i
f
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG

2011
ÁP DỤNG LÝ THUYẾT
PHÂN TÍCH KHOẢNG
XÁC ĐỊNH PHẢN ỨNG ĐỘNG
CỦA HỆ KẾT CẤU
CÓ MỘT BẬC TỰ DO

KS. PHÙNG QUYẾT THẮNG KHOA XÂY DỰNG DÂN DỤNG & CÔNG NGHIỆP

B
B
Ộ
ỘG
G

T
T
Ạ
Ạ
O
OT
T
R
R
Ư
Ư
Ờ
Ờ
N
N
G
GĐ
Đ
Ạ
Ạ
I
I
K
K
S
S
.
.P
P
H
H
Ù
Ù
N
N
G
GQ
Q
U
U
Y
Y
Ế

N
G
G

L
L
Ý
ÝT
T
H
H
U
U
Y
Y
Ế
Ế
T
TP
P
H


X
X
Á
Á
C
CĐ
Đ
Ị
Ị
N
N
H
HP
P
H
H
Ả
Ả
N
NỨ

ỆK
K
Ế
Ế
T
TC
C
Ấ
Ấ
U
UC
C
Ó
ÓM
M
Ộ
Ộ
T

L
U
U
Ậ
Ậ
N
NV
V
Ă
Ă
N
NT
T
H
H
Ạ
Ạ
C
CS
S
Ỹ

y
ê
ê
n
nn
n
g
g
à
à
n
n
h
h
:
:X
X
â
â
y
yd


D
D
â
â
n
nd
d
ụ
ụ
n
n
g
gv
v
à
àC
C
ô
ô
n

:6
6
0
0
.
.
5
5
8
8
.
.
2
2
0
0

N
N
G
G
Ư
Ư
Ờ

O
A
AH
H
Ọ
Ọ
C
CT
T
S
S
.
.N
N
G
G
U
U
Y
Y
Ễ
H
H
À
ÀN
N
Ộ
Ộ
I
I1
1
0
0
/
/
2
2
0
0
1

lẫn khiến chúng tôi mất khá nhiều công sức và thời gian trong suốt thời gian qua.
Nhìn lại cả quá trình thực hiện đề tài, nhiều thời điểm tác giả cảm thấy khá bế
tắc bởi nội dung nghiên cứu tương đối trừu tượng, không biết đâu là con đường
cuối cùng để hướng tới. Dù kết quả trong luận văn chưa đạt được kỳ vọng như ban
đầu (tất cả nghiệm của mô hình Taylor bao ngoài nghiệm của Monte-Carlo) nhưng
đây là sự cố gắng nỗ lực không biết mệt mỏi của chúng tôi trong suốt thời gian qua.
Qua luận văn, chúng tôi mong muốn giới thiệu lý thuyết phân tích khoảng ứng
dụng phương pháp mô hình Taylor đến các bạn có quan tâm dù biết rằng kiến thức
của mình còn hạn chế. Luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót, tác giả mong nhận
được ý kiến đóng góp của các bạn gửi vào địa chỉ email sau:
[email protected] hoặc [email protected]

Lời cuối, tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất của mình
tới gia đình, thầy Thành và đặc biệt là anh Toan, người tác giả coi như anh trai của
mình. Cảm ơn anh trai vì tất cả những gì đã làm cho em!
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành của mình tới các thầy cô khoa
sau đại học. Chúc các thầy, các cô luôn giữ vững niềm đam mê và nhiệt huyết để
tiếp thêm sức mạnh cho thế hệ trẻ ngày càng trưởng thành hơn trong nghề nghiệp và
chuyên môn.
Cuối cùng, tác giả xin dành lời cảm ơn đến tất cả các bạn lớp cao học khóa 2-
2009, những người bạn thân hồi đại học, cấp 2, cấp 3 cùng những bạn bè của mình
ở công ty TNHH Tư vấn thiết kế Cimas và diễn đàn Ketcau.com đã luôn ở bên,
động viên, ủng hộ tác giả trong suốt chặng đường cao học đã qua, một chặng đường
gian nan và đầy thử thách.

