BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
——————— * ———————

BÙI HUY BÁCH

BÀI TOÁN ĐỒNG HÓA DỮ LIỆU ĐỐI VỚI
MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA
TRONG CƠ HỌC CHẤT LỎNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2020


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
——————— * ———————

BÙI HUY BÁCH

BÀI TOÁN ĐỒNG HÓA DỮ LIỆU ĐỐI VỚI
MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA
TRONG CƠ HỌC CHẤT LỎNG
Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã số: 9 46 01 03

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS.TS Cung Thế Anh

biệt là PGS.TS Trần Đình Kế và các thầy giáo, cô giáo trong Bộ môn Giải
tích, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã luôn giúp đỡ, động
viên, tạo môi trường học tập và nghiên cứu thuận lợi cho tác giả.
Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội,
Ban Giám hiệu trường THPT Chúc Động, các thầy cô và các anh chị đồng
nghiệp công tác tại trường THPT Chúc Động đã luôn tạo điều kiện thuận lợi,
giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Tác
giả xin gửi đến các anh chị em NCS chuyên ngành Phương trình vi phân và
tích phân của Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, các bạn bè
gần xa, lời cảm ơn chân thành về tất cả những giúp đỡ, động viên mà tác giả
đã nhận được trong suốt thời gian qua.
Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, những người luôn yêu
thương, chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hoàn thành luận án.


3

Mục lục

Lời cam đoan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3


15

5.

Kết quả của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

6.

Cấu trúc của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1. Một số α-mô hình trong cơ học chất lỏng . . . . . . . . . . . .

17

1.2. Toán tử nội suy Ih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.3. Tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.4. Các không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


3.2. Sự tồn tại duy nhất và sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ tới nghiệm
khảo sát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

Chương 4. BÀI TOÁN ĐỒNG HÓA DỮ LIỆU LIÊN TỤC RÚT GỌN ĐỐI
VỚI HỆ BARDINA ĐƠN GIẢN HÓA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

4.2. Sự tồn tại duy nhất và sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ tới nghiệm
khảo sát trong trường hợp toán tử phép đo loại I . . . . . . . .

62

4.3. Sự tồn tại duy nhất và sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ tới nghiệm
khảo sát trong trường hợp toán tử phép đo loại II . . . . . . .

71

Chương 5. BÀI TOÁN ĐỒNG HÓA DỮ LIỆU RÚT GỌN ĐỐI VỚI HỆ
LERAY-α CẢI BIÊN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.1. Bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục rút gọn đối với hệ Leray-α
cải biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

5.1.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN

Ω

Ω = [0, L]3 là hình hộp trong R3

H, V

các không gian hàm dùng để nghiên cứu hệ Navier-Stokes
và các α-mô hình

V

không gian đối ngẫu của không gian V

(·, ·), | · |

tích vô hướng và chuẩn trong không gian H

((·, ·)), ·

tích vô hướng và chuẩn trong không gian V

·, ·
·

V ,V

đối ngẫu giữa V và V



chuẩn trong không gian D(A)

→
Y

X

hội tụ mạnh
bao đóng của Y trong X

S(t)

nửa nhóm liên tục sinh bởi bài toán đạo hàm riêng

A

tập hút toàn cục của nửa nhóm S(t)

