B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO
TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

CUNG TH± HƯàNG

ĐA TAP QUÁN TÍNH ĐOI
VéI M®T LéP PHƯƠNG
TRÌNH TIEN HÓA CAP HAI

LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC
Chuyên ngành: TOÁN GIÁI TÍCH
Ngưài hưáng dan khoa hoc: TS. Cung The Anh

Hà N®i -2011


1

LèI CÁM ƠN
Lu¾n văn đưoc hoàn thành tai Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2
dưói sn hưóng dan cna TS. Cung The Anh.
Tác giá xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói TS. Cung The Anh.
Sn t¾n tình song rat nghiêm túc cna thay trong suot quá trình hoc t¾p
và làm lu¾n văn đã giúp tác giá trưóng thành hơn rat nhieu ve cách tiep
c¾n m®t van đe mói. Cám ơn các thay cô giáo giáng day chuyên ngành
Toán Giái tích đã nhi¾t tình cung cap các tri thúc khoa hoc giúp tác
giá nâng cao trình đ® tư duy, hoàn thành tot quá trình hoc t¾p và làm
lu¾n văn. Tác giá cũng xin đưoc cám ơn tói Ban Giám hi¾u và các đong
nghi¾p ó trưòng THPT Quang Minh đã quan tâm giúp đõ và tao moi
đieu ki¾n thu¾n loi đe tác giá yên tâm hoc t¾p trong suot hai năm vùa
qua.

16
1.3.1. Sn ton tai đ%a phương..............................................................................................16
1.3.2. Sn ton tai toàn cuc và tính duy nhat nghi¾m.................................................18

Chương 2. SN ton tai và các tính chat cúa đa tap quán tính

20

2.1. Đ%nh nghĩa đa tap quán tính...............................................20
2.2. SN ton tai và các tính chat cúa đa tap quán tính . . .

28

2.3. Ví dn áp dnng

35

2.3.1. Ví du 1............................................................................................................35
2.3.2. Ví du 2............................................................................................................37

KET LU¾N....................................................................39
Tài li¾u tham kháo..............................................................40


1. Lí do chon đe tài
Mé ĐAU
Vi¾c nghiên cúu dáng đi¾u ti¾m c¾n cna các h¾ đ®ng lnc vô han chieu
là m®t trong nhung bài toán cơ bán cna v¾t lý toán hi¾n đai. M®t trong
nhung cách tiep c¾n bài toán này đoi vói các h¾ đ®ng lnc tán xa vô
han chieu, sinh bói các phương trình đao hàm riêng phi tuyen ho¾c các


du
 d2 u
 2 + 2ε
+. Au = B(u, t) , t > s, ε > 0
dt
dtdu.
. =u
.
1
u|t=s =
d
u0 ,
t
t=s

trong đó A là toán tú tn liên hop dương vói pho ròi rac và B(·, ·) là m®t
ánh xa tù D(Aθ) × R vào H, 0 ≤ θ ≤ 1/2, thóa mãn các tính chat:
"B(0, t)" ≤ M0
"B(u1, t) − B(u2, t)" ≤ M1"Aθ(u1 − u2)"
vói moi u1, u2 thu®c mien xác đ%nh Fθ = D(Aθ) cna toán tú Aθ, " ·
" là chuan cna không gian H.
3. Nhi¾m vn nghiên cNu
• Nghiên cúu sn ton tai và duy nhat nghi¾m tích phân toàn cuc.
• Nghiên cúu sn ton tai và các tính chat cna đa tap quán tính.
• Xây dnng m®t so ví du minh hoa ket quá cna lu¾n văn.


6


Đ%nh nghĩa 1.1.1. Giá sú H là không gian Hilbert khá ly vói tích vô
hưóng (·, ·) và chuan " · ". Cho A là toán tú tuyen tính dương tn
liên hop vói mien xác đ%nh D(A). Khi đó toán tú A đưoc goi là có
pho ròi rac neu trong không gian H ton tai m®t cơ só trnc chuan gom
các vectơ riêng {ek}
(ek, ej ) = δkj,
= 1, 2, ... , (1.1.1)

Aek = λkek,

k, j


sao cho
0 < λ1 ≤ λ2 ≤ . . . , lim λk = ∞.

