ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
    
TRẦN THỊ NHÃ TRANG
MẶT CỰC TIỂU VÀ MẶT CỰC TIỂU
DIỆN TÍCH TRONG KHÔNG GIAN R
3
VỚI MẬT ĐỘ e
r
2
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP
Chuyên ngành : Hình học vi phân
Cán bộ hướng dẫn
PGS. TS. ĐOÀN THẾ HIẾU
Huế, tháng 5 năm 2011
i
LỜI CẢM ƠN
Trải qua bốn năm học tập và rèn luyện tại giảng đường trường ĐH
Sư Phạm Huế, dưới sự dìu dắt của quý Thầy Cô giáo, tôi đã tích lũy
cho mình rất nhiều kiến thức và kinh nghiệm quý báu cả về chuyên môn
và nghiệp vụ. Khóa luận này chính là thành quả quan trọng của cả quá
trình đó.
Đầu tiên, tôi xin được gửi lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giáo, PGS.
TS. Đoàn Thế Hiếu, người đã hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình, chu đáo
cho tôi trong suốt thời gian thực hiện khóa luận.
Tôi xin được gửi lòng biết ơn chân thành đến quý Thầy Cô đã giảng
dạy lớp Toán B khóa 2007 - 2011 trường ĐHSP Huế, đặc biệt là toàn
thể quý Thầy Cô Khoa Toán trường ĐHSP Huế, những người không
những cho tôi kiến thức mà còn quan tâm động viên và nhiệt tình giúp
đỡ tôi trong suốt quá trình học tập cũng như trong thời gian thực hiện
khóa luận.

ϕ(r)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Mặt cực tiểu trong không gian R
3
với mật độ e
r
2
. . . . . . . . . . 10
1.3.1 Một số mặt cực tiểu cổ điển trong không gian R
3
. . . . . . 11
1.3.2 Mặt cực tiểu trong không gian R
3
với mật độ e
r
2
. . . . . . 13
2 MẶT CỰC TIỂU DIỆN TÍCH TRONG KHÔNG GIAN R
3
25
2.1 Bong bóng xà phòng và mặt cực tiểu diện tích với biên là đường
cong đóng cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Điều kiện cần để một mặt có diện tích nhỏ nhất trong tất cả các
mặt có cùng biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Biến phân thứ hai của hàm diện tích . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 Định lý Stokes và phương pháp dạng cỡ . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.1 Dạng vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.2 Tích ngoài của m - vector, covetor trong không gian R
3
. . . 33

2
MỞ ĐẦU
Hiện nay, mặt cực tiểu là đối tượng thu hút được rất nhiều sự quan tâm và
nghiên cứu trong hình học vi phân. Đặc biệt hơn, đó là các vấn đề liên quan đến
mặt cực tiểu và mặt cực tiểu diện tích trong không gian với mật độ. Thuật ngữ
minimal surfaces được dùng để chỉ các mặt có độ cong trung bình bằng không còn
thuật ngữ area-minimizing surfaces lại được dùng để chỉ các mặt có diện tích nhỏ
nhất trong lớp các mặt cùng biên đồng đều hay dưới những sự biến dạng compact,
bảo toàn thể tích cho trước. Người ta đã chỉ ra rằng các mặt cực tiểu diện tích có
rất nhiều tính chất thú vị. Ví dụ như trong không gian R
3
mặt có diện tích nhỏ
nhất với biên là một đường cong cho trước có độ cong trung bình bằng không hay
mặt có diện tích nhỏ nhất ứng với một thể tích cho trước bất kì có độ cong trung
bình là hằng số . . .. Bên cạnh đó, các phương pháp được dùng để tìm và chứng
minh một mặt là cực tiểu diện tích cũng đang rất thu hút rất nhiều sự quan tâm,
đặc biệt là phương pháp dạng cỡ và phương pháp biến phân.
Chúng ta đã biết không gian với mật độ là không gian được trang bị một
hàm dương gọi là hàm mật độ được dùng làm trọng số cho cả thể tích và chu vi.
Khi chuyển từ không gian thông thường sang nghiên cứu không gian với mật độ,
một câu hỏi luôn được đặt ra, là: Liệu rằng các kết quả, các tính chất trong không
gian thông thường có còn đúng với không gian với mật độ nữa không?
Với mong muốn được tìm hiểu và trả lời những câu hỏi đó, dưới sự hướng
dẫn và giúp đỡ của Thầy giáo, PGS. TS. Đoàn Thế Hiếu, tôi đã chọn đề tài: "Mặt
cực tiểu và mặt cực tiểu diện tích trong không gian R
3
với mật độ e
r
2
".

