ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TOÁN
PHẠM THỊ KHÁNH LY
ĐỊNH LÝ OSOFSKY CHO VÀNH
NỬA ĐƠN
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Bộ môn: Đại số
Cán bộ hướng dẫn
GS. TS. LÊ VĂN THUYẾT
Huế, tháng 05 năm 2011.
i
LỜI CẢM ƠN
Qua bốn năm học tập và rèn luyện tại giảng đường trường Đại học Sư phạm
Huế, được sự dìu dắt của quý thầy cô giáo, tôi đã tiếp thu được khá nhiều kiến thức
hữu ích về chuyên môn cũng như nghiệp vụ. Khóa luận tốt nghiệp này được xem là
thành quả quan trọng của cả quá trình học tập và rèn luyện.
Khóa luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, giúp đỡ của thầy giáo, GS.
TS. Lê Văn Thuyết, tôi xin gửi đến thầy sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc.
Chúng tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn đến quý thầy cô giáo đã giảng dạy lớp
Toán B khóa 2007 - 2011 của trường ĐHSP Huế, đặc biệt là các thầy cô trong khoa
Toán vì sự giảng dạy tận tình và sự quan tâm, động viên tôi trong suốt quá trình
học tập và thực hiện đề tài.
Cuối cùng, tôi gửi sự trân trọng và lòng biết ơn đến tất cả người thân, bạn bè và
những người đã quan tâm động viên, giúp đỡ cho tôi trong suốt quá trình học tập
vừa qua.
Huế, tháng 05 năm 2011
Sinh viên thực hiện
Phạm Thị Khánh Ly
ii
MỤC LỤC

Có rất nhiều đặc trưng quan trọng của vành nửa đơn được đưa ra như Định lý
Wedderburn - Artin : "Vành R là nửa đơn khi và chỉ khi nó là tổng trực tiếp của
một số hữu hạn các vành ma trận trên một thể". Liên hệ với căn Jacobson ta có
định lý sau:"Một vành là nửa đơn nếu và chỉ nếu R là vành Artin phải (trái) và căn
Jacobson J = 0". Vấn đề này là một vấn đề quan trọng thu hút nhiều nhà toán học
nghiên cứu. Cũng như Wedderburn, Artin, Jacobson và các nhà toán học khác cùng
với sự quan tâm của mình thì Osofsky cũng đã nghiên cứu về vành nửa đơn này
và đã đưa ra một tính chất quan trọng thông qua lớp R-Môđun đó là:"Vành R là
nửa đơn khi và chỉ khi mỗi R-môđun phải (trái) cyclic là nội xạ". Tính chất này rất
quan trọng vì trong phạm trù Mod − R, lớp các R-môđun cyclic là dễ "kiểm soát"
nhất vì mọi R-môđun phải cyclic M đều đẳng cấu với R/I, trong đó I là iđêan phải
nào đó của R. Trong quyển sách [7], tác giả T. Y. Lam đã phát biểu Định lý 2.9
gồm bốn mệnh đề tương đương cho vành R như sau:
1. R là nửa đơn trái;
2. Tất cả các R-môđun trái là nội xạ;
3. Tất cả các R-môđun trái hữu hạn sinh đều nội xạ;
4. Tất cả R-môđun trái cyclic là nội xạ.
Tác giả đã trình bày chứng minh các mệnh đề (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4), nhưng đối
3
với mệnh đề (4) ⇒ (1) thì tác giả đã không trình bày trong quyển sách này vì nhiều
lý do hơn nữa nó khá khó.
Vì vậy, khóa luận này sẽ tổng quan và trình bày lại các tính chất, lý thuyết liên
quan đến môđun nội xạ, vành nửa đơn và cuối cùng là Định lý Osofsky, với mục
đích là khi sử dụng Định lý Osofsky cho vành nửa đơn, độc giả có thể đọc từ đầu
đến cuối khóa luận chứ không cần sử dụng một tài liệu nào khác.
Khóa luận gồm hai chương: chương I trình bày về môđun nội xạ, vành nửa đơn,
chương II tập trung nghiên cứu về Định lý Osofsky và một số ví dụ.
Do thời gian nghiên cứu và năng lực còn hạn chế nên khóa luận này không tránh
khỏi thiếu sót, kính mong quý thầy cô giáo và độc giả đóng góp để cho khóa luận
được hoàn chỉnh hơn.

