ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
-------------------

NGUYỄN QUANG HUÂN

PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KHUNG DẦM FGM
CHỊU TẢI TRỌNG ĐỘNG ĐẤT
BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

Ngành: Cơ kỹ thuật
Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật
Mã số: 8520101.01

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ CƠ HỌC KỸ THUẬT

Hà Nội – Năm 2018


1
MỞ ĐẦU

1.

Tổng quan

Vật liệu có cơ tính biến đổi (Functionally Graded Material - FGM) được
các nhà khoa học Nhật Bản khởi tạo lần đầu tiên ở Sendai vào năm 1984 có khả
năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành công nghiệp khác nhau như hàng không
vũ trụ, đóng tàu, ô tô, quốc phòng, xây dựng, sản xuất đồ gia dụng... FGM có thể
xem như là một loại vật liệu composite mới, thường được tạo từ gốm và kim loại,


Định hướng và nội dung nghiên cứu

Từ các phân tích nêu trên ta thấy rằng, nghiên cứu ứng xử động lực học của
dầm 2D-FGM với các tính chất vật liệu tuân theo quy luật hàm số lũy thừa vẫn
chưa được xét đến. Liên quan đến kết cấu khung, dầm 2D-FGM chịu tải trọng
động đất, theo hiểu biết của tác giả, hiện chưa có nghiên cứu nào về bài toán này.
Vì lý do này, việc đánh giá ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu đến đáp ứng động
lực học của khung, dầm 2D-FGM chịu tải trọng động đất mà Luận văn này quan
tâm nghiên cứu có ý nghĩa khoa học và thực tiễn.
Trong Luận văn này, các khung dầm giả định được tạo thành từ vật liệu
FGM có cơ tính biến đổi theo hai chiều, tức là tính chất vật liệu của khung, dầm
FGM được biến đổi theo cả chiều cao và chiều dài dầm theo quy luật hàm lũy
thừa. Phương pháp phần tử hữu hạn dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất
được sử dụng kết hợp với phương pháp tích phân trực tiếp NewMark để tính toán
đáp ứng động lực học của kết cấu. Các đáp ứng động của kết cấu bao gồm sự phụ
thuộc của chuyển vị, vận tốc và gia tốc theo thời gian dưới tác động của trận động
đất El Centro được nghiên cứu. Ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu tới đáp ứng
động lực học của các kết cấu được tính toán và đánh giá.
Từ định hướng nghiên cứu nêu trên, luận văn sẽ tiến hành thực hiện các
nhiệm vụ cụ thể sau đây:
1) Xây dựng mô hình phần tử hữu hạn để nghiên cứu ứng xử động lực học của
khung, dầm FGM chịu tải trọng động đất.
2) Tìm hiểu và ứng dụng phương pháp tích phân trực tiếp trong phân tích kết
cấu chịu tải trọng động đất.
3) Phát triển chương trình tính toán dựa trên mô hình phần tử hữu hạn và thuật
toán nói trên và ứng dụng để tính toán đáp ứng động lực học cho một số
khung, dầm 2D-FGM cụ thể. Trên cơ sở kết quả số nhận được rút ra các nhận
xét về ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu tới đáp ứng động lực học của kết
cấu khung, dầm 2D-FGM.

x0 (t )  x0,max sin(t )

(1.2)

Trong phương pháp của mình, Mononobe chỉ xét tới phần dao động cưỡng bức
của hệ kết cấu và đã thu được hệ số khuyếch đại động có dạng sau [4]:

 

1
T2
1 2
T0

(1.3)

trong đó: T, T0 lần lượt là chu kỳ dao động của kết cấu và chu kỳ dao động của
nền đất (T0 có giá trị từ 0.8s ~ 1s).
Trên cơ sở hệ số động đất này, tác động động đất lớn nhất lên hệ kết cấu được xác
định theo biểu thức [4]:


4

F   Ms x0,max  

x0,max
g

Q   Ks Q

dạng không đều đặn hoặc có chu kỳ dài cần sử dụng các phương pháp động chính
xác hơn như phân tích dạng hoặc phân tích lịch sử phản ứng không đàn hồi.
1.2.1.

