ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
-------------------

NGUYỄN QUANG HUÂN

PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KHUNG DẦM FGM
CHỊU TẢI TRỌNG ĐỘNG ĐẤT
BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ CƠ KỸ THUẬT

Hà Nội - 2018


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
-------------------

NGUYỄN QUANG HUÂN

PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KHUNG DẦM FGM
CHỊU TẢI TRỌNG ĐỘNG ĐẤT
BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

Ngành: Cơ kỹ thuật
Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật
Mã số: 8520101.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ CƠ HỌC KỸ THUẬT


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu và
kết quả được trình bày trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố
trong bất kỳ công trình nào khác.

Học viên

Nguyễn Quang Huân


iii

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ........................................................................................................ i
LỜI CAM ĐOAN.................................................................................................. ii
MỤC LỤC ............................................................................................................ iii
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT ........................................... v
Danh mục các hình vẽ ........................................................................................ viii
Danh mục các bảng ............................................................................................... x
MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 1
Chương 1 - CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ỨNG XỬ CỦA KẾT CẤU
CHỊU TẢI TRỌNG ĐỘNG ĐẤT ......................................................................... 4
1.1. Quá trình phát triển các phương pháp ....................................................... 4
1.2. Một số phương pháp tính toán .................................................................. 5
1.2.1. Phương pháp tính toán tĩnh tương đương ......................................... 5
1.2.2. Phương pháp tính toán tĩnh phi tuyến ............................................... 6
1.2.3. Phương pháp phân tích dạng dao động và phổ phản ứng ................. 6
1.2.4. Phương pháp tích phân trực tiếp phương trình chuyển động ........... 7
1.3. Kết luận chương 1 ..................................................................................... 7

Các ký hiệu thông thường
A11

Độ cứng dọc trục

A12

Độ cứng tương hỗ dọc trục - uốn

A22

Độ cứng chống uốn

A33

Độ cứng chống trượt

b
Ec1

Chiều rộng dầm
Mô-đun đàn hồi của gốm 1

Ec 2

Mô-đun đàn hồi của gốm 2

E m1

Mô-đun đàn hồi của kim loại 1

I11

Chiều cao dầm
Mô-men khối lượng dọc trục

I12

Mô-men khối lượng tương hỗ dọc trục-quay

I 22

Mô-men khối lượng quay (của thiết diện ngang)

l
L
n
nx

Chiều dài một phần tử dầm
Chiều dài dầm
Chỉ số mũ (tham số vật liệu)
Chỉ số mũ (tham số vật liệu theo chiều dài)

nz

Chỉ số mũ (tham số vật liệu theo chiều cao)

nELE
P
Pc1

Te

Động năng của khung, dầm
Động năng của phần tử

u0

Chuyển vị dọc trục của một điểm nằm trên mặt giữa

U
Ue

Năng lượng biến dạng đàn hồi
Năng lượng biến dạng đàn hồi của phần tử

w0

Chuyển vị ngang của một điểm nằm trên mặt giữa

Véc-tơ và ma trận

d
D
D
D
Dg

Véc-tơ chuyển vị nút phần tử
Véc-tơ chuyển vị nút tổng thể
Véc-tơ vận tốc nút tổng thể


Chữ cái Hy Lạp

 xx

Biến dạng dọc trục

 xz

Biến dạng trượt

, 


Hệ số cản Rayleigh
Tỉ lệ cản


vii




t
T
 xx

Góc quay của thiết diện ngang
Hệ số điều chỉnh trượt
Tham số trượt

Hình 3.12. Vận tốc theo thời gian tại đỉnh cột (nx = 0.5) ................................... 26
Hình 3.13. Gia tốc theo thời gian tại đỉnh cột (nx = 0.5) .................................... 27
Hình 3.14. Chuyển vị ngang tương đối theo thời gian tại đỉnh A của khung (nz =
0.5) ....................................................................................................................... 27
Hình 3.15. Vận tốc theo thời gian tại đỉnh A của khung (nz = 0.5) .................... 28
Hình 3.16. Gia tốc theo thời gian tại đỉnh A của khung (nz = 0.5)..................... 28
Hình 3.17. Chuyển vị ngang tương đối theo thời gian tại đỉnh A của khung (nx =
0.5) ....................................................................................................................... 29
Hình 3.18. Vận tốc theo thời gian tại đỉnh A của khung (nx = 0.5).................... 29
Hình 3.19. Gia tốc theo thời gian tại đỉnh A của khung (nx = 0.5) .................... 30
Hình 3.20. Chuyển vị ngang tương đối theo thời gian tại đỉnh B của khung (nz =
0.5) ....................................................................................................................... 30
Hình 3.21. Vận tốc theo thời gian tại đỉnh B của khung (nz = 0.5) .................... 31
Hình 3.22. Gia tốc theo thời gian tại đỉnh B của khung (nz = 0.5) ..................... 31