−→ Z → 0 được gọi là dãy khớp ngắn nếu: f đơn cấu, g
toàn cấu, Imf = Kerg.
Dãy khớp ngắn các R-môđun phải 0 → A
f
−→ B
g
−→ C → 0 được gọi là chẻ ra nếu
và chỉ nếu Imf = Kerg là một hạng tử trực tiếp của B.
Ví dụ 1.2.1. A, B là các R-môđun trái, 0 → A
f
−→ A × B
g
−→ B → 0 là chẻ ra vì
Imf = A × {0} = Kerg là hạng tử trực tiếp của A × B.
5
1.3 Tích trực tiếp, tổng trực tiếp
1.3.1 Tích trực tiếp
Định nghĩa 1.3.1. Cho một họ những R-môđun phải {A
i
}
i∈I
với I = ∅. Khi đó
tích Descartes

i∈I
A
i
= {(a
i
)

là một R-môđun phải, gọi là tích trực tiếp của họ {A
i
}
i∈I
.
Trường hợp A
i
= A với mọi i ∈ I ta kí hiệu

i∈I
A
i
= A
I
.
Phép chiếu p
j
:

i∈I
A
i
−→ A
j
là một R-đồng cấu với mọi j ∈ I.
1.3.2 Tổng trực tiếp
Định nghĩa 1.3.2. Họ (a
i
)
i∈I

i∈I
. Kí hiệu
là:

i∈I
A
i
.
Trường hợp A
i
= A với mọi i ∈ I ta kí hiệu

i∈I
A
i
= A
I
.
Với mỗi j ∈ I, đồng cấu
µ
j
: A
j
−→

i∈I
A
i
,
a

M
i
−→ M
(m
i
)
i∈I
−→

i∈I
m
i
.
Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
1) α là đẳng cấu.
2) Mỗi phần tử m ∈ M đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng m =

m
i
, m
i
∈ M
i
, trong đó các phần tử (m
i
)
i∈I
có giá hữu hạn.
3) M =


Chú ý: Do tính chất trong Định lý 1.3.1 từ nay về sau thay cho tổng trực tiếp
trong ta chỉ nói đơn giản là tổng trực tiếp cùng với kí hiệu

i∈I
M
i
.
∗ K là môđun con của M là hạng tử trực tiếp của M khi và chỉ khi tồn tại
K

≤ M sao cho K ∩ K

= 0 và K + K

= M.
∗ Với mọi K ≤ M luôn tồn tại một môđun con thỏa mãn một trong hai điều
kiện: K ∩ 0 = 0; K + M = M.
1.4 Căn và đế của vành
Định nghĩa 1.4.1. Cho vành R.
7
(a) Iđêan phải I của vành R được gọi là iđêan phải cực đại nếu I = R và mọi
iđêan phải của R chứa I thực sự đều bằng R. Nói cách khác là không có iđêan phải
nào của R chứa I mà khác I và khác R.
(b) Iđêan phải I của vành R được gọi là iđêan phải cực tiểu nếu I = 0 và mọi
iđêan phải của R chứa trong I khác 0 đều bằng I. Nói cách khác là không có iđêan
phải nào của R chứa trong I mà khác I và khác 0.
Định nghĩa 1.4.2. (a) Giao của tất cả các iđêan phải (trái) cực đại của R là một
iđêan phải của R và được gọi là căn phải (trái) của vành R. Kí hiệu: rad(R
R
)(rad(