Phương pháp tính toán tĩnh phi tuyến
Trong phương pháp này, sự phân bố giả định lực quán tính ngang được dựa
trên giả thiết cho rằng phản ứng của công trình được kiểm soát bởi một dạng dao
động duy nhất và hình dạng của dao động này giữ nguyên không đổi trong suốt
thời gian phản ứng. Thông thường, dạng dao động cơ bản được chọn là dạng phản
ứng trội của hệ nhiều bậc tự do động, ảnh hưởng của các dạng dao động khác được
1.2.2.


5
xem là nhỏ và được bỏ qua. Phương pháp tính toán tĩnh phi tuyến với phân bố tải
trọng ngang như vậy được gọi là phương pháp tính toán đẩy dần quy ước và
thường được dùng để tính toán phản ứng của các công trình có chiều cao thấp và
trung bình. Do tính đơn giản và khả năng xác định với độ chính xác chấp nhận
được
Phương pháp phân tích dạng dao động và phổ phản ứng
Phản ứng của kết cấu có nhiều bậc tự do chịu tác động động đất có thể được
tính toán bằng cách phân tích hệ kết cấu thành nhiều hệ kết cấu có một bậc tự do
tương đương. Tính toán phản ứng mỗi hệ tương đương theo thời gian và sau đó
cộng đại số các phản ứng lại để được phản ứng của kết cấu ban đầu. Phương pháp
này được gọi là phương pháp phân tích dạng. Nếu việc tính toán chỉ nhằm xác
định các đại lượng phản ứng lớn nhất thì tác động động đất sẽ được cho dưới dạng
phổ phản ứng và kết quả tính toán theo phương pháp tích phân dạng dao động sẽ
là phản ứng lớn nhất của hệ kết cấu. Phương pháp tính toán này có tên gọi là
phương pháp phổ phản ứng. Phương pháp tích phân dạng dao động cũng như
phương pháp phổ phản ứng có những nhược điểm sau:(i) Phụ thuộc vào việc tách


Dầm 2D-FGM

Hình 2.1 minh họa dầm 2D-FGM với chiều dài L, chiều rộng b và chiều cao
h trong hệ tọa độ Đề-các (x, z). Hệ tọa độ (x, z) được chọn sao cho trục x trùng với
mặt giữa của dầm, trục z vuông góc với mặt giữa và hướng lên trên.

0
Hình 2.1. Mô hình dầm 2D-FGM
Dầm được giả định được tạo thành từ bốn vật liệu thành phần, cụ thể là gốm
1, gốm 2, kim loại 1 và kim loại 2. Tỉ lệ thể tích của các vật liệu thành phần phân
bố theo quy luật hàm lũy thừa như sau:
nz
nx
  x nx 
 z 1  x 
1

,
V


    c2 
  
 h 2  L
  L  
  z 1 nz    x nx 
  z 1 nz   x nx
Vm1  1      1     , Vm 2  1       
  h 2     L  

 h 2     L   
 h 2    L 


2.2.

Các phương trình cơ bản

Xét một phần tử dầm có chiều dài l, trong hệ tọa độ (x, z). Trục x được chọn
trùng mặt giữa của dầm. Dựa trên lý thuyết dầm Timoshenko, chuyển vị dọc trục
và chuyển vị ngang của một điểm bất kì trên dầm được cho bởi:

u ( x, z, t )  u0 ( x, t )  z  ( x, t)
w( x,z, t )  w0 ( x, t )

(2.5)

trong đó t là biến thời gian, u0 ( x, t ), w0 ( x, t ) tương ứng là chuyển vị dọc trục và
chuyển vị theo phương ngang của một điểm bất kì trên mặt giữa của dầm;  ( x, z )
là góc quay của thiết diện ngang của dầm. Biến dạng dọc trục (  xx ) và biến dạng
trượt (  xz ) thu được từ phương trình (2.5) có dạng:

u0 ( x, t )
w ( x, t )
 ( x, t )
z
,  xz  0
  ( x, t )
x
x

20

(2.9)

Trong đó Aij là các độ cứng; Iij là các mô-men khối lượng và chúng được định
nghĩa trong phương trình theo công thức:

( A11 , A12 , A22 )   E ( x, z )(1, z , z 2 )dA ,
A

A33   G ( x, z )dA
A

(2.10)


8
và

( I11 , I12 , I 22 )    ( x, z )(1, z, z 2 )dA

(2.11)