ix
Hình 3.23. Chuyển vị ngang tương đối theo thời gian tại đỉnh B của khung (nx =
0.5) ....................................................................................................................... 32
Hình 3.24. Vận tốc theo thời gian tại đỉnh B của khung (nx = 0.5) .................... 32
Hình 3.25. Gia tốc theo thời gian tại đỉnh B của khung (nx = 0.5) ..................... 33
Hình 3.26. Chuyển vị ngang tương đối theo thời gian tại đỉnh C của khung (nz =
0.5) ....................................................................................................................... 33
Hình 3.27. Vận tốc theo thời gian tại đỉnh C của khung (nz = 0.5) .................... 34
Hình 3.28. Gia tốc theo thời gian tại đỉnh C của khung (nz = 0.5) ..................... 34
Hình 3.29. Chuyển vị ngang tương đối theo thời gian tại đỉnh C của khung (nx =
0.5) ....................................................................................................................... 35
Hình 3.30. Vận tốc theo thời gian tại đỉnh C của khung (nx = 0.5) .................... 35
Hình 3.31. Gia tốc theo thời gian tại đỉnh C của khung (nx = 0.5) ..................... 36


động lực học của kết cấu FGM được cải thiện đáng kể so với kết cấu truyền thống
làm từ các vật liệu thuần nhất [8, 13]. Với khả năng chịu được nhiệt độ cao, vật
liệu FGM được sử dụng rộng rãi để làm các phần tử kết cấu trong ngành công
nghiệp hạt nhân [9], nơi mà các kết cấu chịu kích động của động đất luôn là vấn
đề đặt ra và được sự quan tâm của các nhà khoa học.
Trong nhiều tình huống thực tế, các tải trọng cơ và nhiệt có thể thay đổi theo
nhiều phương khác nhau của kết cấu [12], vì thế việc phát triển các vật liệu có cơ
tính biến đổi theo các hướng khác nhau là nhu cầu của thực tế, có ý nghĩa khoa
học, giúp cho việc tối ưu hóa kết cấu. Nghiên cứu ứng xử cơ học của dầm làm từ
vật liệu FGM có cơ tính biến đổi theo hai chiều (dầm 2D-FGM), chiều cao và
chiều dài dầm, đã được một số tác giả quan tâm nghiên cứu trong thời gian gần
đây, điển hình là các tài liệu [14, 15, 16]. Tuy nhiên, phần lớn các nghiên cứu về
ứng xử của dầm 2D-FGM mới chỉ dừng lại ở phân tích dao động tự do hay mất
ổn định của dầm. Một số nghiên cứu đã đề cập tới ứng xử động lực học của dầm,
tuy nhiên các tính chất của vật liệu được giả định tuân theo quy luật hàm số Euler,
trường hợp đơn giản nhất của quy luật phân bố vật liệu FGM.


2
2.

Định hướng và nội dung nghiên cứu

Từ các phân tích nêu trên ta thấy rằng, nghiên cứu ứng xử động lực học của
dầm 2D-FGM với các tính chất vật liệu tuân theo quy luật hàm số lũy thừa vẫn
chưa được xét đến. Liên quan đến kết cấu khung, dầm 2D-FGM chịu tải trọng
động đất, theo hiểu biết của tác giả, hiện chưa có nghiên cứu nào về bài toán này.
Vì lý do này, việc đánh giá ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu đến đáp ứng động
lực học của khung, dầm 2D-FGM chịu tải trọng động đất mà Luận văn này quan
tâm nghiên cứu có ý nghĩa khoa học và thực tiễn.

trình cơ bản, biểu thức năng lượng cho dầm 2D-FGM. Xây dựng mô hình


3
phần tử hữu hạn để tính toán đáp ứng động lực học của khung, dầm 2DFGM chịu tải trọng động đất. Biểu thức cụ thể cho ma trận độ cứng và
ma trận khối lượng cho phần tử dầm 2D-FGM được xây dựng từ các biểu
thức năng lượng.
 Chương 3 - Thực hiện tính toán số cho một số kết cấu khung, dầm 2DFGM cụ thể. Xem xét ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu tới ứng xử động
lực học của kết cấu dưới tác dụng của tải trọng động đất được thảo luận
chi tiết.