đồng đều và các mặt cực tiểu diện tích ứng với một thể tích cho trước bất kì.
Thông qua khóa luận, tác giả hi vọng người đọc sẽ phát hiện ra một vài điều
lí thú và bổ ích.
Thân mến!
4
Chương 1
MẶT CỰC TIỂU TRONG KHÔNG GIAN
R
3
VỚI MẬT ĐỘ e
r
2
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số vấn đề liên quan đến mặt cực tiểu trong
không gian R
3
và không gian R
3
với mật độ e
r
2
. Cụ thể đó là một số mặt cực tiểu cổ điển
trong không gian R
3
và sự phù hợp tương ứng giữa độ cong trung bình của mặt cực tiểu với
biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích. Bên cạnh đó, chúng tôi trình bày một số kết quả
cũng như điều kiện để các mặt tịnh tiến, mặt kẻ, mặt tròn xoay là mặt cực tiểu trong không
gian R
3
với mật độ e
r

ϕ
được
cho bởi công thức
dV
ϕ
= e
ϕ
dV,
dP
ϕ
= e
ϕ
dP.
Trong không gian R
3
với mật độ e
ϕ
, độ cong trung bình theo mật độ, kí hiệu là
H
ϕ
, của mặt S được định nghĩa như sau
H
ϕ
= H −
1
2
dϕ
dN
,
5

+ k
2
− ∇ϕ, N)
với ∇ϕ = (ϕ
x
, ϕ
y
, ϕ
z
) và k
1
, k
2
là các độ cong chính của mặt S.
1.2 Biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích
Trong phần này chúng tôi trình bày biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện
tích của một mặt tham số chính quy trong không gian R
3
và trong không gian R
3
với mật độ bằng cách sử dụng biến phân chuẩn tắc. Từ đó làm cơ sở nêu lên mối
liên hệ giữa một mặt cực tiểu với biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích
cũng như trong chương II nêu lên điều kiện cần để một mặt là cực tiểu diện tích
trong tất cả các mặt có cùng biên.
Trước khi giới thiệu biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích của một mặt
chính quy chúng ta có định nghĩa phần tử diện tích và biến phân chuẩn tắc như
sau
Định nghĩa 1.2.1. (Phần tử diện tích)
Cho S là một mặt chính quy, R ⊂ S là một miền bị chặn chứa trong lân cận tọa
độ xác định bởi tham số X : U ⊂ R

u
∧ X
v
|dudv.
Vì |X
u
∧ X
v
|
2
+X
u
, X
v

2
= |X
u
|
2
|X
v
|
2
nên ta cũng có thể tính diện tích của R
như sau
A(R) =

Q


3
X
t
(u, v) = ϕ(u, v, t)
là một mặt tham số.
Hình 1.1: Các biến phân chuẩn tắc của X(u, v)
1.2.1 Biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích trong không gian
R
3
Xét mặt chính quy S với tham số hóa X : Ω ⊂ R
2
−→ S, D ⊂ Ω và một biến
phân chuẩn tắc X
t
của X(D). Ta có
X
t
u
= X
u
+ thN
u
+ th
u
N,
X
t
v
= X
v

2
u
,
F
t
= F + 2thX
u
, N
v
 + t
2
h
2
N
u
, N
v
 + t
2
h
u
h
v
,
7
G
t
= G + 2thX
v
, N

 = −g và 2H(EG−F
2
) =
Eg − 2F f + Ge. Khi đó
E
t
G
t
− (F
t
)
2
= (EG − F
2
) − 2th(Eg − 2F f + Ge) + R(t)
= (EG − F
2
)(1 − 4thH) + R(t)
= (EG − F
2
)(1 − 4thH + R(t)),
với R(t) là một đa thức theo t, bậc ≥ 2 và R(t) =
R(t)
EG−F
2
.
Với ε đủ nhỏ thì X
t
là một mặt tham số chính quy. Do đó diện tích của mặt
tham số X


(t) =

D
−4hH + R

(t)
2

1 − 4thH + R(t)
dA
được gọi là biến phân thứ nhất của hàm diện tích của mặt tham số chính quy X
t
.
Tại t = 0, ta có
A

(0) =

D
−2hHdA
được gọi là biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích của mặt tham số chính
quy X.
Từ đó ta có định lý nêu lên mối liên hệ giữa một mặt cực tiểu và biến phân thứ
nhất của phiếm hàm diện tích của mặt đó như sau
Định lý 1.2.1. [1] Cho X : Ω −→ R
3
là một mặt tham số chính quy, D ⊂ Ω là
miền bị chặn. Mặt tham số X là cực tiểu KCK A


là
A
ϕ
(t) =

D
dA
t
ϕ
=

D
e
ϕ
t
dA
t
=

D
e
ϕ
t

E
t
G
t
− (F
t

(e
ϕ
t
)