A

Thay biểu thức các tính chất hiệu dụng ở phương trình (2.3) vào phương trình
(2.10), ta có thể viết lại các độ cứng Aij theo dạng
n

x


c1m1
12

c 2m 2
12

n

c1m1
22

c1m1
22

c 2m 2
22

x
A33  A33c1m1  ( A33c1m1  A33c 2 m 2 )  
L

(2.12)

nx

c1m1
trong đó A11c1m1 , A12c1m1 , A22
và A33c1m1 là các độ cứng sinh ra bởi cặp vật liệu gốm 1
c 2m2


nx

x
) 
L

(2.14)
nx

trong đó I ijc1m1 và I ijc 2 m 2 tương ứng là các mô-men khối lượng sinh ra bởi cặp vật
liệu gốm 1, kim loại 1 và gốm 2, kim loại 2. Các biểu thức hiển của I ijc1m1 và I ijc 2 m 2
cũng có dạng tương tự như (2.13).
2.3.

Chuyển vị nút và nội suy

Phần tử dầm 2 nút, mỗi nút gồm 3 bậc tự do với chiều dài l. Véc-tơ chuyển
vị nút cho một phần tử khởi tạo (i, j) bao gồm các thành phần


9

d  ui

wi i

uj  j

wj 

N   N 1 N 2 N 3 N 4 N 5 N 6 
tương ứng là ma trận các hàm nội suy (hàm dạng) cho các chuyển vị dọc trục
u0 ( x, t ) , chuyển vị theo phương ngang w0 ( x, t ) và góc xoay  ( x, t ) . Các hàm nội
suy tuyến tính được dùng để nội suy chuyển vị dọc trục u0 ( x, t ) và hàm nội suy
Kosmatka được sử dụng cho chuyển vị theo phương ngang w0 ( x, t ) và  ( x, t ) .
2.4.

Ma trận độ cứng

Sử dụng phép nội suy trên ta có thể viết được biểu thức cho năng lượng
biến dạng cho một phần tử dầm Ue, dưới dạng sau đây:

Ue 

l

1
 A11u,2x  2 A12u, x, x  A22,2x   A33 ( w, x   )2 dx
2 0 
l

1
 dT  [NTu,x A11Nu,x  2NTu,x A12 N,x  NT,x A22 N,x
2 0
 (N w,x  N )T  A33 (N w,x  N )]dxd

(2.21)

1
 dT (k uu +k u  k  k  )d


0
0
0
0 
0
0
0
0 
1
0
0
0
(2.25)

0 cos  sin  0 
0  sin  cos  0 

0
0
0
1 
Ma trận độ cứng tổng thể được xác định thông qua các ma trận độ cứng
phần tử như sau:
K

nELE

 [k



(2.27)

1
1
 dT (muu  m ww  mu  m )d  dT md
2
2
Khi phần tử nằm nghiêng so với trục ngang của hệ tọa độ tổng quát một góc
α, ma trận khối lượng phần tử có dạng
[m g ]  [S]T [m][S]

(2.30)

trong đó [m ] là ma trận khối lượng phần tử trong hệ tọa độ tổng quát, [S] là ma
trận quay được định nghĩa trong phương trình (2.25).
Từ phương trình (2.30), ma trận khối lượng tổng thể được xác định thông
qua việc nối ghép:
g


11
M

nELE

 [m

g


12
2
,
1  2
1  2

(2.34)

Một tỉ lệ cản   0.02 được giả định cho kết cấu 2D-FGM. Vế phải của (2.32)
xác định ngoại lực do chuyển động nền, trong đó D g là véc-tơ chuyển động nền
và I là véc-tơ hệ số ảnh hưởng, có giá trị 1 cho các phần tử tương ứng với bậc tự
do theo hướng chuyển động nền và có giá trị 0 cho các bậc tự do khác. Một bảng
số liệu của gia tốc nền trong 20 giây đầu tiên của trận động đất El Centro xảy ra
tại miền Nam California năm 1940 [6] được minh họa trong Hình 2.3.
Phương pháp tích phân trực tiếp Newmark được sử dụng rộng rãi trong việc
tính toán đáp ứng động của kết cấu. Trong đó xấp xỉ sai phân hữu hạn được dùng
để thay thế cho các đạo hàm riêng ở (2.35), tức thay thế D và D bằng sai phân
của chuyển vị nút D tại các thời điểm khác nhau. Ý tưởng trung tâm của phương
pháp này là phân chia tổng thời gian ΔT thành các bước thời gian nhỏ Δt. Các đáp
ứng động học của kết cấu được tính theo thời gian Δt, 2Δt, 3Δt, ... nΔt ... Các
phương trình của chuyển động tại một thời điểm mới (n + 1)Δt là:
MDn 1  CD n 1 KDn 1  MID g ( n 1)

(2.35)


12
Đối với phân tích tuyến tính, ma trận độ cứng K là không thay đổi từ thời
gian dừng kế tiếp. Tuy nhiên, để phân tích phi tuyến, K là một hàm của chuyển vị
D.