Hà Nội, mùa thu 2011 Phùng Quyết Thắng


ii
II.3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG ĐỐI VỚI CÁC BÀI
TOÁN ĐIỀU KIỆN ĐẦU (ODEs IVP) ................................................ 29
II.3.1 Dạng phương trình ....................................................................... 29
II.3.2 Phương pháp giải chung............................................................... 29
II.3.3 Thuật toán VSPODE giải ODEs IVP ........................................... 31
CHƯƠNG III: BÀI TOÁN GIẢI QUYẾT .................................................... 41
III.1 QUY TRÌNH GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP MÔ HÌNH
TAYLOR ............................................................................................. 41
III.1.1 Quy đổi phương trình động lực học về ODEs IVP ...................... 41
III.1.2 Thuật toán VSPODE giải ODEs IVP .......................................... 41
III.2 QUY TRÌNH GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP MONTE-CARLO ........ 45
III.2.1 Nghiệm giải tích của phương trình vi phân ................................. 45
III.2.2 Các bước thực hiện ..................................................................... 45
III.3. PHẦN MỀM THỰC HIỆN TÍNH TOÁN .......................................... 46
III.4 THỰC HIỆN SỐ ................................................................................. 48
III.4.1 Kết quả tính toán của chương trình tại ω = 0.8ω’
D
...................... 50
III.3.2 Kết quả tính toán của chương trình tại ω = 0.5ω’
D
...................... 71
III.3.3 Kết quả tính toán của chương trình tại ω = 0.3ω’
D
...................... 75
III.3.4 Đánh giá kết quả của hai phương pháp theo tỷ số tần số ω/ω
D
.... 78
III.3.4 Kết luận ...................................................................................... 79
CHƯƠNG IV: KẾT LUẬN .......................................................................... 80


iv
DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 1: Hệ kết cấu dao động một bậc tự do có cản nhớt .......................................... 4
Hình 2: Hình ảnh minh họa phương pháp Monte-Carlo ........................................... 9
Hình 3: Biểu đồ tọa độ (x,y) với R=50 (lần thử) .................................................... 10
Hình 4: Mối quan hệ giữa phương pháp Mô hình Taylor và Monte-Carlo .............. 12
Hình 5: Sơ đồ thực hiện và triển khai luận văn ...................................................... 13
Hình 6: Biểu diễn số học khoảng X hai chiều ........................................................ 14
Hình 7: Độ rộng, giá trị tuyệt đối và điểm giữa của số khoảng X ........................... 14
Hình 8: Chương trình MATLAB tính toán VD9 .................................................... 22
Hình 9: Ảnh các miền bao của hàm f(x,y) .............................................................. 24
Hình 10: Biểu đồ tọa độ ( +,−) bằng phương pháp Mote-Carlo .............. 24
Hình 11: Hiệu ứng bao phủ với dao động điều hòa ................................................ 25
Hình 12: Giảm hiệu ứng bao bằng cách chuyển hệ trục tọa độ ............................... 26
Hình 13: Hình ảnh nghiệm của bài toán ODEs - IVP ............................................. 30
Hình 14: Hình ảnh nghiệm sơ bộ của bài toán ODEs IVP ...................................... 34
Hình 15: Hình ảnh minh họa giai đoạn 2 của thuật toán ......................................... 37
Hình 16: Hình ảnh phần mềm tính toán ................................................................. 47
Hình 17: Thân chương trình chính của phần mềm tính toán ................................... 47
Hình 18: Thân chương trình con “Giaidoan01” ..................................................... 47
Hình 19: Thân chương trình con “Giaidoan02” ..................................................... 48
Hình 20: Chương trình MATLAB tính toán bằng phương pháp Monte-Carlo ........ 48
Hình 21: Các chỉ tiêu đánh giá ............................................................................... 64
Hình 22: Các trường hợp biểu đồ bao của hai phương pháp ................................... 66
v
DANH MỤC BẢNG BIỂU

