✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼

NGUYỄN THỊ NGỌC HÂN

❚❾P ❍Ó❚ ✣➋❯ ✣➮■ ❱❰■ ▼❐❚ ▲❰P P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍
P❆❘❆❇❖▲■❈ ❙❯❨ ❇■➌◆ ❚Ü❆
❚❯❨➌◆ ❚➑◆❍ ❑❍➷◆● ➷❚➷◆➷▼

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✲ ✷✵✶✽


✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼

NGUYỄN THỊ NGỌC HÂN

❚❾P ❍Ó❚ ✣➋❯ ✣➮■ ❱❰■ ▼❐❚ ▲❰P P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍
P❆❘❆❇❖▲■❈ ❙❯❨ ❇■➌◆ ❚Ü❆
❚❯❨➌◆ ❚➑◆❍ ❑❍➷◆● ➷❚➷◆➷▼
◆❣➔♥❤✿ ❚♦→♥ ❣✐↔✐ t➼❝❤
▼➣ sè✿ ✽ ✹✻ ✵✶ ✵✷
▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈
◆❣÷í✐ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝
❚❙✳P❍❸▼ ❚❍➚ ❚❍Õ❨

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✲ ✷✵✶✽


❝æ ✤➣ t➟♥ t➻♥❤ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ tæ✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤➸ tæ✐ ❝â
t❤➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳
❚æ✐ ①✐♥ tr➙♥ trå♥❣ ❝↔♠ ì♥ ❇❛♥ ●✐→♠ ❤✐➺✉✱ ❜❛♥ ❧➣♥❤ ✤↕♦ ♣❤á♥❣ s❛✉
✣↕✐ ❤å❝ ❝ò♥❣ t♦➔♥ t❤➸ ❝→❝ t❤➛② ❝æ ❣✐→♦ ❑❤♦❛ ❚♦→♥ tr÷í♥❣ ✣❍❙P ❚❤→✐
◆❣✉②➯♥ ✤➣ tr✉②➲♥ t❤ö ❝❤♦ tæ✐ ♥❤ú♥❣ ❦✐➳♥ t❤ù❝ q✉❛♥ trå♥❣✱ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥
t❤✉➟♥ ❧ñ✐ ✈➔ ❝❤♦ tæ✐ ♥❤ú♥❣ þ ❦✐➳♥ ✤â♥❣ ❣â♣ q✉þ ❜→✉ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤
❤å❝ t➟♣ ✈➔ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳
▲✉➟♥ ✈➠♥ ❝❤➢❝ ❝❤➢♥ s➩ ❦❤æ♥❣ tr→♥❤ ❦❤ä✐ ♥❤ú♥❣ ❦❤✐➳♠ ❦❤✉②➳t ✈➻ ✈➟②
r➜t ♠♦♥❣ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ sü ✤â♥❣ ❣â♣ þ ❦✐➳♥ ❝õ❛ ❝→❝ t❤➛② ❝æ ❣✐→♦ ✈➔ ❝→❝ ❜↕♥
❤å❝ ✈✐➯♥ ✤➸ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ✤÷ñ❝ ❤♦➔♥ ❝❤➾♥❤ ❤ì♥✳
❚æ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥✦

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ t❤→♥❣ ✹ ♥➠♠ ✷✵✶✽
❚→❝ ❣✐↔

◆❣✉②➵♥ ❚❤à ◆❣å❝ ❍➙♥

ii


ử ử
ớ
ớ ỡ
ử ử
ởt số ỵ t tt

tự




ởt số





út t ử



ỹ tỗ t t út t ử









út





út ừ q tr ỡ tr




✷✸

✷✳✷

❙ü tç♥ t↕✐ ♥❣❤✐➺♠ ②➳✉

✷✺

✷✳✸

❙ü tç♥ t↕✐ t➟♣ ❤ót ✤➲✉ tr♦♥❣

✷✳✹

❚➼♥❤ trì♥ ❝õ❛ t➟♣ ❤ót ✤➲✉ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❞✉② ♥❤➜t
♥❣❤✐➺♠ ✈➔

p=2

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

L2 (Ω)

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✳✹✳✶


✹✷

iv


▼ët sè ❦þ ❤✐➺✉ ✈➔ ✈✐➳t t➢t
R = (−∞; +∞) : t➟♣
Rn : ❦❤æ♥❣

❣✐❛♥ ✈➨❝tì t✉②➳♥ t➼♥❤ t❤ü❝ ♥ ❝❤✐➲✉.