µ

tham số giãn

Ih

toán tử nội suy


7




9
nhiên, trong trường hợp ba chiều (là trường hợp có ý nghĩa vật lí nhất) thì
tính đặt đúng toàn cục và việc tính toán số nghiệm của hệ này vẫn còn là
những vấn đề mở lớn và tỏ ra rất khó. Một trong những cách tiếp cận để vượt
qua những khó khăn này là sử dụng những hệ chỉnh hóa của hệ Navier-Stokes.
Một lớp hệ chỉnh hóa phổ biến và thường được sử dụng là các α-mô hình trong
cơ học chất lỏng, bao gồm hệ Navier-Stokes-α [25], hệ Leray-α [15], hệ Leray-α
cải biên [34] và hệ Bardina đơn giản hóa [42], . . . . Về mặt hình thức, nếu cho
α = 0 trong các α-mô hình này ta sẽ thu lại được hệ Navier-Stokes cổ điển.
Trong vài năm gần đây, đã có một số kết quả về bài toán đồng hóa dữ liệu liên
tục cho các α-mô hình, bao gồm hệ Navier-Stokes-α [2], hệ Bardina đơn giản
hóa [1], hệ Leray-α [24], . . . . Tuy nhiên, theo hiểu biết của chúng tôi, chưa có
kết quả nào về bài toán đồng hóa dữ liệu rời rạc đối với các α-mô hình trong
cơ học chất lỏng. Ngoài ra, bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục mà chỉ sử dụng
phép đo trên hai trong số ba thành phần của vectơ vận tốc (mà ta sẽ gọi là
phép đo rút gọn) đối với các α-mô hình vẫn còn rất ít kết quả; mới chỉ có kết
quả gần đây trong [24] đối với hệ Leray-α.
Từ những phân tích trên ta thấy rằng mặc dù đã có một số kết quả ban
đầu nhưng các kết quả về bài toán đồng hóa dữ liệu đối với các α-mô hình
trong cơ học chất lỏng, đặc biệt trong trường hợp đồng hóa dữ liệu rời rạc
hoặc chỉ sử dụng phép đo trên hai thành phần của vectơ vận tốc, vẫn còn ít
và đang là vấn đề thời sự, có ý nghĩa khoa học và thực tiễn, thu hút được sự
quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới. Vì vậy, chúng tôi chọn vấn đề
"Bài toán đồng hóa dữ liệu đối với một số phương trình tiến hóa trong cơ học
chất lỏng" làm đề tài nghiên cứu luận án tiến sĩ của mình.
2.

Tổng quan vấn đề nghiên cứu


(1)

(với điều kiện biên đã biết) và không biết điều kiện ban đầu Y (t0 ) = Y0 . Bằng
cách sử dụng các thiết bị đo đạc, ta biết một phần của nghiệm trong khoảng
thời gian [t0 , T ] (bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục) hoặc tại các thời điểm tn
với n = 1, 2, . . ., trong đó ti ≤ tj , ∀i ≤ j và tn → ∞ khi n → ∞ (bài toán đồng
hóa dữ liệu rời rạc). Vì không biết chính xác điều kiện ban đầu nên ta không
thể tính được Y (t). Do đó, thay vì đi tính Y (t), ta đi tìm W (t), là nghiệm


11
của một phương trình mới gọi là phương trình đồng hóa dữ liệu, sao cho W (t)
hội tụ về Y (t) (theo một chuẩn thích hợp) khi thời gian t tiến tới vô cùng.
Khi đó, W (t) gọi là nghiệm xấp xỉ và nghiệm Y (t) gọi là nghiệm khảo sát.
Kí hiệu Ih (Y (t)) là phần của nghiệm mà ta đo đạc được tại thời điểm t. Ở
đây, tham số h đặc trưng cho độ phân giải không gian của phép đo. Toán tử
quan sát Ih , với các điều kiện thích hợp, là một toán tử khá tổng quát, chứa
cả trường hợp các mode xác định (determining modes), cũng như các nút xác
định (determining nodes) và các phần tử thể tích xác định (determining finite
volume) (xem [2]).
Đối với bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục, phần đo đạc Ih (Y (t)) của nghiệm
thu được trên [t0 , T ], ta xét hệ phương trình đồng hóa dữ liệu
dW
= F (W ) − µ (Ih (W ) − Ih (Y ))
dt