Định nghĩa 1.5.1. ∗ K  M được gọi là cốt yếu (hay lớn) trong M. Kí hiệu:
K 
e
M. Có nghĩa là ∀L  M; K ∩ L = 0 ⇒ L = 0 (hay ∀L = 0, L  M thì
K ∩ L = 0). Lúc đó M được gọi là mở rộng cốt yếu của K.
∗ K  M được gọi là đối cốt yếu (hay nhỏ) trong M. Kí hiệu K  M. Có nghĩa
là ∀L  M; K + L = M ⇒ L = M hay (∀L  M thì K + L = M).
∗ Một mở rộng cốt yếu E của R-môđun M được gọi là mở rộng cốt yếu cực đại
của M, nếu mọi mở rộng thực sự E

của E không thể mở rộng cốt yếu của M.
Nhận xét 1.5.1.
i. Mỗi môđun là một mở rộng cốt yếu của chính nó.
ii. M = 0; K 
e
M ⇒ K = 0.
iii. K  M ⇒ K = M.
iv. E là mở rộng cốt yếu của R-môđun M khi và chỉ khi mỗi phần tử 0 = x ∈
E, ∃a ∈ R để ax ∈ M(ax = 0).
Định nghĩa 1.5.2.
Đơn cấu f : K → M được gọi là cốt yếu nếu Imf 
e
M.
Toàn cấu g : M → N được gọi là đối cốt yếu nếu Kerg  M.
Ví dụ 1.5.2. Trong vành Z, với n = 0 thì nZ 
e
Z, với n = 0 thì 0  Z và khi đó
0 là môđun con đối cốt yếu duy nhất của Z
Z
.

Chứng minh. Đặt M =

i∈I
M
i
; E =

i∈I
E
i
. Để chứng minh E là mở rộng cốt yếu của
M ta chứng minh với mỗi x ∈ E tồn tại a ∈ R, 0 = ax ∈ M.
Cho x ∈ E; x = (x
1
, ...., x
n
); x
k
∈ E
i
k
; i
1
, ..., i
n
∈ I. Vì E
i
1
là mở rộng cốt yếu
của M

x ∈ M (điều phải chứng
minh).
Trái lại, giả sử p là số bé nhất sao cho a
1
x
p
= 0 trong dãy a
1
x
2
, ..., a
1
x
n
. Vì E
i
p
mở rộng cốt yếu của M
i
p
nên tồn tại a
p
∈ R sao cho a
p
a
1
x
p
∈ M
i

1
x
q
= 0
trong a
p
a
1
x
p+1
, ..., a
p
a
1
x
n
. Tiếp tục quá trình trên ta sẽ chọn được a ∈ R sao cho
0 = ax ∈ M, suy ra E là mở rộng cốt yếu của M. Vậy

i∈I
E
i
là mở rộng cốt yếu của

i∈I
M
i
.
1.6 Lũy đẳng và vấn đề linh hóa tử
Định nghĩa 1.6.1. Cho R là một vành.

1
+ e
2
+ ... + e
n
.
3. Lũy đẳng e ∈ R được gọi là lũy đẳng nguyên thủy nếu e = 0 và mỗi cặp e
1
và e
2
lũy đẳng trực giao sao cho e = e
1
+ e
2
kéo theo e
1
= 0 hoặc e
2
= 0.
Mệnh đề 1.6.1. [4, MĐ 3.3.8] Iđêan phải I của vành R là một hạng tử trực tiếp
của R
R
nếu và chỉ nếu tồn tại lũy đẳng e ∈ R sao cho I = eR. Hơn nữa nếu e ∈ R
là một lũy đẳng thì 1 − e cũng vậy và (1 − e)R là phần phụ của eR nghĩa là:
R
R
= eR ⊕ (1 − e)R.
Chứng minh. Giả sử R
R
= I ⊕ K, K ≤ R