C([a; b], Rn ) : t➟♣
C(Ω) : ❧➔
C k (Ω) :

❝→❝ sè t❤ü❝.

t➜t ❝↔ ❝→❝ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ❬❛❀ ❜❪ ✈➔ ♥❤➟♥ ❣✐→ trà tr➯♥

❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ♠✐➲♥

Ω.

❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ ❦❤↔ ✈✐ ❧✐➯♥ tö❝ ✤➲✉ ❝➜♣ ❦ tr➯♥ ♠✐➲♥

L2 ([a, b], Rm ) :
C ∞ (Ω) : ❧➔

t➟♣ ❝→❝ ❤➔♠ ❦❤↔ t➼❝❤ ❜➟❝ ❤❛✐ tr➯♥ ❬❛✱ ❜❪ ✈➔ ❧➜② ❣✐→ trà tr♦♥❣


L (u) = {u : u → R|u ❧➔
❚r♦♥❣ ✤â

:

Ω.

C k (Ω).

✣÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜➡♥❣

Lp (Ω) : ❧➔

Ω.

❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ ❦❤↔ ✈✐ ❧✐➯♥ tö❝ ❝➜♣ ✈æ ❤↕♥ tr➯♥ ♠✐➲♥

C0∞ (Ω) : ▲➔

u

Rn .

L∞ (u)

✤♦ ✤÷ñ❝ ▲❡❜❡s❣✉❡,

= ❡ss sup |u|.
u



❦þ ❤✐➺✉ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈.

C k,β (u), C k,β (u), (k = 0, 1, ..., 0 < β ≤ 1) ❧➔
u = (ux1 , ..., uxn ) ❧➔

❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍♦❧❞❡r.

✈➨❝tì ❣r❛❞✐❡♥t ❝õ❛ ❤➔♠ ✉.

n

u=

uxi xi

❧➔ t♦→♥ tû ▲❛♣❧❛❝❡ ❝õ❛ ❤➔♠ ✉.

i=1

✷ : ❦➳t

t❤ó❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤.

vi



ồ t




(u)



div((u) (u))

tr õ

(0) = 0

ữỡ

tr r s ự t tỷ rs ữỡ tr r
s r ss t q sỹ tỗ t t út
ữủ ự tr
ự sỹ tỗ t t t ừ t út ố ợ ợ ữỡ
tr r s tớ sỹ õ ỵ ồ ự
õ ự ử tr t tỹ t ợ ỳ tr
ú tổ ỹ ồ tr ở ự ợ
t ồ út ố ợ ởt ợ ữỡ tr r s tỹ

t t ổ ổtổổ

ử ử ự
ử ự

ử ừ ự sỹ tỗ t ởt số t t
ừ t út t ử ỗ t trỡ số rt ố

ừ t út t ửt út tr q tr ỡ tr t út
ỷ q tr tr ỳ tự ỡ s ờ trủ tự
ữỡ
ữỡ út ố ợ ởt ợ ữỡ tr r s
tỹ t t ổ ổtổổ
r t q sỹ tỗ t t út ố ợ ởt ợ ữỡ
tr r s tỹ t t ổ ổtổổ tr