(2)

với điều kiện ban đầu W (t0 ) = W0 do ta dự đoán trước (lấy tùy ý). Ở đây, số

hai lần đo: |tn+1 − tn | ≤ κ, ∀n ∈ N. Cũng như đối với hệ (2), ta đi tìm các
điều kiện đủ của h, µ và κ sao cho hệ (3) có nghiệm toàn cục duy nhất W (t)
và W (t) hội tụ tới Y (t) khi thời gian t tiến tới vô cùng.
Phương pháp đồng hóa dữ liệu chỉ áp dụng được cho các mô hình đặt
đúng, nói riêng là các hệ mà đã chứng minh được sự tồn tại và tính duy nhất
nghiệm. Chính vì lí do đó, kết quả đồng hóa dữ liệu đối với hệ Navier-Stokes
mới chỉ có trong trường hợp hai chiều [5, 27], còn trong trường hợp ba chiều
ta chưa chứng minh được các kết quả tương tự. Để nghiên cứu các tính chất
nghiệm nói chung và bài toán đồng hóa dữ liệu nói riêng của hệ Navier-Stokes
ba chiều, một cách làm phổ biến là nghiên cứu trên các α-mô hình, được coi
như là những xấp xỉ của hệ Navier-Stokes khi tham số α nhỏ. Gần đây đã có
một số kết quả đối với bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục cho các α-mô hình
như hệ Navier-Stokes-α [2], hệ Bardina đơn giản hóa [1], hệ Leray-α [24], . . .
Rất gần đây một hướng nghiên cứu mới, đó là giảm số chiều phép đo xuống
thấp hơn số chiều không gian, cũng đang thu hút sự quan tâm của nhiều nhà
khoa học [23, 24]. Bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục rút gọn số chiều phép đo
về cơ bản vẫn được thiết lập như trường hợp đầy đủ số chiều phép đo, nhưng
các số liệu phép đo thay vì được biểu diễn bởi các toán tử nội suy Ih (Y (t)), ví
dụ như đối với không gian ba chiều là bao gồm cả ba thành phần Ih (Y1 (t)),
Ih (Y2 (t)) và Ih (Y3 (t)) (với t ∈ [t0 , T ]), thì giờ đây chỉ được biểu diễn bởi số
thành phần ít hơn, ví dụ như đối với không gian ba chiều là hai thành phần
(bất kì) trong số ba thành phần này, chẳng hạn chỉ bởi Ih (Y1 (t)) và Ih (Y2 (t)).
Việc không có dữ liệu nào đối với thành phần phép đo bị thiếu dẫn tới khó
khăn trong việc xây dựng nghiệm xấp xỉ và chứng minh sự hội tụ của nghiệm


13
xấp xỉ tới nghiệm khảo sát theo thuật toán đồng hóa dữ liệu liên tục. Khó khăn
này đã được khắc phục trong một số mô hình cụ thể, đó là hệ Navier-Stokes
hai chiều [23] và hệ Leray-α ba chiều [24], bằng cách sử dụng điều kiện không

chất lỏng.
• Phạm vi nghiên cứu: Trong các mô hình dưới đây v = u − α2 ∆u. Các
mô hình được xét trên khoảng [t0 , ∞), với điều kiện biên tuần hoàn trên
hình hộp Ω = [0, L]3 và điều kiện ban đầu u(t0 ) = u0 chưa biết.
◦ Nội dung 1: Bài toán đồng hóa dữ liệu rời rạc đối với hệ Leray-α
ba chiều:



 ∂v − ν∆v + (u · ∇)v + ∇p = f,
∂t

∇ · u = ∇ · v = 0.

◦ Nội dung 2: Bài toán đồng hóa dữ liệu rời rạc đối với hệ NavierStokes-α ba chiều:


 ∂v − ν∆v − u × (∇ × v) + ∇p = f,
∂t

 div u = 0.
◦ Nội dung 3: Bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục chỉ sử dụng phép đo
trên hai thành phần của vectơ vận tốc đối với hệ Bardina đơn giản
hóa ba chiều:


 ∂v − ν∆v + (u · ∇)u + ∇p = f,
∂t

∇ · u = ∇ · v = 0.