4
Chương 1
CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ỨNG XỬ CỦA KẾT CẤU
CHỊU TẢI TRỌNG ĐỘNG ĐẤT
1.1.

Quá trình phát triển các phương pháp

Trong những năm cuối thế kỷ XIX - đầu của thế kỷ XX, sau các trận động ở
Nobi (Nhật Bản – 1891) và San Francisco (1906), hai nhà khoa học Nhật Bản là
Omori và Sano đã đề xuất lý thuyết tính toán tĩnh để xác định tải trọng động đất
lên kết cấu công trình. Theo phương pháp này, toàn bộ công trình xây dựng được
xem như một vật thể cứng tuyệt đối đặt trên nền đất. Khi có động đất xảy ra, các
đặc trưng như chuyển vị ngang, vận tốc và gia tốc tại bất kỳ vị trí nào trên công
trình cũng bằng các đặc trưng dao động nền tại chân công trình. Với giả thiết này,
tải trọng động đất lên công trình được xác định theo biểu thức [4]:
x
F  Ms x0,max  0,max Q  KsQ


1
T2
1 2
T0

(1.3)

trong đó: T, T0 lần lượt là chu kỳ dao động của kết cấu và chu kỳ dao động của
nền đất (T0 có giá trị từ 0.8s ~ 1s).
Trên cơ sở hệ số động đất này, tác động động đất lớn nhất lên hệ kết cấu được xác
định theo biểu thức [4]:
F   Ms x0,max  

x0,max
Q   KsQ
g

(1.4)

Tuy nhiên Mononobe đã bỏ qua lực cản, chưa xét đến lực động đất sẽ tăng thêm
khi có tác dụng của dao động tự do và dao động cưỡng bức, phạm vi áp dụng cũng
cho kết cấu có 1 bậc tự do nhưng chưa giải quyết được sự phân bố động đất theo
chiều cao công trình (tức kết cấu có nhiều bậc tự do).
Năm 1927, nhà khoa học Nga Zavriev đã đưa ra các yếu tố quan trọng trong
dao động tự nhiên trong giai đoạn khởi đầu của tác động động đất [4]. Zavriev đã
đặt nền móng đầu tiên cho cơ sở lý thuyết động lực học trong tính toán tác động
động đất.
Năm 1934, nhà khoa học Mỹ Biot đã đề xuất phương pháp tính tải trọng
động đất bằng cách dùng các số liệu dao động nền đất thực ghi lại được khi động

trên giả thiết cho rằng phản ứng của công trình được kiểm soát bởi một dạng dao
động duy nhất và hình dạng của dao động này giữ nguyên không đổi trong suốt
thời gian phản ứng. Thông thường, dạng dao động cơ bản được chọn là dạng phản
ứng trội của hệ nhiều bậc tự do động, ảnh hưởng của các dạng dao động khác
được xem là nhỏ và được bỏ qua. Phương pháp tính toán tĩnh phi tuyến với phân
bố tải trọng ngang như vậy được gọi là phương pháp tính toán đẩy dần quy ước
và thường được dùng để tính toán phản ứng của các công trình có chiều cao thấp
và trung bình.
Do tính đơn giản và khả năng xác định với độ chính xác chấp nhận được quá
trình biến dạng của hệ kết cấu cũng như các bộ phận thành phần mà không cần
phải thực hiện việc mô hình hóa phức tạp và tính toán công phu như tính toán
động nên phương pháp tính toán đẩy dần được xem là một phương pháp hữu hiệu
và tiện lợi trong tính toán động.
1.2.3. Phương pháp phân tích dạng dao động và phổ phản ứng
Phản ứng của kết cấu có nhiều bậc tự do chịu tác động động đất có thể được
tính toán bằng cách phân tích hệ kết cấu thành nhiều hệ kết cấu có một bậc tự do
tương đương. Tính toán phản ứng mỗi hệ tương đương theo thời gian và sau đó
cộng đại số các phản ứng lại để được phản ứng của kết cấu ban đầu. Phương pháp
này được gọi là phương pháp phân tích dạng. Nếu việc tính toán chỉ nhằm xác
định các đại lượng phản ứng lớn nhất thì tác động động đất sẽ được cho dưới dạng
phổ phản ứng và kết quả tính toán theo phương pháp tích phân dạng dao động sẽ
là phản ứng lớn nhất của hệ kết cấu. Phương pháp tính toán này có tên gọi là
phương pháp phổ phản ứng. Phương pháp tích phân dạng dao động cũng như
phương pháp phổ phản ứng có những nhược điểm sau:
 Phụ thuộc vào việc tách một cách nhân tạo các dạng dao động.
 Phải tổ hợp các kết quả tính toán ở các dạng dao động lại theo nguyên tắc
cộng tác dụng nên chỉ giới hạn ở giai đoạn làm việc đàn hồi tuyến tính của
vật liệu.