(1.1.2)

k→∞

Cau trúc đưoc nói đen ó trên cna toán tú A giúp ta đ%nh nghĩa toán
tú f (A) cho m®t lóp r®ng các hàm f (λ) xác đ%nh trên núa truc
dương như sau:
.
D(f (A))
=

h=

∞


k=1

Đ¾c bi¾t, ta có the đ%nh nghĩa toán tú Aα vói α ∈ R như sau
.
.
.
.
α
∞
∞
2
D(A )
h=
ck ek ∈ H :
c [λα]2 < ∞ ,
=
k

k=1
∞
α

A h=

.

k

k=1
β;
2. Vói σ > 0 và f ∈ Fσ thì hàm tuyen tính F (g) ≡ (f, g) có

ckek ∈ {Fσ}.

k=1

Các tính chat sau đây cna toán tú e−tA đóng vai trò quan trong trong
các van đe xét đen ve sau:
◦ Vói bat kỳ α ∈ R và t > 0, toán tú tuyen tính e−tA ánh xa
−tλ
T
t
Fα vào σ≥0 Fσ có tính chat: "e−A u"α ≤ 1 "u"α.
e
◦ (Tính chat núa nhóm) e−t1A.e−t2A = e−(t1+t2)A, t1, t2 ≥ 0.
◦ Vói moi u ∈ Fσ và σ ∈ R thì
lim "e−tAu − e−τ Au" = 0.
t→
τ

(1.1.5)


10

Bo đe 1.1.1. Cho QN là phép chieu trnc giao lên bao đóng cúa bao tuyen
tính cúa các phan tú {ek, k ≥ N + 1} trong H và cho PN = I−Q N ,
N = 0, 1, 2, . . .. Khi đó:
1) vói moi h ∈ H, β ≥ 0 và t ∈ R bat đang thúc sau
thóa mãn:
β


"Aαe−tAh" ≤
β

..

α −

α−
β

t

.

α−β

+λ
.
1
.e−tλ
1

"Aβ ",
h
α

≥ β.

(1.1.8)


(1.2.11)
 2 + 2ε
+ Au = B(u, t) , t > s,
dt
dt
ε>0
.
du
.
. =u

.
1
 u|t=s =
d
u0 ,
t
t=s

trong đó A là toán tú tn liên hop dương vói pho ròi rac và B(·, ·) là m®t
ánh xa tù D(Aθ) × R vào H, 0 ≤ θ ≤ 1/2, có tính chat:
"B(0, t)" ≤ M0

(1.2.12)

"B(u1, t) − B(u2, t)" ≤ M1"Aθ(u1 −
u2)"
vói moi u1 và u2 tù mien xác đ%nh Fθ = D(Aθ) cna toán tú Aθ , " · "
là
chuan cna không gian H.


∂u(t)
.
, U0 = (u0; u1) ∈ H.
∂t


Toán tú tuyen tính A và ánh xa B(U, t) đưoc đ%nh nghĩa bói các
đang thúc:
AU = (−u1; Au0 + 2εu1),
= D(A) × D(A1/2),

D(A)

(1.2.15)

B(U, t) = (0; B(u0, t)),
(u0; u1).
(1.2.16)

U0 =

De dàng kiem tra đưoc các giá tr% riêng và vectơ riêng cna toán tú A có
công thúc
λn± =
±
f

n


t

(1.2.19)

t=s

Phương trình này có the viet lai dưói dang
d
.. = U ,
U (t) + AU (t) = H(t),
0
U
t=s
dt
.
.
.
.
ó đó U (t) = u(t); u˙ (t) và H(t) = 0; h(t) .

(1.2.20)

Đ%nh nghĩa 1.2.1. M®t hàm u(t) đưoc goi là m®t nghi¾m tích
phân (trong Fθ) cúa bài toán (1.2.19) (hay (1.2.20)) trên đoan khoáng [s,
s+T ] neu nó thu®c lóp


Ls,T ≡ C(s, s + T ; F1/2) ∩ C1(s, s + T ; H) ∩ C2(s, s
+ T;
−1/


), t > s,

(um (s), ej ) = (u0 , ej ) ,

(u˙

m (s),

ej ) = (u1 , ej )
(1.2.21)

vói j = 1, 2, ..., m.; gj (t) ∈ C1(s, s
+ T ) và

g˙ j (t) là liên tuc tuy¾t đoi;

v˙ (t) = dv/dt. Khi đó (1.2.21)viet lai dưói dang


u¨m (t) + 2εu˙ m (t) + Aum (t)
= pm h(t),

.
.
t=s

.

 t=s =

(1.2.21) có duy nhat nghi¾m um(t) trên moi đoan [s, s + T ] và um(t)
∈ Ls,T .


Bây giò, giá sú {um(t)} là dãy nghi¾m xap xí cna (1.2.22). Nhân vô
hưóng (1.2.22) vói u˙ m (t) ta có
.
.
d
+2ε(u˙ m (t), u˙ m (t)) + (Aum (t), u˙ m (t)) = (Pm h(t),
u˙ m (t), u˙
u˙ m (t)),
dt
m (t)
suy ra
1d

2

d
+ 2ε"u˙
m (t)"

"u˙

2 dt
m (t)"

1


+
"A

1/
2

um(t)"
2

2

¸ "u˙ m(τ )dτ
+ 2ε
s

2

.