1 − 4thH + R(t)dA +

D
e
ϕ
t


1 − 4thH + R(t)


dA
=

D
e
ϕ
t
(ϕ
t
)


1 − 4thH + R(t)dA +


z
z

t
)

1 − 4thH + R(t)dA +

D
e
ϕ
t


1 − 4thH + R(t)


dA
=

D
e
ϕ
t
h∇ϕ
t
, N

1 − 4thH + R(t)dA +

e
ϕ
h∇ϕ, NdA +

D
e
ϕ
(−2hH)dA
= −

D
2h(H −
1
2
∇ϕ, N)e
ϕ
dA
= −

D
2hH
ϕ
dA
ϕ
chính là biến phân thứ nhất của hàm diện tích của mặt tham số chính quy X trong
không gian R
3
với mật độ e
ϕ(r)
.

là một tham số hóa của C và v là góc quay quanh trục z. Như vậy tham số hóa
của mặt S là
X(u, v) = (f(u) cos v, f(u) sin v, g(u))
xác định trên tập U = {(u, v) ∈ R
2
: 0 < v < 2π, a < u < b} vào S.
Mặt S như vậy được gọi là mặt tròn xoay, đường cong C được gọi là đường sinh,
trục z được gọi là trục quay.
10
Định nghĩa 1.3.3. (Mặt kẻ)
Cho I ⊂ R
3
là một khoảng mở; α, β : I −→ R
3
là hai hàm số khả vi đến cấp cần
thiết, α

(u) = 0, β(u) = 0 ∀u ∈ I. Ta xem α(u) như là một điểm, β(u) như là một
vector trong R
3
. Lúc đó mặt tham số được cho bởi
X(u, v) = α(u) + vβ(u), u ∈ I, v ∈ R
được gọi là mặt kẻ sinh bởi α và β.
Đường cong α(u) được gọi là đường chuẩn của mặt kẻ. Với mỗi u ∈ I, đường
thẳng đi qua điểm α(u) và nhận β(u) làm vector chỉ phương được gọi là một đường
sinh của mặt kẻ.
Nhận xét 1.3.1. Ta luôn có thể chọn α(u) là đường cong trực giao với họ các đường
thẳng của mặt S, β(u) là trường vector đơn vị dọc α và là vector chỉ phương của
các đường thẳng đi qua α(u) đồng thời giả sử u là tham số hóa độ dài cung của
α. Do đó luôn giả thiết được rằng một mặt kẻ bất kì trong R

là mặt kẻ cực tiểu duy nhất khác mặt phẳng.
Hình 1.3: Mặt helicoid
4. Mặt scherk xác định bởi tham số hóa
X(u, v) = (u, v,
1
a
ln
cos av
cos au
), a = 0
là mặt tịnh tiến cực tiểu duy nhất khác mặt phẳng.
12
Hình 1.4: Mặt scherk
5. Mặt enneper có tham số hóa xác định bởi
X(u, v) = (u −
u
3
3
+ uv
2
, v −
v
3
3
+ vu
2
, u
2
− v
2

x + b
1
y + c
1
z + d
1
= 0.
13
Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (α) là
d(O, α) =
|d
1
|

a
2
1
+ b
2
1
+ c
2
1
= |d
1
|
= | − (a
1
x + b
1

2
= 1).
Ta có độ cong theo mật độ của mặt phẳng trên là
H
ϕ
= H −
1
2
∇
ϕ
, N
với ∇
ϕ
= (2x, 2y, 2z) và N = (A, B, C).
Vì mặt phẳng có độ cong trung bình H = 0 nên
H
ϕ
= −
1
2
(2x, 2y, 2z)(A, B, C) = −(Ax + By + Cz) = D = const..
Mặt phẳng là mặt cực tiểu ⇔ H
ϕ
= 0 ⇔ D = 0.
Định lý 1.3.3. Trong không gian R
3
với mật độ e
r
2
, mặt cầu tâm O là mặt có độ

Các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai là
E = R
2
, F = 0, G = R
2
sin
2
u,
e = −R, f = 0, g = −R sin
2
u.
Độ cong trung bình là
H =
1
2
eG + Eg − 2fF
EG − F
2
= −
1
R
.
Với mọi điểm p(x, y, z) ∈ S, pháp vector đơn vị N
p
của S tại p là
N
p
= (
x