pháp Monte-Carlo ở tần số ω/ω
D
=0.8 ..................................................... 62
Biểu đồ 3: Chuyển vị và độ rộng tuyệt đối của mô hình Taylor và phương
pháp Monte-Carlo ở tần số ω/ω
D
=0.5 ..................................................... 73
Biểu đồ 4: Chuyển vị và độ rộng quy đổi của mô hình Taylor và phương pháp
Monte-Carlo ở tần số ω/ω
D
=0.5 .............................................................. 74
Biểu đồ 5: Chuyển vị và độ rộng tuyệt đối của mô hình Taylor và phương
pháp Monte-Carlo ở tần số ω/ω
D
=0.3 ..................................................... 76
Biểu đồ 6: Chuyển vị và độ rộng quy đổi của mô hình Taylor và phương pháp
Monte-Carlo ở tần số ω/ω
D
=0.3 .............................................................. 77
Biểu đồ 7: Biểu đồ so sánh tỷ lệ độ rộng của mô hình Taylor so với Monte-
Carlo ...................................................................................................... 78
Biểu đồ 8: Biểu đồ so sánh tỷ lệ độ rộng của mô hình Taylor so với Monte-
Carlo ...................................................................................................... 78

DANH MỤC VÍ DỤ
VD1: Bài toán tĩnh học ........................................................................................... 4
VD2: Bài toán vi phân đại số ................................................................................... 6
VD 3: Ví dụ minh họa sự cần thiết của đề tài ........................................................... 7
VD 4: Giải lại VD 3 theo phương pháp Monte-Carlo. .............................................. 9
VD5: Giải lại VD 3 theo phương pháp mô hình Taylor ......................................... 10

diễn tốt nhất dưới dạng khoảng giá trị của nó với giá trị bị chặn dưới là  và giá trị
chặn trên là .

 = [ , ]
(1.1)
Phương pháp phân tích khoảng được đề cập ở đây không hề gán một cấu trúc
xác suất nào cả; được dùng để đánh giá chính xác nhất có thể khoảng giá trị của
phản ứng hệ thống khi biết khoảng giá trị của các tham số đầu vào.
Khái niệm khoảng thực chất không phải là mới. Khoảng số học được biết đến
từ lâu với số  của nhà bác học Archimedes khi ông thực hiện nội tiếp và ngoại tiếp
đường tròn một đa giác 96 cạnh để thu được kết quả xấp xỉ của số  [3]

2

3+
10
71
< < 3+
1
7

(1.2)
Mãi sau này (1951), người ta mới tìm thấy một ấn phẩm xuất bản ở Nga [3] về
số học khoảng được trình bày khá chi tiết và rõ ràng về quy tắc tính cũng như xem
nó như một công cụ của phương pháp số. Và nó chỉ thực sự trở thành một phương
pháp và biết đến rộng rãi khi Moore bảo vệ luận án tiến sỹ năm 1966 [3].
Đến những năm 1990, phương pháp phân tích khoảng đã được ứng dụng vào
các hệ kỹ thuật để biểu diễn các tham số không chắc chắn một cách đơn giản, gọn
nhẹ và cho hiệu quả tính toán cao khi các tham số đó chỉ chứa thông tin về miền giá
trị. Lý thuyết phân tích khoảng có thể hỗ trợ cho các chứng minh, các phỏng đoán