8
Chương 2
XÂY DỰNG MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐỂ TÍNH TOÁN
ĐÁP ỨNG ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KHUNG, DẦM 2D-FGM
CHỊU TẢI TRỌNG ĐỘNG ĐẤT
2.1.

Dầm 2D-FGM

Hình 2.1 minh họa dầm 2D-FGM với chiều dài L, chiều rộng b và chiều cao
h trong hệ tọa độ Đề-các (x, z). Hệ tọa độ (x, z) được chọn sao cho trục x trùng với
mặt giữa của dầm, trục z vuông góc với mặt giữa và hướng lên trên.

0

Hình 2.1. Mô hình dầm 2D-FGM
Dầm được giả định được tạo thành từ bốn vật liệu thành phần, cụ thể là gốm
1, gốm 2, kim loại 1 và kim loại 2. Tỉ lệ thể tích của các vật liệu thành phần phân
bố theo quy luật hàm lũy thừa như sau:

 z 1
Vc1    
h 2
  z 1
Vm1  1    
  h 2 

nz


(2.1)

trong đó Vc1, Vc2, Vm1, Vm2 lần lượt là tỉ phần thể tích của vật liệu gốm 1, gốm 2,
kim loại 1 và kim loại 2; L và h tương ứng là chiều dài và chiều cao của dầm; nz
và nx là các tham số vật liệu. Hình 2.2 minh họa tỉ phần thể tích vật liệu gốm 1 và
gốm 2 khi nz và nx thay đổi.
Các tính chất hữu hiệu (P) của dầm (mô-đun đàn hồi, mật độ khối, …) có thể
được đánh giá theo mô hình Voigt:
P=Vc1Pc1 + Vc2Pc2 + Vm1Pm1 + Vm2Pm2

(2.2)

trong đó Pc1, Pc2, Pm1, Pm2 biểu thị các tính chất của vật liệu gốm 1, gốm 2, kim
loại 1, kim loại 2. Thay phương trình (2.1) vào phương trình (2.2) ta được:


9
(a) nz=nx=1/3

(b) nz =nx=1/3
1

Vc2

Vc1

1
0.5
0


1

Vc1

1

0

0.5

0.5
0
0.5

1

0

z/h

0.5
0
0.5

0.5
-0.5 0

x/L


z
 z 1
P( x, z )  ( Pc 2  Pm 2 )     Pm 2
h 2

(2.4)

Còn khi nz = 0, thành phần vật liệu gồm có pha gốm 1 và gốm 2.
2.2.

Các phương trình cơ bản

Xét một phần tử dầm có chiều dài l, trong hệ tọa độ (x, z). Trục x được chọn
trùng mặt giữa của dầm. Dựa trên lý thuyết dầm Timoshenko, chuyển vị dọc trục
và chuyển vị ngang của một điểm bất kì trên dầm được cho bởi:

u ( x, z, t )  u0 ( x, t )  z  ( x, t)
w( x,z, t )  w0 ( x, t )

(2.5)

trong đó t là biến thời gian, u0 ( x, t ), w0 ( x, t ) tương ứng là chuyển vị dọc trục và
chuyển vị theo phương ngang của một điểm bất kì trên mặt giữa của dầm;  ( x, z )


