θ
k
(E
j
) = (C
−1
)
k
j
.

j
∧ dx
j
.
Và Σ
n
j=1
ω
k
j
∧ θ
j
= Σ
n
i,j,l=1
(C
−1
)
k
i
d(C
i
j
) ∧ (C
−1
)
j
l
dx
l

i=1
d(C
−1
)
k
i
C
i
j
+ Σ
n
i=1
(C
−1
)
k
i
dC
i
j
= 0.
Do đó Σ
n
j=1
ω
k
j
∧ θ
j
= −Σ

= −Σ
n
j=1
d(C
−1
)
k
j
∧ dx
j
= −dθ
k
.
Tương tự ta có phương trình sau
dω
j
i
= −
n

1
ω
j
k
∧ ω
k
i
(i =
1, n)
được gọi là phương trình cấu trúc thứ hai của E

3
2
∧ θ
2
= 0 (phương trình đối xứng).
3. dω
1
2
= −ω
1
3
∧ ω
3
2
(phương trình Gauss).
4. dω
1
3
= −ω
1
2
∧ ω
2
3
, dω
2
3
= −ω
1
2

p
là
một tự đồng cấu và với ∀α, β ∈ T
p
S ta có
h
p
(α)β = αh
p
(β).
Chứng minh
+ h
p
là một tự đồng cấu của T
p
S. Thật vậy, ta có
h
p
(k.α) = −D
k.α
n = −k.D
α
n = k.h
p
(α);
h
p
(α + β) = −D
α+β
n = −D

r
v
n = −
∂
∂v
(n ◦ r)(u, v).
Mặt khác (n ◦ r)(u, v), r
u
 = 0.
Nên 
∂
∂v
(n ◦ r)(u, v), r
u
 + (n ◦ r)(u, v), r
uv
 = 0.
Suy ra h
p
(r
v
), r
u
 = (n ◦ r)(u, v), r
uv
.
Tương tự h
p
(r
u

4. Hệ quả
Với K là độ cong Gauss của mặt S trong E
3
, ta có
dω
1
2
= Kθ
1
∧ θ
2
.
Chứng minh
Thật vậy, ta có với mọi α ∈ T
p
S, h
p
(α) = −D
α
n
suy ra h
p
(α) = ω
3
1
(α)U
1
(p) + ω
3
2

2
)U
1
(p) + ω
3
2
(U
2
)U
2
(p).
Do đó K = deth
p
= ω
3
1
(U
1
)ω
3
2
(U
2
) − ω
3
1
(U
2
)ω
3

, U
2
).
Suy ra
dω
1
2
= Kθ
1
∧ θ
2
.
5. Định lí [3, Định lý 4.3.1]
Cho (M, <, >) là một đa tạp Riemann 2- chiều. Khi đó với mọi trường
mục tiêu trực chuẩn {U
1
, U
2
} trên tập mở V của M và {θ
1
, θ
2
} là trường đối
mục tiêu tương ứng, có một và chỉ một dạng vi phân bậc một tương ứng ω
1
2
trên
V thoả mãn:
dθ
1

(U
2
)θ
2
.
Mặt khác d(θ
1
) = −ω
1
2
∧ θ
2
.
Suy ra dθ
1
(U
1
, U
2
) = −ω
1
2
∧ θ
2
(U
1
, U
2
).
⇔ dθ

) = −ω
1
2
(U
1
).
12
Tương tự dθ
2
(U
1
, U
2
) = −ω
2
1
(U
2
) = ω
1
2
(U
2
).
Do đó ω
1
2
được xác định như sau:
ω
1

2
} tuỳ ý trên tập mở V của M ta có
dω
1
2
= Kθ
1
∧ θ
2
,
trong đó ω
1
2
là dạng liên kết của (M,,).
Hàm K được gọi là hàm độ cong Gauss (hay độ cong toàn phần) của (M,,
M
).
Chứng minh
Dạng vi phân bậc hai dω
2
1
dược viết dưới dạng duy nhất
dω
2
1
= Kθ
1
∧ θ
2
.


θ
2
.
Khi đó, tồn tại một hàm hằng ε sao cho

ω
2
1
= ε(ω
2
1
− dϕ),| ε |= 1.
Do d(dϕ) = 0 nên suy ra d(

ω
2
1
) = d(ε(ω
2
1
− dϕ)) = d(ω
2
1
).
Mặt khác định hướng V bởi trường mục tiêu {U
1
, U
2
} ta thây θ

3
. Khì đó độ cong Gauss nói trong Định lí trên
trùng với độ cong Gauss của mặt S ta đã xét trong phần trước.
13