tinh trong hệ mặt trời năm 2001 [7]. Ngoài ra có thể kể đến một vài ứng dụng khác
như: ổn định của hạt gia tốc của Berz (1998), tính toán miền bao giá trị riêng của
ma trận của Brown (2003), độ tin cậy của mặt tương giao (2004),...
Ở Việt Nam, lý thuyết phân tích khoảng bước đầu được nghiên cứu, ứng dụng
giải các bài toán liên quan đến kết cấu như sử dụng đại số khoảng để ứng dụng vào
phân tích kết cấu thanh theo phương pháp phần tử hữu hạn khoảng (2009) của PGS.
TS. Trần Văn Liên [1], [2]. Mô hình Taylor chưa được ứng dụng vào trong nghiên
cứu này nên kết quả của nghiên cứu vẫn còn mắc phải các hạn chế về vấn đề sự
phụ thuộc. Nhìn chung, các đề tài liên quan đến lý thuyết phân tích khoảng hiện nay
ở Việt Nam còn khá ít đặc biệt là phương pháp mô hình Taylor áp dụng giải các bài
toán liên quan đến phương trình vi phân điều kiện đầu.
Với mục đích tìm hiểu một lĩnh vực hiện còn khá mới ở Việt Nam, tác giả
mạnh dạn chọn đề tài “Áp dụng lý thuyết phân tích khoảng xác định phản ứng động
của hệ kết cấu có một bậc tự do” làm đề tài luận văn thạc sỹ của mình với sự hướng
dẫn của TS. Nguyễn Xuân Thành. Thuật toán đưa ra trong luận văn cho kết quả tốt
so với kết quả thu được từ phương pháp Monte-Carlo và có thể ứng dụng vào thực
tế tìm khoảng phản ứng động của hệ kết cấu có một bậc tự do.
I.2 ĐẶT VẤN ĐỀ
I.2.1 Bài toán tĩnh học
Phương trình cân bằng của bài toán tĩnh học có dạng đại số nên việc tìm
nghiệm là không mấy khó khăn. Đây là dạng phương trình rất quen thuộc khi giải
một bài toán cơ học.

. =
(1.3)
trong đó:
 : chuyển vị của hệ kết cấu.
 : độ cứng của hệ kết cấu.
 : ngoại lực tác động lên hệ kết cấu.
Khi đại lượng , là các giá trị xác định thì nghiệm xác định dễ dàng. Nhưng

3.05
49.5
 =[0.0584,0.0617]
I.2.2 Bài toán động lực học
Xét bài toán dao động của hệ kết cấu một bậc tự do có phương trình vi phân
cấp hai tuyến tính tham số hằng:

̈
(

)
+ ̇
(

)
+ 
(

)
=
(

)

(1.4)
Đây là hệ kết cấu phổ biến và đơn giản nhất trong nghiên cứu động lực học
công trình nhưng rõ ràng việc tìm nghiệm của nó phức tạp hơn so với hệ (1.3) bởi
yếu tố vi phân.
Hiện nay, lý thuyết động lực học đã cung cấp hầu hết lời giải cho việc tìm
nghiệm của hệ (1.4) khi ,,, là các đại lượng xác định [9].




1−





1−







+2






(1.6)

5

 =



+

−


(1.9)

 =

2




(1.10)



= 


1−

; 

=





: tần số riêng có cản của hệ.
  : tỷ lệ cản.
 

: chuyển vị ban đầu của dao động tại thời điểm  = 0
 

: vận tốc ban đầu của dao động tại thời điểm  = 0
 

: chu kỳ dao động của hệ không cản.
 

: chu kỳ dao động của hệ có cản.
  : tần số dao động cưỡng bức (rad/s)
 

: độ lớn của lực kích thích.
Trong biểu thức (1.5), số hạng đầu là nghiệm tổng quát của phương trình
thuần nhất (với vế phải của phương trình (1.4) = 0); số hạng thứ hai là nghiệm
riêng của phương trình không thuần nhất (với vế phải của phương trình (1.4) ≠ 0)
và còn được gọi là nghiệm bình ổn.
Đạo hàm chuyển vị theo thời gian biểu thức (1.5), ta có vận tốc của hệ kết cấu

6
có dạng như sau:

(


VD2: Bài toán vi phân bậc hai
Tìm chuyển vị () của một hệ kết cấu biết:
 Điều kiện ban đầu: 
(
0
)
= 