2
∇
ϕ
, N
= −
1
R
−
1
2
(2x, 2y, 2z)(
x

x
2
+ y
2
+ z
2
,
y

x
2
+ y
2
+ z
2
,
z

3
với mật độ e
r
2
, mặt trụ có phương trình tổng
quát x
2
+ y
2
= R
2
là mặt có độ cong hằng. Không có mặt trụ nào là mặt cực tiểu.
Chứng minh. Gọi mặt trụ T có phương trình tổng quát là x
2
+ y
2
= R
2
. Xét một
tham số hóa của mặt trụ T là
X(u, v) = (R cos v, R sin v, u)) với 0 < v < 2π,−∞ < u < +∞.
Ta có
X
u
= (0, 0, 1),
X
v
= (−R sin v, R cos v, 0),
N = (− cos v,− sin v, 0),
X

= (−
x

x
2
+ y
2
,−
y

x
2
+ y
2
, 0).
Độ cong trung bình theo mật độ của T là
H
ϕ
= H −
1
2
∇
ϕ
, N
=
1
2R
−
1
2

2R
+ R = const..
Định lý 1.3.5. (Phương trình Lagrange)
Trong không gian R
3
với mật độ e
r
2
, mặt tham số hóa dạng
X(u, v) = (u, v, f(u, v))
với f là hàm khả vi là mặt cực tiểu với mật độ khi và chỉ khi hàm f thỏa mãn
phương trình
(1 + f
2
u
)f
vv
+ (1 + f
2
v
)f
uu
− 2f
u
f
v
f
uv
+ 2(uf
u

2
v
(f
u
, fv,−1),
X
uu
= (0, 0, f
uu
),
X
vv
= (0, 0, f
vv
),
X
uv
= (0, 0, f
uv
).
Các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai là
E = 1 + f
2
u
, F = f
u
f
v
, G = 1 + f
2

2
v
.
Ta có độ cong trung bình là
H =
1
2
eG + Eg − 2fF
EG − F
2
=
1
2
(1 + f
2
v
)f
uu
+ (1 + f
2
u
)f
vv
− 2f
u
f
v
f
uv
(1 + f

u
+ f
2
v
(uf
u
+ vf
v
− f).
Do đó độ cong trung bình theo mật độ là
H
ϕ
= H −
1
2
∇
ϕ
, N
=
1
2
(1 + f
2
u
)f
vv
+ (1 + f
2
v
)f

= 0 ⇔
(1 + f
2
u
)f
vv
+ (1 + f
2
v
)f
uu
− 2f
u
f
v
f
uv
+ 2(uf
u
+ vf
v
− f)(1 + f
2
u
+ f
2
v
) = 0.
Từ định lý trên ta có một số hệ quả sau
Hệ quả 1.3.5.1. Trong không gian R

X(u, v) = (u, v, f(u)) với f là hàm khả vi
là mặt cực tiểu khi và chỉ khi hàm f thỏa mãn phương trình
f

+ 2(uf

− f)(1 + f
2
) = 0.
Mệnh đề 1.3.1. Trong không gian R
3
với mật độ e
r
2
, nếu mặt tròn xoay S là mặt
cực tiểu với mật độ thì trục quay của S phải đi qua gốc tọa độ.
Chứng minh. Không mất tính tổng quát, giả sử trục quay của S trùng với phương
của trục z. Gọi C là giao tuyến của S với mặt phẳng xy, khi đó với mọi M(x, y, z) ∈
C ta đều có H = const..
Vì S là mặt cực tiểu nên
H
ϕ
= 0 ⇔ H −
1
2
∇
ϕ
, N = 0
⇔ H =
1

− g

f

) + [g

+ 2(fg

− gf

)](f
2
+ g
2
) = 0.
Chứng minh. Xét mặt tròn xoay S có tham số hóa là
X(u, v) = (f(u) cos v, f(u) sin v, g(u)).
Ta có
X
u
= (f

cos v, f

sin v, g

),
X
v
= (−f sin v, f cos v, 0),

sin v, f

cos v, 0).
18
Các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai là
E = f
2
+ g
2
, F = 0, G = f
2
,
e =
f

g

− g

f


f
2
+ g
2
, f = 0, g =
fg



2
)
f
2
(f
2
+ g
2
)
3
2
=
1
2
f(f

g

− g

f

) + g

(f
2
+ g
2
)
f(f

+ g
2
(fg

− f

g).
Do đó độ cong trung bình theo mật độ là
H
ϕ
= H −
1
2
∇
ϕ
, N
=
1
2
f(f

g

− g

f

) + g

(f

) + [g

+ 2f(fg

− gf

)](f
2
+ g
2
) = 0.
Hệ quả 1.3.6.1. Xét mặt tròn xoay S được sinh ra bởi đường α(t) = (f(t), 0, t)
khi quay quanh trục z có phương trình tham số là
X(u, v) = (f(u) cos v, f(u) sin v, u)
với f ≥ 0, khả vi ∀u ∈ R và 0 < v < 2π.
Khi đó S là mặt cực tiểu khi và chỉ khi hàm f thỏa mãn phương trình
ff