RN tr

trữớ ủ ừ ữỡ tr õ t ổ

t ữỡ ụ tr t q t trỡ ừ t út
ữủ tr tr ởt trữớ ủ t õ trữớ ủ ỷ
t t t ự sỹ tỗ t t t
ừ t út ố ợ ợ ữỡ tr r s tớ
sỹ õ ỵ ồ ự õ ự ử tr t
tỹ t ợ ỳ tr ú tổ ỹ ồ tr ở
ự ợ t ồ út ố ợ ởt ợ ữỡ

tr r s tỹ t t ổ ổtổổ
ố ũ t tr tõ tt t q t ữủ




❈❤÷ì♥❣ ✶
❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à
❚r♦♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ❝❤ó♥❣ tæ✐ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➲ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
❤➔♠✱ t➟♣ ❤ót ✤➲✉✱ t➟♣ ❤ót t♦➔♥ ❝ö❝✱sè ❝❤✐➲✉ ❢r❛❝t❛❧ ❝õ❛ t➟♣ ❤ót t♦➔♥ ❝ö❝✱

x∈X

✈î✐ ♠å✐

x+y ≤ x + y

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝❤✉➞♥ tr➯♥

✈➔

X

K

✈î✐

♥➳✉

x = 0 ⇔ x = θ.

x∈X

✈î✐ ♠å✐

✈➔

λ ∈ K✳

x, y ∈ X.







X

ổ t t tr trữớ số tỹ

R ởt t ổ ữợ tr X

ởt

., . X ì X R tọ

s



x, y = y, x

ợ ồ

x, y X

x + y, z = x, z + y, z



x, y = x, y

x X



|x| =

|x|

ữủ

x, x



ổ t rt ừ ợ tr s
ữủ ồ ổ rt

ổ
Lp(), 1 p <



RN

ỗ tt t s

p

ổ
tr


L ()



ợ

:= ess sup |u(x)|.
x






sỷ

:R

ữủ s ổ

tọ s

(H ) L1loc ()





(H,

u
D01 (, )

D01 (,)

1
(x)| u|2 dx) 2 .

:= (


ổ rt ợ t ổ ữợ

(u, v) := (

(x) u vdx.




D 1(, )

2, (0, 2)

ổ ố ừ

2

sỷ



ổ

D01 (, )

r t sỷ ử ổ ử tở tớ
s


C([a, b]; X)
X

tử tứ

sỷ

X

ởt ổ

ổ ỗ tt

[a, b]



X

ợ




P ú

D01 (, ) L2 ()

P ú

D01 (, ) Lp ()

tử
t

p [1, 2 )

ờ sỷ r ổ tr RN , N 2


tọ
P ú


(H,
)

õ

D01 (, ) Lp ()

P ú


õ ởt ổ rt ợ t ổ ữợ tữỡ ự

(u, v)D02 := (

div((x) u)div((x) v)dx.


t q s s r trỹ t tứ ừ ổ
ú

D01 (, ) L2 ()





tọ

D01 (, ), D02 (, )

(H )

sỷ ởt tr RN (N 2)
tọ

(H )

õ ú


|u|2 dx) 2
Ω

= ||u||D02 (Ω,σ) ||u||L2 (Ω) .
||u||L2 (Ω) ≤ C||u||D01 (Ω,σ)

▼➦t ❦❤→❝ t❛ ❝â

✱ ð ✤â

C

✤ë❝ ❧➟♣ ✈î✐

u✱

✈➟② t❛

❝â ✤✐➲✉ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

✶✳✸ ❚➟♣ ❤ót t♦➔♥ ❝ö❝
✶✳✸✳✶ ▼ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠
X

●✐↔ sû

❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ t❛ ❝â ❝→❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ s❛✉✿

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳✶✳
①↕

◗✉ÿ ✤↕♦ ❝õ❛

S(t) tr➯♥ I ⊂ R ❧➔ ♠ët →♥❤ ①↕ u : I → X

t❤ä❛ ♠➣♥✿

u(t + s) = S(t).u(s),
✈î✐ ♠å✐
◆➳✉

s ∈ I, t ≥ 0
I =R

✈➔ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔

✈➔

τ >0

t + s ∈ I✳

uo = z ∈ X ✱

t❤➻

u

❣å✐ ❧➔ q✉ÿ ✤↕♦ ✤➛② ✤õ ①✉②➯♥ q✉❛

z


ồ ố ứ ừ

(X, S(t))