= 0.01;
(
0
)
= 

= 0.01
 Tham số đặc trưng (,,) =(50,1.5,3)
 Lực () có dạng tuần hoàn: 
(

)
= 2sin ớ  = 1.0
Giải
Thay các số liệu vào phương trình (1.4) ta có:

3̈()+ 1.5̇()+ 50() = 2.
(1.14)
Tính hệ số  theo công thức (1.10) và (1.11) được:  = 0.0612 < 1.
Nghiệm của phương trình (1.14) được tính theo công thức (1.5). Tính các hệ số
theo biểu thức từ (1.6) đến (1.12), ta có:



+2×0.0612×
1
4.0825


= 0.0425
 =
2
50
×
−2×0.0612×
1
4.0825

1−
1
4.0825




+2×0.0612×
1
4.0825


=−0.0014
 = 0.01−(−0.0014) = 0.0114
 =

−0.0073sin (4.0748
)

Nghiệm riêng của (1.14) có dạng:


(

)
=+ = 0.0425sint−0.0014t
Nghiệm tổng quát của (1.14) theo biểu thức (1.5) tại  = 1() là:

(
1
)
=

(
1
)
+

(
1
)
= 0.074+0.0029 =0.0102 (cm)

Qua ví dụ trên ta thấy rằng, việc tìm lời giải của bài toán động lực học với các
thông số xác định không đơn giản. Hơn nữa, các đại lượng ,, trong thực tế
thường không phải là những số xác định khi một trong các yếu tố kích thước hình

=
[
2,3
]
[
2,3
]
−1
=
[
2,3
]
[
1,2
]
= [1,3]
Cách 2: Phân tích biểu thức (1.15) thành dạng tương đương rồi thay trực tiếp giá trị
của khoảng :

(

)
=

−1
= 1+
1
−1
= 1+
1

1
(
−1
)

< 0
nên () là hàm nghịch biến trong khoảng [2,3]. Khi đó, 

=
(
3
)
= 1.5;


=
(
2
)
= 2. Vì vậy, miền giá trị của f(x) là 1.5≤()≤2. Đối chiếu với
hai cách đã làm thì cách 2 là lời giải chính xác của bài toán!
Bản chất của “hiện tượng” trên là do lý thuyết phân tích khoảng không có khả
năng nhận diện được các biến có sự lặp lại trong cùng một biểu thức nên khi thay
giá trị khoảng vào biểu thức chưa “xử lý” thì miền giá trị bị mở rộng so với kết quả
thực tế. Đây là một trong những đặc trưng rất riêng của lý thuyết phân tích khoảng
được đặt tên là vấn đề phụ thuộc cùng với ảnh hưởng của hiệu ứng bao phủ.
Vấn đề phụ thuộc là khả năng không nhận diện được sự có mặt lặp lại của các
biến trong biểu thức, dẫn đến kết quả nhận được không còn hợp lý.
Hiệu ứng bao phủ chỉ xảy ra khi xét bài toán từ hai biến trở lên. Khi đó các giá
trị của bài toán không nằm toàn bộ trong hình hộp trực giao được bao mà chỉ “tập


Hình 2: Hình ảnh minh họa phương pháp Monte-Carlo
(chấm tròn thể hiện phần tử kết quả Monte-Carlo)
VD 4: Giải lại VD 3 theo phương pháp Monte-Carlo.
Giải
Chọn ngẫu nhiên các giá trị 

trong khoảng  = [2,3] với phép thử  = 50:


= {2,2.1,2.3,2.5,…,3}.
Thay lần lượt 

vào biểu thức (1.15), ta thu được kết quả tương ứng. Một vài
ví dụ của kết quả tính toán như sau:

(
2.0
)
=
2
2−1
=
2
1
= 2.0 
(
2.5
)
=

)
=
2.3
2.3−1
=
2.3
1.3
= 1.769 
(
3.0
)
=
3
3−1
=
3
2
= 1.50 10

Hình 3: Biểu đồ tọa độ (x,y) với R=50 (lần thử)
Từ đồ thị Hình 3, ta thấy kết quả là một dải các điểm có giá trị tung độ trong
khoảng [1.5, 2], trùng với kết quả của cách 2 VD 3.
Ưu điểm của phương pháp Monte-Carlo là đơn giản, dễ thực hiện khi chỉ cần
thực hiện “phép lặp lại” nhưng số lượng lặp phải đủ lớn để đạt kết quả chính xác.