R
và X ⊆ M. Linh hóa tử trái của X
trong R là:
l
R
(X) = {r ∈ R | rx = 0, ∀x ∈ X}.
Cho Y ⊆ R. Linh hóa tử phải của Y trong M là:
r
M
(Y ) = {x ∈ M | ax = 0, ∀a ∈ Y }.
11
Khi X = {x} hay Y = {a}, ta viết l
R
(x) hay r
M
(a). Với những linh hóa tử trên
R, nếu không có gì nhầm lẫn, người ta có thể bỏ kí hiệu R trong l
R
, r
R
, mà chỉ viết
là l, r.
Mệnh đề 1.6.2. [2, MĐ 1.2.3] Cho
R
M, X và Y là các tập con của M và A, B là
các tập con của R. Khi đó
1. X ⊆ Y ⇒ l
R
(X) ≥ l
R

(A).
1.7 Môđun hữu hạn sinh
Định nghĩa 1.7.1. Một R-môđun trái M được gọi là hữu hạn sinh nếu nó có một
tập sinh gồm hữu hạn phần tử. Nói cách khác, M là hữu hạn sinh nếu có các phần
tử nào đó s
1
, s
2
, ..., s
n
∈ M sao cho M = Rs
1
+ ... + Rs
n
.
Định lý 1.7.1. [3, ĐL 3.1] Các điều kiện sau là tương đương với môđun M
R
a. M hữu hạn sinh.
b. Với mọi tập f
α
: U
α
−→ M(α ∈ A),với M =

A
Imf
α
, tồn tại một tập hữu
hạn F ⊆ A sao cho M =


Định nghĩa 1.7.2. Một R-môđun trái M được gọi là cyclic nếu M được sinh bởi
một phần tử:
M = {x} = Rx = {rx|r ∈ R}, ∀x ∈ M.
1.8 Môđun nội xạ
Môđun nội xạ là một cấu trúc lớp môđun quan trọng trong đại số, khái niệm
môđun nội xạ được R.Bear giới thiệu vào năm 1940. Sau đây chúng tôi sẽ đề cập
đến lớp môđun này.
Định nghĩa 1.8.1. Cho U
R
là một R-môđun, U được gọi là nội xạ nếu mọi đơn cấu
f : K → M, và mọi R-đồng cấu g : K −→ U, tồn tại một R-đồng cấu h : M −→ U
sao cho g = hf, nghĩa là biểu đồ sau giao hoán (với dòng trên khớp)
0
K M.
U
✲
❄
g
✲
f
 
 
 
 ✠
h
Ví dụ: 1. Môđun 0 là nội xạ.
2. Môđun Z không nội xạ.
Mệnh đề 1.8.1. [2, ĐL 4.4.6] {Q
i
}

i
: B −→ Q
i
sao cho g
i
= h
i
f, ∀i ∈ I. Giả sử Q nội xạ, đồng cấu g
i
: A −→ Q
i
, ∀i ∈
I. Ta có η
i
g
i
: A −→ Q là đồng cấu. Vì Q nội xạ nên tồn tại đồng cấu h : B −→ Q
13
sao cho hf = η
i
g
i
,∀i ∈ I. Đặt h
i
= π
i
h : B −→ Q
i
, khi đó π
i

i
nội xạ. Lấy g : A −→ Q
đồng cấu R-môđun, cho f : A −→ B đơn ánh. π
i
h đồng cấu thì tồn tại đồng cấu
h
i
: B −→ Q
i
sao cho h
i
f = π
i
g.
Xây dựng đồng cấu h : B −→ Q sao cho π
i
h = h
i
biến mỗi phần tử y ∈ B −→
h
i
(y) ∈ Q. Khi đó ta có h
i
f(x) = π
i
hf(x) = π
i
g(x), ∀x ∈ X ⇒ hf = g. Vậy Q nội
xạ.
Khi nói đên môđun nội xạ thì một tiêu chuẩn rất quan trọng để kiểm tra