S(t)u0 =u0 ,




Y X



t 0.

t

ữủ ồ t ữỡ

Y X



ợ ồ

ữủ ồ t



ợ ồ

t T

ỷ õ

S(t)

tỗ t ởt t
t ừ

T = T (B) 0

B0

s

ữ ồ t tử ố

ồ t tữ t

B0 X

út tữ út

X

S(t) t t tỗ t ởt t B0 X



tỗ t

T = T (B) 0

s

s ợ ồ

S(t)B B0 , t T

ữ ồ ởt t tử ố ợ ỷ õ

S(t)

t ởt ỷ õ t t t ữủ
õ ổ ú ữ õ ú ố ợ ỷ õ tr
ổ ỳ
ớ t t t t



sỷ

X

ởt ổ ỷ õ

ồ t t ợ ồ



B

tr

X

[ (2) (t0 )B] = [

t0

tỗ t

s t ủ

S (2) (t)B]



tt0
t tr

X



[]

õ ừ t


õ r ởt t t

õ õ ởt t tử t
ờ s rt ỳ ự t t t

ờ ỷ õ S(t) t t tỗ t ởt t
t

K

s

lim dist(S(t)B, K) = 0,

t+

ợ ồ t

B

tr

ự
tỷ

K

X

t t ợ ồ



ởt ổ ỗ ỷ õ

B

t tử
ỷ õ

S(t)

ỷ õ
tr

X

õ ởt

t s tữỡ ữỡ

t t

S(t)

ồ

S(t)

tở ợ



A




S(t)

A

ừ

X

ồ ởt t út



ởt t õ

A
A

t tự

S(t)A = A

út ồ t

B

X

t t s ừ t út t ử q trỹ t ừ





sỷ S(t) õ t út t ử A õ


B

ởt t t ừ

X

t

BA

t ỹ

B

ởt t õ út t ừ


õ tr

A

ỡ ỳ

S(t)

ỡ tr

A

t

A

ủ

ừ tt q ừ
t q ữợ r r ở ỹ tr t út t
ử s qt t õ t õ ừ q
r s ởt tớ ừ ợ t ởt q
ừ ữỡ tr ố trổ s ố ữ ởt q õ tr
t út tr ởt tớ ừ

ỵ
A

sỷ ở ỹ



u(t)

ợ ồ

0 t T.

tr ởt tớ ỡ

t ũ q tr t út t ử
q trỹ t ừ

q





A

s


trữợ ởt q

u(t)

tỗ t ởt s số

n

n ợ ồ tn

||vn+1 S(tn+1 tn )vn ||

t tn+1 .
tợ

n

ỹ tỗ t t út t ử
t q s ỡ sỹ tỗ t t út t ử

ỵ
sỷ

S(t)
ừ

S(t)



ỷ õ tử tr ổ

t t t

S(t)

t



ỷ õ

S(t)

S(t)

t

B

ởt t tử t t

õ ởt t út t ử t tổ

A = (B)

ớ t ởt t q tr s ữủ
sỷ ử tr ữỡ s ự t trỡ ừ t út t
ử ữỡ t t




▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✸✳✶✺✳
●✐↔ sû

❬✶✺❪✳

{S(t)}t≥0


s❛♦ ❝❤♦

mes(Ω(|S(t)u0 | ≥ M )) ≤ ,
✈î✐ ♠å✐

e⊂Ω

✈➔

u0 ∈ B

✈➔

tr♦♥❣ ✤â

mes(e)

❦➼ ❤✐➺✉ ✤ë ✤♦ ▲❡❜❡s❣✉❡ ❝õ❛

Ω(|S(t)u0 | ≥ M ) := {x ∈ Ω||(S(t)u0 )(x)| ≥ M }✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳✶✻✳
●✐↔ sû

t ≥ T✱

X

❬✶✺❪✳

X, Y

❬✶✺❪✳

❧➔ ❤❛✐ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✈➔

♥❣➝✉ t÷ì♥❣ ù♥❣✳ ❚❛ ❝ô♥❣ ❣✐↔ sû r➡♥❣
❝õ❛

Y✱

♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉

i:X→Y

❑❤✐ ✤â

{S(t)}t≥0

❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ trò ♠➟t

{S(t)}t≥0

S(t)

