Page 9
Một số chuyên đề toán 8
Chuyên đề 1: Phép nhân đa thức và các
hằng đẳng thức đáng nhớ
I. Nhân đa thức
1. Khái niệm nhân đơn thức với đa thức
2. Khái niệm nhân đa thức với đa thức
3. Khái niệm về đa thức đồng nhât P(x) và Q(x)
P(x) và Q(x) gọi là đồng nhất nếu P(x)=Q(x) với mọi giá trị của x, Kí hiệu
P(x)

Q(x)
Ví dụ: P(x) = (x+5)(ax
2
+bx+25) và Q(x)=x
3
+125
a) Viết đa thức P(x) dới dạng một đa thức thu gọn theo luỹ thừa giảm dần của x
b) với giá trị nào của a và b thì P(x)=Q(x) với mọi giá trị của x.
Giải
a)P(x)=(x+5)(ax
2
+bx+25) = ax
3
+ bx
2
+ 25x + 5ax
2
+ 5bx + 125
= ax
3

=


=

Phơng pháp: Hai đa thức P(x) và Q(x) đồng nhất nếu khi và chỉ khi mọi hệ số của
các đơn thức đồng dạng chứa trong hai đa thức bằng nhau
Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức:
A = x
4
- 17x
3
+ 17x
2
17x + 20 tại x = 16.
Giải: Cách 1: A= x
3
(x 16) x
2
(x-16) +x(x-16) (x 16) + 4
= 4 ( vì x = 16 nên x 16 = 0)
Cách 2: thay 16 = x vào A ta có: A = x
4
(x+1)x
3
+ (x + 1)x
2
( x + 1)x + x + 4
= x
4

2
3. (a + b)(a b) = a
2
b
2
4. (a + b)
3
= a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
= a
3
+ b
3
+ 3ab(a + b)
5. (a b)
3
= a
3
- 3a
2
b + 3ab
2
- b
3

+ c
2
+ 2ab + 2ac + 2bc
(a + b + c)
3
= a
3
+ b
3
+ c
3
+ 3(a + b)(b + c)(c + a)
a
n
b
n
= (a b)(a
n-1
+ a
n-2
b + .+ b
n-1
)
a
n
+ b
n
= (a + b)(a
n-1
a

2
- 2ab - 2bc - 2ca = 0

(a
2
- 2ab + b
2
) + (a
2
- 2ac + c
2
) + (b
2
- 2bc + c
2
) = 0

(a b)
2
+ (a c)
2
+ (b c)
2
= 0
=> a = b = c (đpcm)
Ví dụ 2: cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng a
3
+ b
3
+ c

2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
) = (ax + by)
2
với x, y khác 0 thì
a b
=
x y
Bài 2. cho a
2
b
2
= 4c
2
. Chứng minh rằng:
(5a - 3b + 8c)(5a - 3b - 8c) = (3a - 5b)
2
Bài 2. Chứng minh rằng nếu (a
2
+ b
2
+ c
2
)(x
2

+ b
2
+ c
2
ab ac bc)
Lời giải
a) Ta có (a + b + c)
3
a
3
b
3
c
3
= a
3
+ (b + c)
3
+ 3a(b + c)(a + b + c) - a
3
b
3

c
3
=
3bc(b + c) + 3a(b + c)(a + b + c) = 3(b + c)(bc + a
2
+ ab + ac) = 3(a + b)(b + c)(c
+ a).

Giải
Từ ax + by +cz = 0; bx + cy + az = 0; cx + ay +bz = 0 ta có:
(a + b + c)(x + y + z) = 0 => a + b + c = 0 => a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc
Bài 5. Chứng minh rằng: a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc. Thì a + b +c = 0 hoặc a = b =c.
Giải
Ta có: a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc

(a + b + c)[(a b)
2
+ (b c)
2
+ (c a)

a b c a b c+ + = + +
hoặc
3
3 3 3
1 1 1 1 1 1
+ + = + +
a b c a b c

ữ

). Chứng minh rằng a
n
+ b
n
+ c
n
= (a + b + c)
n
vơid n lẻ.
Bài 9. Cho x + y + z = a + b + c; x
2
+ y
2
+ z
2
= a
2
+ b
2
+ c