.

t

¸

1/2

+
P
"A

tù đó suy ra
A−1/2 u¨m (t) = −2εA−1/2 u˙ m (t) + A1/2 um (t) +
Pm A1/2 h(t).
Do D(A1/2 ⊂ H ⊂ D(A−1/2)) và h(t) ∈ L∞(R, H) nên


"A−1/2 u¨m (t)" ≤ 2εC"u˙ m (t)" + "A1/2 um (t)" +
"h(t)".


Do đó và do (1.2.24) ta có
"A−1/2

+ "u˙
m (t)

u¨m (t)"

+

2

"

um(t)" ≤ C(T, u0, u1).

(1.2.25)

"A1/2


đưoc w = 0.
V¾y dưói đieu ki¾n (1.2.23) bài toán (1.2.19) có duy nhat nghi¾m tích
phân trên moi đoan [s, s + T ]. Đ¾c bi¾t khi h(t) ≡ 0 bài toán
(1.2.19) sinh ra m®t núa nhóm tien hóa e−tA trong không gian H bói
công thúc
e

−tA

.
.
(u0 ; u1 ) = u(t); u˙ (t) ,

(1.2.26)

ó đó u(t) là m®t nghi¾m tích phân cna bài toán (1.2.19) vói h(t) ≡
0. Lay tích phân tù s đen t cna (1.2.19) ta chúng minh đưoc rang
nghi¾m tích phân cna (1.2.19) có the bieu dien dưói dang
t

¸

(u˙ (t); u(t)) = e−
(t−s)A

(u0 ; u1 ) +


s


SN ton tai nghi¾m cúa phương trình tien hóa
cap hai

Theo (1.2.14) phương trình tien hóa cap hai có the viet lai dưói dang
phương trình cap m®t; trong đó ánh xa B thóa mãn các tính chat:
"B(U, t)"H ≤ M (1 + "U "H )

(1.3.30)

"B(U1, t) − B(U2, t)"H ≤ M "U1 − U2"H.

(1.3.31)

Do đó ta chúng minh sn ton tai và duy nhat nghi¾m tích phân cna bài
toán (1.2.14).
1.3.1.

SN ton tai đ%a phương

Phương pháp điem bat đ®ng giúp ta chúng minh khang đ%nh sau ve
sn ton tai đ%a phương cna nghi¾m tích phân cna bài toán(1.2.14).


Đ%nh lý 1.3.1. Cho U0 ∈ H. Khi đó ton tai T ∗ phn thu®c vào "U0"
sao cho bài toán (1.2.14) có duy nhat nghi¾m tích phân trên núa khoáng
[s, s + T ∗ ). Hơn nua, ho¾c T ∗ = ∞ ho¾c nghi¾m không the liên tnc
trên H cho đen thòi điem t = s + T ∗ .
Chúng minh. Trên không gian Cs ≡ C(s, s + T ; H) ta xác đ%nh ánh
xa:
¸t


e− (t2−τ )
A

t1

B(U (τ ), τ )
dτ ≤

¸

dτ max "B(U (τ ), τ )"
τ∈[s,s+

T]
t1

≤ |t2 − t1 | max "B(U (τ ), τ )".
τ∈[s,s+T ]

(1.3.33)

Do đó G ánh xa Cs = C(s, s+T, H) vào chính nó. Cho V0(t) = e−
(t−s)A

U 0.

Trong Cs ta xem xét hình cau dang:




Cho nên neu ta chon T1 sao cho :
T1C(T0, "U0") ≤ 1 và T1C1(T0, "U0") < 1,
ta có đưoc G là ánh xa co tù U vào chính nó. Do đó, G có duy nhat
m®t điem bat đ®ng trong U ⊂ Cs. Vì v¾y ta xây dnng đưoc m®t
nghi¾m trên đoan [s, s + T1]. Lay s + T1 như thòi điem ban đau, ta
có the xây dnng m®t nghi¾m trên đoan [s + T1, s + T1 + T2] vói
đieu ki¾n ban đau U0 = U (s + T1). Neu ta tiep tuc l¾p lu¾n này, thì
ta có the xây dnng m®t nghi¾m trên núa khoáng cnc đai [s, s + T ∗ ].
Hơn nua, có the có T ∗ = ∞. Đ%nh lý đưoc chúng minh.
1.3.2.

SN ton tai toàn cnc và tính duy nhat nghi¾m

Đ%nh lý 1.3.2. Theo (1.3.31), ánh xa B(u, t) thóa mãn đieu ki¾n
Lip- schitz toàn cnc. Khi đó bài toán (1.2.14) có duy nhat nghi¾m tích
phân trên moi đoan [s, s + T ] vói U0 ∈ H.
Chúng minh. Cho U (t) là m®t nghi¾m cna bài toán (1.2.14) trên
núa khoáng cnc đai [s, s + T ). Giá sú T < ∞, đieu ki¾n (1.3.30) cho
ta:
"B(u, t)" ≤ M (1 + "u")