mũ của nghiệm xấp xỉ hội tụ tới nghiệm khảo sát khi thời gian tiến tới
vô cùng. Đây là nội dung chính của Chương 2 và Chương 3.
• Chứng minh được sự tồn tại duy nhất của nghiệm xấp xỉ và sự hội tụ
theo tốc độ mũ của nghiệm xấp xỉ tới nghiệm khảo sát đối với bài toán
đồng hóa dữ liệu liên tục đối với hệ Bardina đơn giản hóa ba chiều mà
chỉ sử dụng phép đo trên hai thành phần của vectơ vận tốc. Đây là nội
dung chính của Chương 4.
• Chứng minh được sự tồn tại duy nhất của nghiệm xấp xỉ và sự hội tụ
theo tốc độ mũ của nghiệm xấp xỉ về nghiệm khảo sát cho cả bài toán
đồng hóa dữ liệu liên tục và rời rạc đối với hệ Leray-α cải biên ba chiều
mà chỉ sử dụng phép đo trên hai thành phần của vectơ vận tốc. Đây là
nội dung chính của Chương 5.
Các kết quả của luận án là những đóng góp có ý nghĩa cho Lí thuyết các
phương trình đạo hàm riêng trong cơ học chất lỏng và Lí thuyết đồng hóa dữ


16
liệu; góp phần vào việc hoàn thiện các lí thuyết này và giải quyết một số vấn
đề mở được nhiều nhà khoa học trong và ngoài nước quan tâm.
Các kết quả chính đạt được đã được công bố hoặc đang gửi đăng trên một
số tạp chí chuyên ngành quốc tế (xem phần Danh mục công trình khoa học)
và đã được báo cáo tại các hội thảo và seminar khoa học sau:
• Hội nghị toán học toàn quốc lần thứ 8, Nha Trang, tháng 8/2018;
• Hội nghị nghiên cứu khoa học của nghiên cứu sinh, Khoa Toán-Tin,
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, các năm 2017 và 2018;
• Seminar của Bộ môn Giải tích, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm
Hà Nội.
6.

Cấu trúc của luận án

 ∂v − ν∆v + (v · ∇)v + ∇p = f,
∂t

∇ · v = 0,
lần lượt bởi (u · ∇)v, −u × ∇ × (u − α2 ∆u) , (u · ∇)u và (v · ∇)u. Mặc dù
xuất phát từ mục đích ban đầu là dùng để mô phỏng số cho hệ Navier-Stokes,
nhưng các α-mô hình cũng đã được chỉ ra là có mối liên hệ giữa các nghiệm
của chúng với các dòng chảy hỗn loạn trên các kênh và các đường ống (xem
[13]). Về mặt hình thức, trong các α-mô hình này nếu thay α bằng 0 ta sẽ
thu được hệ Navier-Stokes. Dưới đây ta liệt kê các α-mô hình được nghiên cứu
trong luận án.
• Hệ Leray-α ba chiều [15]:


 ∂v − ν∆v + (u · ∇)v + ∇p = f,
∂t

∇ · u = ∇ · v = 0.


18
• Hệ Navier-Stokes-α ba chiều [25]:


 ∂ (u − α2 ∆u) − ν∆(u − α2 ∆u) − u × ∇ × (u − α2 ∆u) + ∇p = f,
∂t

∇ · u = 0.
• Hệ Bardina đơn giản hóa ba chiều [42]:


2
L2 (Ω)

≤ γ0 h2 ϕ

2
H 1 (Ω) , ∀ϕ

∈ H 1 (Ω).


19
Trường hợp 2. Ih : H 2 (Ω) → L2 (Ω) và
ϕ − Ih (ϕ)

2
L2 (Ω)

≤ γ1 h2 ϕ

2
H 1 (Ω)

+ γ2 h 4 ϕ

2
H 2 (Ω) , ∀ϕ

∈ H 2 (Ω).