 1

1
Dn 1 
(D  Dn  tDn )  
 1  Dn
t 2 n1
2



Thay phương trình (2.37) vào phương trình (2.35), thu được:

 1
 1
 
1
K ef Dn 1  MIDg( n 1)  M 
Dn 
Dn  
 1 Dn 
2
t
 t
 2
 
 


 

2
1
1
 Phương pháp gia tốc tuyến tính:   ,  
6
2
1
1
 Phương pháp gia tốc trung bình:   ,  
4
2


13

1
1
 Phương pháp Fox-Goodwin:   ,  
2
2
và trong Luận văn này, tác giả lựa chọn sử dụng phương pháp gia tốc trung bình
vì phương pháp này ổn định không điều kiện.
Phương trình (2.39) cùng với phương trình (2.37) hoàn toàn xác định chuyển vị
nút, vận tốc và gia tốc tại thời gian mới (n  1)t . Lưu ý rằng các ma trận độ cứng
hiệu dụng không thể là một ma trận đường chéo bởi vì nó có chứa các ma trận độ
cứng K.
0.4

Ground acceleration (g)


20

Hình 2.3. Gia tốc nền ghi nhận được của trận động đất El Centro


14
Chương 3
TÍNH TOÁN SỐ VÀ THẢO LUẬN
Một chương trình tính dựa trên phần tử được mô tả và phương pháp gia tốc
trung bình được phát triển và sử dụng để phân tích một số kết cấu khung, dầm 2DFGM như trong hình 3.1. Số liệu của các vật liệu thành phần sử dụng trong Luận
văn này được cho trong bảng 3.1. Các dầm và khung xem xét trong Luận văn được
giả thiết chịu ảnh hưởng của gia tốc nền của trận động đất El Centro như trong
hình 2.3.
3.1.

Kiểm tra chương trình tính toán

Để đảm bảo tính chính xác của các phần tử được phát triển cũng như chương
trình tính toán số được xây dựng dựa trên phương pháp tích phân số Newmark,
tác giả tiến hành kiểm chứng chương trình tính. Bằng cách cho tham số vật liệu nx
= 0 và nz = n, phần tử dầm 2D-FGM quay trở về phần tử FGM thông thường.

Hình 3.1. Kết cấu khung, dầm 2D-FGM được nghiên cứu
Bảng 3.1. Tính chất vật liệu thành phần cho khung, dầm 2D-FGM
Vai trò

E (GPa)

 (kg/m3 )


0.3

Zirconia

Gốm 2

200

5700

0.3

Vật liệu

Đầu tiên, một cột FGM, ngàm chặt một đầu và một đầu tự do như thể hiện
trong hình 3.1(a) được tác giả phân tích. Chiều cao của cột là 20 m, kích thước


15
của mặt cắt thiết diện ngang của nó là b = h = 0.2 m. Hai mươi phần tử được sử
dụng để rời rạc hóa cột FGM.
Bảng 3.2. So sánh tần số và phản ứng của cột thép
Nguồn

f
(Hz)

max(uL)
(m)


max(aL)
(m/s2)

min(aL)
(m/s2)

-1.5354

12.704

-13.095

-1.5498

13.9556

-14.400

0.5
0.4
0.3
0.2
u (m)

0.1
0

-0.1
-0.2
-0.3

Hình 3.2. Chuyển vị ngang tương đối theo thời gian tại đỉnh cột
Trong bảng 3.2, tần số cơ bản, các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của chuyển
vị tương đối, vận tốc và gia tốc tuyệt đối ở điểm trên cùng của cột thép được so
sánh với các kết quả thu được bằng cách sử dụng phần mềm ANSYS 15 để mô
phỏng. Như đã thấy từ bảng 3.2, các kết quả số thu được trong việc tính toán phù
hợp so với việc mô phỏng bằng phần mềm ANSYS.
Hình 3.2 và hình 3.3 minh họa chuyển vị tương đối và vận tốc ở đầu cột
FGM cho các giá trị khác nhau của các tham số vật liệu n. Như đã thấy rõ từ các
kết quả số thu được, tham số vật liệu n cao sẽ ảnh hưởng đến phản ứng địa chấn
của cột. Cả chuyển vị theo phương ngang và vận tốc tại đỉnh cột với tham số n
thấp hơn là thấp hơn đáng kể so với cột có tham số vật n cao hơn. Kết quả số thu
được cũng chỉ ra rằng, cột FGM có đáp ứng động lực học tốt hơn nhiều so với cột
được làm từ vật liệu thép thuần nhất.