Tồn tại đồng cấu h: B −→ Q sao cho hf = id. Đặt e = fh, e là tự đồng cấu của
B. Khi đó e
2
= (fh)(fh) = f(hf)h = f(id)h = fh = e. Suy ra e lũy đẳng. Từ
14
đó, ta có B = Ime ⊕ Kere. Mà hf = id nên h toàn ánh ⇒ Ime = Imfh = Imf
⇒ Imf = kerg là hạng tử trực tiếp của B. f đơn ánh ⇒ kerfh = kerh là phần
phụ của Imf. Từ đó suy ra B = Imf ⊕ Kerh. Vậy mọi dãy khớp ngắn các R-đồng
cấu 0 → Q
f
−→ B
g
−→ C → 0 đều chẻ ra.
⇐) Ta có 0 → Q
f
−→ B
g
−→ C → 0 chẻ ra nên khi đó f đơn ánh, g toàn ánh.
Xét đồng cấu id : Q −→ Q, khi đó luôn tồn tại một đồng cấu từ h : B −→ Q để
biểu đồ sau giao hoán
Q
B.
Q
❄
id
✲
f
 
 
 

chia được.
Định nghĩa 1.8.3. Cho M
R
, đơn cấu µ : M → Q được gọi là bao nội xạ đối với
M nếu Q là môđun nội xạ, còn µ là đơn cấu cốt yếu. Kí hiệu bao nội xạ của M là
E(M).
Ví dụ 1.8.5. ι : Z
Z
→ Q
Z
là bao nội xạ đối với Z
Z
vì Q
Z
là môđun chia được nên
Q
Z
nội xạ và ι là đơn cấu cốt yếu.
Tính chất 1.8.6. [1, HQ 2.6] Cho E mở rộng của R-môđun M. Lúc đó các mệnh
đề sau tương đương:
i. E là bao nội xạ của M.
ii. E là mở rộng cốt yếu cực đại của M.
Định lý 1.8.7. [1, ĐL 2.7] Mọi môđun luôn có ít nhất một bao nội xạ, giả sử E và
E

là những bao nội xạ của M, tồn tại một đẳng cấu f : E → E

sao cho f(x) = x,
∀x ∈ M.
16

là
các phép nhúng tự nhiên. Khi đó theo chứng minh trên, tồn tại một R-đơn cấu
f : E −→ E

sao cho i

= foi, vì f(E)
∼
=
E

; f(E) là môđun nội xạ, do đó sẽ tồn
tại R-môđun con L của E

, sao cho E

= f(E) ⊕ L.
Mặt khác E

là một mở rộng cốt yếu của M và M ⊆ f(E) nên từ f(E) ∩ L =
0 ⇒ L = 0. Vậy f là một đẳng cấu và ta có được điều cần chứng minh.
Nhận xét 1.8.8. Luôn tồn tại E(M) của M sao cho E(M)  E với E là mở rộng
của R-môđun M, suy ra R-môđun M là nội xạ khi chỉ khi E(M) = M.
1.9 Môđun nửa đơn
Đối với mọi không gian vectơ đều có cơ sở và lực lượng của cơ sở là bất biến, một
tập độc lập bao giờ cũng có thể mở rộng được thành một cở sở. Đối với môđun thì
những tính chất đó cũng có thể diễn đạt được đối với môđun sinh ra bởi các môđun
đơn.
17
1.9.1 Môđun đơn

R
đơn.
Định nghĩa 1.9.2. Vành R được gọi là đơn nếu R = 0 và ∀A  (
R
R
R
)[A = 0; A =
R], có nghĩa là R = 0 và R chỉ có hai iđêan hai phía là 0 và R.
1.9.2 Môđun nửa đơn
Định nghĩa 1.9.3. i. Cho (T
α
)
α∈A
là tập các môđun con đơn của M, M là tổng
trực tiếp các môđun con đơn này, nghĩa là
M =

A
T
α
(∗).
Khi đó (∗) được gọi là phân tích nửa đơn.
18