10
là góc quay của thiết diện ngang của dầm. Biến dạng dọc trục (  xx ) và biến dạng
trượt (  xz ) thu được từ phương trình (2.5) có dạng:

 xx 


L

1
T    I11 (u 2  w2 )  2 I12u  I 22 2 dx
20

(2.9)

Trong đó Aij là các độ cứng; Iij là các mô-men khối lượng và chúng được định
nghĩa trong phương trình theo công thức:

( A11 , A12 , A22 )   E ( x, z )(1, z, z 2 )dA ,
A

(2.10)

A33   G( x, z )dA
A

và

( I11 , I12 , I 22 )    ( x, z )(1, z, z 2 )dA

(2.11)

A

Thay biểu thức các tính chất hiệu dụng ở phương trình (2.3) vào phương trình
(2.10), ta có thể viết lại các độ cứng Aij theo dạng

c 2m2
11

n

c1m1
12

c1m1
12

c 2m 2
12

n

x
c1m1
c1m1
c 2m 2  x 
A22  A22  ( A22  A22 )   ,
L

A33  A

c1m1
33

 (A


(2.12), độ cứng phần tử dầm 2D-FGM sẽ biến đổi về dầm FGM thông thường khi
ta cho tham số nx = 0 hoặc bằng cách lựa chọn 2 vật liệu gốm và 2 kim loại giống
hệt nhau. Với tính chất hiệu dụng của dầm được đưa ra ở phương trình (2.4),
chúng ta có thể dễ dàng biểu diễn các độ cứng của dầm FGM một chiều ở dạng
hiển. Chẳng hạn như độ cứng Aijc1m1 (i, j = 1, 2) sẽ có biểu thức dạng hiển như sau:

bh( Ec1  nz Em1 )
;
(nz  1)

A11c1m1 
c1m1
12

bh 2 nz ( Ec1  Em1 )

;
2(nz  1)(nz  2)

c1m1
22

bh3 (nz2  nz  2)( Ec1  Em1 )

;
4(nz  1)(nz  2)(nz  3)

A
A



 (I

c1m1
12

 (I

c1m1
22

I

c 2m2
11

x
) 
L

I

c 2m2
12

I

c 2m2
22


wi i u j  j

wj 

T

(2.15)

trong đó chỉ số trên ‘T ’ được sử dụng để chỉ chuyển vị của một véc-tơ hay một
ma trận; ui , wi và  i tương ứng là chuyển vị dọc trục, chuyển vị theo phương
ngang và góc xoay tại nút thứ i; u j , wj và  i tương ứng là chuyển vị dọc trục,
chuyển vị theo phương ngang và góc xoay tại nút thứ j.
Chuyển vị dọc trục u(x), chuyển vị theo phương ngang w(x) và góc xoay θ(x) cho
phần tử của dầm được nội suy qua hàm dạng như sau
(2.16)
u  N d, w  N d,   N d
0

u

0

w



trong đó

Nu   Nu1 Nu 2 Nu 3 Nu 4 Nu 5 Nu 6 
N w   N w1 N w2 N w3 N w4 N w5 N w6 

3





1
  

 
 
1     l 
l
l

3
2
l  x  
  x     x  
N w3 
    2     1    
1    l  
2  l   2  l  
3
2
1   x 
 x
 x 
N w5 
 2    3      

N 5 
      ;
(1   )l  l   l  

(2.20)

2
1   x
 x 
N 6 
3

(2


)
  
  .
1     l 
 l  

trong các phương trình (2.18), (2.19) và (2.20),   12Em1I / l 2 Gm1 A là tham số
trượt, A và I lần lượt là diện tích, mô-men quán tính của thiết diện ngang.
2.4.

Ma trận độ cứng

Sử dụng phép nội suy trên ta có thể viết được biểu thức cho năng lượng biến
dạng cho một phần tử dầm Ue, dưới dạng sau đây:
l


0

k uu   NTu, x A11Nu, x dx; k u    NTu, x A12N, x dx;
l

l

0

0

(2.23)

k   NT, x A22 N, x dx; k    (N w, x  N )T A33 (N w, x  N )dx

tương ứng là ma trận độ cứng phần tử sinh ra từ biến dạng dọc trục, tương hỗ giữa
biến dạng dọc trục và uốn, biến dạng uốn và biến dạng trượt.