16
2
1.5
1

v (m/s)

0.5
0

-0.5
-1
n = 0.5
n=5
fure steel


Cột 2D-FGM

Cột 2D-FGM được ngàm chặt một đầu, một đầu tự do trong hình 3.1(a).
Cột có kích thước thiết diện ngang b = h = 0.2 m và chiều dài L=10 m. Mười phần
tử đã được sử dụng để rời rạc hóa cột 2D-FGM.
0.1

u (m)

0.05

0

-0.05
nx = 0.2
nx = 3

(nz = 0.5)
-0.1
0

2

4

6

8



-0.5
-1

nx = 0.2
nx = 3

(nz = 0.5)
-1.5
0

2

4

6

8

10
Time (s)

12

14

16

18


Time (s)

12

14

16

18

20

Hình 3.11. Chuyển vị ngang theo thời gian tại đỉnh cột (nx=0.5).
1.5
1

v (m/s)

0.5
0

-0.5
-1

nz = 0.2
nz = 3

(nx = 0.5)
-1.5
0

Điều đó dẫn đến các độ cứng được định nghĩa trong (2.10) giảm đi. Do vậy các
kết quả đáp ứng động lực học của cột sẽ giảm khi tham số nz tăng lên. Lập luận
tương tự được sử dụng để giải thích ảnh hưởng của tham số vật liệu nx đối với các
giá trị đáp ứng động lực học khi tham số nz cố định.
3.3.

Khung giản đơn

Một khung giản đơn 2D-FGM trong hình 3.1(b) được phân tích. Khung
được cấu tạo từ ba phần tử dầm 2D-FGM với chiều dài 5 m, kích thước của mặt
cắt ngang là b = h = 0.25 m.
Ảnh hưởng của các tham số vật liệu đối với các giá trị đáp ứng động lực học của
khung giản đơn được minh họa trong các hình 3.14, 3.15, 3.17 và 3.18. Với tham
số vật liệu nz cố định, hình 3.14 và 3.15 cho thấy sự giảm của chuyển vị ngang,
vận tốc tại đỉnh A của khung khi giá trị tham số vật liệu nx tăng. Mặt khác, hình
3.17, 3.18 cho thấy sự tăng của chuyển vị ngang tương đối, vận tốc và gia tốc khi
tham số nx cho trước và nz tăng. Sự giảmcủa các giá trị đáp ứng động lực học khi
tăng nx có thể được giải thích bằng sự gia tăng hàm lượng gốm 1, như có thể nhìn
thấy ở công thức (2.1). Do mô-đun đàn hồi của vật liệu gốm 1 như trong bảng 1,
cao hơn nhiều so với mô-đun đàn hồi của vật liệu gốm 2. Kết quả là độ cứng được
định nghĩa theo phương trình (2.10) cao hơn trong trường hợp khung kết hợp với
tham số vật liệu nx cao. Do vậy đáp ứng động lực học thấp hơn là kết quả của
khung có tham số vật liệu nx cao hơn. Lập luận tương tự có thể được sử dụng để
giải thích ảnh hưởng của tham số nz đối với các đáp ứng động lực học của khung
khi cố định tham số nx.
-3

4

x 10


14

16

18

20

Hình 3.14. Chuyển vị ngang tương đối tại đỉnh A của khung (nz=0.5)


19
0.2
0.15
0.1

v (m/s)

0.05
0

-0.05
-0.1
-0.15

nx = 0.2
nx = 3

(nz = 0.5)

x 10

3
2

u (m)

1
0
-1
-2
-3
-4
0

nz = 0.2
nz = 3

(nx = 0.5)
2

4

6

8

10
Time (s)


2

4

6

8

10
Time (s)

12

14

16

18

20

Hình 3.18. Vận tốc theo thời gian tại đỉnh A của khung (nx=0.5)
3.4.