− [1 + 2(f − uf

)](1 + f
2
) = 0 ∀u.
Định lý 1.3.7. (Điều kiện để mặt kẻ là mặt cực tiểu)
Trong không gian R
3
với mật độ e
r
2
, mặt kẻ có tham số hóa dạng

 − 2{α

∧ β, α = 0
α

∧ β, β

 + β

∧ β, α

 − 4α

∧ β, αα

, β

 = 0
β

∧ β, β

 − 2α

∧ β, αβ
2
= 0
β

∧ β, α = 0


∧ β) + v(β

∧ β),
X
uu
= α

+ vβ

,
X
vv
= 0,
X
uv
= β

.
Các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai là
E = (α

+ vβ

)
2
, F = 0, G = β
2
= 1,
N =

e =
α

∧ β, α

 + v[α

∧ β, β

 + β

∧ β, α

] + v
2
β

∧ β, β


|α

+ vβ

|
,
f =
α

∧ β, β

] + v
2
β

∧ β, β


(α

+ vβ

)
3
và ∇
ϕ
= (2x, 2y, 2z) = 2X(u, v) = 2(α(u) + vβ(u)), nên
∇
ϕ
, N = 2
α

∧ β, α + vβ

∧ β, α
|α

+ vβ

|
.



(α

+ vβ

)
3
−
1
2
2
α

∧ β, α + vβ

∧ β, α
|α

+ vβ

|
.
H
ϕ
= 0
⇔ α

∧ β, α


 + v[α

∧ β, β

 + β

∧ β, α

] + v
2
β

∧ β, β


− 2[α

∧ β, α + vβ

∧ β, α](1 + 2vα

, β

 + v
2
β
2
) = 0
⇔ α



∧ β, αβ
2
+ 2β

∧ β, αα

, β

] + v
3
β

∧ β, αβ
2
} = 0
⇔ α

∧ β, α

 − 2α

∧ β, α + v[α

∧ β, β

 + β

∧ β, α


2
= 0.
Xem phương trình trên như là một đa thức theo biến v, ta kết luận S là mặt
cực tiểu với mật độ
⇔

















α

∧ β, α

 − 2α

∧ β, α = 0
α

 = 0
β

∧ β, αβ
2
= 0
.
⇔

















α

∧ β, α

− 2α = 0


α

∧ β, α

− 2α = 0
β

= 0
.
21
Tìm cách giải quyết hệ phương trình (1.3.2)và chọn β = (0, 0, a) ta có hệ quả
sau
Hệ quả 1.3.7.1. Trong không gian R
3
với mật độ e
r
2
, mặt kẻ có tham số hóa dạng
X(u, v) = (x(u), y(u), z(u) + av), với x, y khác hàm hằng, a là hằng số bất kì, là
mặt cực tiểu với mật độ nếu phương trình
x

− 2x
x

=
y

− 2y


− 2x = 0.
Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng. Nghiệm của
phương trình này là
x(u) = C
1
e
a−
√
a
2
+8
2
u
+ C
2
e
a+
√
a
2
+8
2
u
,
với C
1
, C
2
là các hằng số bất kì.

α

∧ β, β

 + β

∧ β, α

 − 4α

∧ β, αα

, β

 = 0 (1.3.1.2)
β

∧ β, β

 − 2α

∧ β, αβ
2
= 0 (1.3.1.3)
β

∧ β, α = 0 (1.3.1.4)
.
Từ phương trình cuối ta có α, β và β


∧ β, αβ
2
= 0
⇔ β

∧ β, β

 − 2k(β

∧ β) + l(β

∧ β), kβ + lβ

β
2
= 0
⇔ β

∧ β, β

 − 2l
2
β

∧ β, β

β
2
= 0
⇔ β

, mặt tịnh tiến S : X(u, v) =
(u, v, f(u) + h(v)) với
f(u) = a
n
u
n
+ a
n−1
u
n−1
+ ... + a
0
,
h(v) = b
m
v
m
+ b
m−1
v
m−1
+ ... + b
0
,
m, n ∈ N, a
n
= 0, b
m
= 0.
Khi đó S là mặt cực tiểu với mật độ khi và chỉ khi S là mặt phẳng đi qua gốc tọa