 +

(

)
[


+(−

)
 ]
!
(
−

)

(1.16)
Áp dụng phương pháp này, bài toán (1.4) được đưa về bài toán phương trình
vi phân thường với điều kiện đầu ODEs IVP, Ordinary Differential Equations Initial
Valued Problem và sẽ được xem xét ở các chương tiếp theo.
VD5: Giải lại VD 3 theo phương pháp mô hình Taylor

11

(

)


+
(
−

)
 = 2.5+
([
2,3
]
−2.5
)
.
[
0,1
]
= [2,3]
với lũy thừa bậc q = 5, ta được:
 =
(


)
+

(

)
(


(
−2.5
)

+
32
243
(
−2.5
)


 =
(
−1
)

(


−1
)

(
−2.5
)


Thay  =
[


tiến đến “vị trí trung tâm” (vị trí nằm ở giữa miền khoảng của biến x).
Khi  = 101 & 

= 2.5 (vị trí trung tâm) thì  =
[
.,.
]
;≈


chính xác hơn với  = 5,

= 2.5 rất nhiều; khi  = 101 & 

= 2.4
(lệch 0.1 so với vị trí trung tâm) thì  =
[
.,.
]
; ≈

, độ “hội
tụ” giảm đi nhiều. Do đó, đây là một phương pháp gần đúng.
Kết quả của phương pháp mô hình Taylor luôn “bao ngoài” miền kết quả
mang tính liệt kê của phương pháp Monte-Carlo. Do đó, vấn đề “sót nghiệm” do
phép thử không đủ lớn của phương pháp Monte-Carlo sẽ được giải quyết.

SO SÁNH
KẾT QUẢ 1
KẾT QUẢ 2
Thay thế đại lượng
ngẫu nhiên vào
nghiệm giải tích

Biểu diễn dữ liệu
đầu vào dưới dạng
đại lượng ngẫu nhiên
KẾT LUẬN


duy nhất
Giai đoạn 2
Tìm nghiệm chặt từ
giai đoạn 1

14
CHƯƠNG II: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
II.1 ĐẠI SỐ KHOẢNG
II.1.1 Số học khoảng
Số học khoảng (interval arithmetic)  = ,  = {
∈
R : ≤ ≤ } là
tập hợp các số thực nằm giữa hai giá trị  gọi là cận dưới infimum và  gọi là cận
trên supremum [4].
Nếu  có dạng phức tạp hơn, cận dưới và cận trên được viết dưới dạng:

 =() ;  =()
(2.1)
Hình 6 biểu diễn hình ảnh của số học khoảng  hai chiều  =
[
(,
)
;
(
,
)
]

Hình 6: Biểu diễn số học khoảng X hai chiều
Tập hợp tất cả các số khoảng được ký hiệu là ℝ. Điểm giữa (), bán kính

|
= {
|

|
,}
(2.3)

Hình 7: Độ rộng, giá trị tuyệt đối và điểm giữa của số khoảng X
a
X
b
c
d
x
y
x
x
x
w(X)
0
|X|
m(X)

15
II.1.2 Các phép toán của số học khoảng
II.1.2.1 Phép toán so sánh
Cho  = [, ] và  = [, ] với , ∈  thì

 = ℎ  = &  = ;  < ℎ  <

− = [−,−]
(2.9)
 Phép nhân:

∗ = [ {,,,}, {,,,}]
(2.10)
 Phép chia:
⁄ =∗(1/). Áp dụng phép nhân ∗ (2.11)
II.1.2.3 Các phép toán khác