2
+ y
2
b) x
3
+ y
3

Lời giải
a) x
2
+ y
2
= (x + y)
2
2xy = a
2
2b
b) x
3
+ y
3
= (x + y)
3
3xy(x + y) = a
3
3ab
Bài 1. Cho a
3
+ b

2
+ 5x 5) = -(x
2
+ 2.
5
2
x +
25
4
-
25
4
- 5) =
Dạng 4: Tìm x
Ví dụ: Tìm x biết: x
2
3x 4 = 0
Lời giải:
Page 9
Một số chuyên đề toán 8
x
2
2.
3
2
x +
9
4
-
9

+ 81 - 36x
2
= (2x
2
+ 9)
2
(6x)
2
= (2x
2
+ 9 6x)(2x
2
+ 9 + 6x)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử
64x
4
+ y
4
Giải: 64x
4
+ 16x
2
y
2
+ y
4
- 16x
2
y
2

= x
2
(x
2
+ x +1) (x 1)(x
2
+ x + 1)
=(x
2
+ x + 1)(x
2
x + 1)

Bài Tập
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
Bài 1. a) x
4
+ 5x
3
+ 10x 4
Thêm bớt 2x
2
vào biểu thức
x
4
+ 2x
2
+ 5x
3
+ 10x - 4 - 2x

3xyz
= x
3
+ y
3
+ 3xy(x + y)+ z
3
3xyz - 3xy(x + y)
= (x + y)
3
+ z
3
3xy( x + y + z)
= (x + y + z)(x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2xy - xz - yz)
3xy(x + y + z)
= (x + y + z)(x
2
+ y
2
+ z
2
- xy - xz yz)
Page 9
Mét sè chuyªn ®Ò to¸n 8

+ x + 1)[x(x
3
+1)(x-1) + 1]
b) x
8
+ x + 1
Thªm bít x
2
vµo biÓu thøc
x
8
+ x + 1 = x
8
- x
2
+ x
2
+ x + 1
= x
2
(x
6
-1) + (x
2
+ x + 1)
=(x
2
+ x + 1)[x
2
(x

=(x
2
+ x + 1)(x
3
– x + 1)
b) x
10
+ x
5
+ 1
Thªm bít x
2
+ x vµo biÓu thøc
x
10
+ x
5
+ 1 = x
10
– x + x
5
– x
2
+ x
2
+ x +1
=x(x
3
+ 1)(x-1)(x
2

+1 = (x
200
– x
2
) + (x
100
– x
4
)

+ (x
4+x
2
+ 1)
= x
2
( x
198
-1) + x
4
(x
96
- 1) + (x
4+x

4+x
2
+ 1)
= x
4
(x
2
– 1)(x
4
+ x
2
+ 1)A(x) + x
2
(x
2
– 1)(x
4
+ x
2
+ 1)B(x) + (x
4+x
2
+ 1)
= (x

+ x + 1 (Thªm bít x
2
)
d) x
8
+ x
7
+ 1 (Thªm bít x
2
+ x)
e) x
5
- x
4
– 1 (Thªm bít x
2
)
f) x
7
+ x
5
+ 1 (Thªm bít x
2
+ x)
g) x
8
+ x
4
+ 1 (Thªm bít x
2

4
e) 1
2
+ 3
2
+ 5
2
+ + (2n+1)…
2
e) 2
2
+ 4
2
+ 6
2
+ + (2n)…
2
g) 1.2 + 2.3 + 3.4 + . . . + n(n + 1) h) 1.2.3 + 2.3.4 + . + n(n+1)(n+2)…
Híng dÉn:b) 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ +n…
2
Ta cã: (n + 1)
3
= n
3

3
) + 3(1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ +n…
2
) +3(1 + 2
+ 3 + + n) + n…
3(1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ +n…
2
) = (n + 1)
3
–(1 +n) – 3.
(n+1)n
2
=(n+1)(2n
2
+ n):2
= n(n + 1)(2n + 1):2
1
2