Khung nhiều tầng

Khung 2D-FGM nhiều tầng thể hiện trong hình 3.1(c) được xem xét. Phần
khung được hình thành từ mười hai dầm có cùng chiều dài và kích thước mặt cắt
ngang, L = 5 m, b = h = 0.25 m.


Time (s)

12

14

16

18

20

Hình 3.21. Vận tốc theo thời gian tại đỉnh B của khung (nz=0.5)
10

a (m/s2)

5

0

-5
nx = 0.2
nx = 3

(nz = 0.5)
-10
0

2

-0.02

nz = 0.2
nz = 3

(nx = 0.5)
-0.03
0

2

4

6

8

10
Time (s)

12

14

16

18

20


(nx = 0.5)

-0.4
0

2

4

6

8

10
Time (s)

12

14

16

18

20

Hình 3.24. Vận tốc theo thời gian tại đỉnh B của khung (nx=0.5)
3.5.

Khung bất đối xứng

6

8

10
Time (s)

12

14

16

18

20

Hình 3.26. Chuyển vị ngang tương đối tại đỉnh C của khung (nz=0.5)


22
0.01

v (m/s)

0.005

0

-0.005


a (m/s2)

0.5

0

-0.5
nx = 0.2
nx = 3

(nz = 0.5)
-1
0

2

4

6

8

10
Time (s)

12

14



10
Time (s)

12

14

16

18

20

Hình 3.30. Vận tốc theo thời gian tại đỉnh C của khung (nx=0.5)
Hình 3.26 và 3.27 thể hiện chuyển vị theo phương ngang và vận tốc của khung
bất đối xứng. Có thể thấy rằng, trong trường hợp với tham số nz cho trước, sự giảm
của các đáp ứng động lực học tại đỉnh C của khung bất đối xứng khi tham số nx


23
tăng lên. Ngược lại, đối với trường hợp tham số nx cho trước, dễ nhận thấy sự tăng
của các đáp ứng động lực học tại đỉnh C của khung khi tham số nz tăng lên. Đáng
ngạc nhiên, các đáp ứng động lực học của khung bất đối xứng là tốt hơn nhiều so
với khung nhiều tầng, trong khi nó chỉ được hình thành từ hai cột. Biên độ của sự
dịch chuyển, vận tốc và gia tốc ở phía trên, đỉnh C của khung bất đối xứng là thấp
hơn nhiều so với khung 2D-FGM nhiều tầng. Các số liệu tính toán một lần nữa
cho thấy rằng đáp ứng động lực học của khung 2D-FGM không chỉ phụ thuộc
vào các tham số vật liệu nz, nx mà còn phụ thuộc nhiều vào cấu hình thực của
khung.


16

18

20

Hình 3.31. Gia tốc theo thời gian tại đỉnh C của khung (nx=0.5)


24

KẾT LUẬN
Luận văn trình bày phương pháp phần tử hữu hạn trong phân tích địa chấn
của kết cấu khung, dầm 2D-FGM. Tính chất của vật liệu được giả định thay đổi
theo cả chiều cao và chiều dài của dầm, theo quy luật hàm lũy thừa. Phần tử dầm
2 nút, mỗi nút 3 bậc tự do, sử dụng các hàm dạng Kosmatka để nội suy chuyển vị
theo phương ngang và góc xoay của thiết diện ngang dùng trong phân tích được
xây dựng trong Luận văn. Ma trận độ cứng và ma trận khối lượng được thiết lập
từ các biểu thức năng lượng biến dạng đàn hồi và động năng của phần tử. Đáp ứng
động lực học của kết cấu dưới tác động của trận động đất El Centro được tính toán
với sự trợ giúp của phương pháp tích phân trực tiếp Newmark. Khung 2D-FGM
với các dạng hình học khác nhau đã được phân tích và ảnh hưởng của tham số vật
liệu đối với ứng xử động lực học của khung đã được tính toán và thảo luận. Kết
quả phân tích số nhận được trong Luận văn có thể tóm lược dưới đây:
1) Phần tử dầm 2D-FGM và thuật toán số xây dựng trong Luận văn đủ tin
cậy và hiệu quả trong việc tính toán đáp ứng động lực học của khung, dầm
2D-FGM chịu tải trọng động đất.
2) Hai tham số vật liệu xác định sự phân bố của vật liệu theo chiều cao và
chiều dài của dầm có ảnh hưởng khác nhau đến đáp ứng động lực học của