ϕ

L2 (Ω)

|ϕˆk |2

=L

1
2

, ϕ

H 1 (Ω)

|k|2 |ϕˆk |2

=L

k∈G

.

k∈G

Khi đó, ta có thể kiểm tra được
ϕ − Ih (ϕ)

2
L2 (Ω)


1
|Ωk |

u(x)dx.
Ωk


20
Ta xây dựng toán tử nội suy Ih như sau
N

Ih (ϕ(x)) =

ϕ

Ωk

χΩk (x),

k=1

với h =

L
√
,
3
N


và thể tích |Ωk | =

L3
N .

Giả

sử điểm xj bất kì thuộc Ωj là điểm mà dữ liệu đo đạc của vận tốc dòng chảy
được thu thập. Ta định nghĩa toán tử Ih như sau
N

Ih (ϕ(x)) =

ϕ(xk )χΩk (x).
k=1

Người ta chứng minh được (xem [2]) với mọi ϕ ∈ D(A), toán tử Ih thỏa mãn
ϕ − Ih (ϕ)

2
L2 (Ω)

≤ 32h2 ϕ

2
H 1 (Ω)

+ 4h4 ϕ

2

1) A là một tập compact;
2) A là bất biến, tức là S(t)A = A với mọi t ≥ 0;
3) A hút mọi tập con bị chặn B của X, tức là
lim dist(S(t)B, A) = 0.

t→+∞

Định lí dưới đây mô tả cấu trúc của tập hút toàn cục.
Định lí 1.1. ([50]) Giả sử nửa nhóm S(t) có tập hút toàn cục A. Khi đó A
là hợp của mọi quỹ đạo đầy đủ bị chặn (nói riêng là các điểm dừng và các quỹ
đạo tuần hoàn, nếu có, đều nằm trên A).


22
Kết quả dưới đây chỉ ra rằng các quỹ đạo trên tập hút toàn cục sẽ quyết
định các dáng điệu tiệm cận có thể có của các quỹ đạo riêng lẻ, nghĩa là sau
một thời điểm đủ lớn, bất kì một quỹ đạo nào của phương trình gốc trông sẽ
giống như một quỹ đạo nào đó trên tập hút trong một khoảng thời gian đủ
dài.
Định lí 1.2. ([50]) Giả sử nửa nhóm S(t) có tập hút toàn cục A. Cho trước
một quỹ đạo u(t) = S(t)u0 , một sai số ε > 0 và một khoảng thời gian T > 0.
Khi đó tồn tại một thời điểm τ = τ (ε, T ) và một điểm v0 ∈ A sao cho
u(τ + t) − S(t)v0 ≤ ε với mọi 0 ≤ t ≤ T.
1.4.

Các không gian hàm

Giả sử Ω = [0, L]3 là một hình hộp, với L > 0 cho trước. Đặt
3


23
liên hợp với nghịch đảo compact. Do đó tồn tại một tập hợp các hàm riêng lập
thành một cơ sở trực chuẩn đầy đủ {wj }∞
j=1 ⊂ H, sao cho Awj = λj wj và
0 < λ1 ≤ λ2 ≤ · · · ,

λj → ∞ khi j → ∞.

Với mỗi m ∈ N, kí hiệu Pm là phép chiếu trực giao từ H lên không gian con
Hm = span{w1 , . . . , wm } và Qm = I − Pm .
Với mỗi u, v ∈ V, kí hiệu B(u, v) = P[(u · ∇)v]. Khi đó B là một toán tử
3-tuyến tính liên tục từ V × V vào V .
Ta nhắc lại một số tính chất quan trọng của B(u, v). Các kết quả này có
thể được tìm thấy trong [50, 51]. Với u, v, w ∈ V , ta có
B(u, v), w

V ,V

= − B(u, w), v

V ,V

,

và hệ quả là
B(u, v), v

V ,V

(1.1)


v

w , ∀u, v, w ∈ V,

(1.3)

|Aw|1/2 , ∀u ∈ H, v ∈ V, w ∈ D(A).
(1.4)

Từ (1.2), ta có
B(u, v)

V

≤ c0 u

1/2

|Au|1/2 |v|, ∀u ∈ D(A), v ∈ H.

(1.5)

Từ (1.4), ta có
B(u, v)

−1/4

D(A)