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳✶✽✳

i∗ : Y ∗ → X ∗

❧➔ ♠ët ♥û❛ ♥❤â♠ tr➯♥

♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉

Y
Y✳

{S(t)}t≥0

t❤➔♥❤ ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ ❜à ❝❤➦♥ ❝õ❛

X✳


ỷ õ

{S(t)}t0

ữủ ồ tọ

ợ t t
số ữỡ
t

tB

ừ

X

t


t tB



x B,

t

s tữớ ũ ự t trỡ ừ t út t
ử tự ự sỹ tỗ t ừ t út t ử tr ổ
trỡ ỡ ổ ự

ỵ



{S(t)}t0

sỷ

ởt ỷ õ tử tr

tử tử tr
ử tr

Lr ()

õ

Lr ()

Lq ()

t ởt t

M = M ( , B)

T = T ( , B)



B

ừ

Lq ()

tỗ t

s

|S(t)u0 |q < ,



{S(t)}t0

ởt ỷ õ

(|S(t)u0 |M )





{S(t)}t0
{S(t)}t0

õ ởt t tử tr
tọ



(C)

tr

X

X


✶✳✹ ❚➟♣ ❤ót ✤➲✉

✶✳✹✳✶ ❚➟♣ ❤ót ✤➲✉ ❝õ❛ q✉→ tr➻♥❤ ✤ì♥ trà
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✹✳✶✳
ε
●✐↔ sû

✭✐✮✳ ▼ët ❤➔♠

❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤↔♥ ①↕✳

t

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝♦♠♣❛❝t tà♥❤ t✐➳♥ ♥➳✉ ❜❛♦

❧➔ ❝♦♠♣❛❝t tr♦♥❣

ϕ ∈ L2loc (R; ε)

tç♥ t↕✐

||ϕ||2ε ds < ∞.

= sup

L2loc (R; ε)✳

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝❤✉➞♥ t➢❝ tà♥❤ t✐➳♥ ♥➳✉ ✈î✐

s❛♦ ❝❤♦

t+η

||ϕ||2ε ds < .

sup
t∈R

❑➼ ❤✐➺✉

t

✭✐✮✳ ❱î✐ ♠å✐

σ ∈ Hω (g), ||σ||2L2 ≤ ||g||2L2
b

✭✐✐✮✳ ◆❤â♠ ❝❤✉②➸♥ ❞à❝❤

{T (h)}

✭✐✐✐✮✳

T (h)Hω (g) = Hω (g)

✭✐✈✮✳

Hω (g)

✈î✐

b

❀

❧➔ ❧✐➯♥ tö❝ ②➳✉ tr➯♥

h∈R

Hω (g)

❀

q tr tr

X

ợ ồ

ữủ ồ ồ

, {U (t, )|t , R}

q tr ởt ồ ử tở t số tứ

X

Y

ởt

X



tọ

U (t, s)U (s, ) = U (t, ), t s , R,
U (, ) = Id,


tr õ



t

R

(X, Y )

út

(X, Y )

út ừ ồ

A M

t

X ì

{U (t, )}

ởt t õ t t



Y

t




{U (t, )}

trữợ



tr õ

T (h) =

t t

tử tứ

ữủ ồ t

ồ q tr tr

tọ

ợ ồ



út ợ ồ

õ t t

U (t + h, + h) = UT (h) (t, )


ữủ ồ

B B(X), limt+ sup distY (U (t, )B, P ) = 0


q tr



B0 B(Y ) ữủ ồ t (X, Y ) tử

ữủ ồ õ t t

trữợ

R

t tt t ừ

ừ ồ q tr
tỗ t t0

ỗ t ợ

t t õ õ

út t