BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
MÔN TOÁN LỚP 9
NĂM 2017-2018 (CÓ ĐÁP ÁN)


1. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 9 năm 2017-2018
có đáp án - Phòng GD&ĐT Hòa Bình
2. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 9 năm 2017-2018
có đáp án - Phòng GD&ĐT huyện Thạch Thành
3. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 9 năm 2017-2018
có đáp án - Phòng GD&ĐT Lâm Thao
4. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 9 năm 2017-2018
có đáp án - Phòng GD&ĐT Phù Ninh
5. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 9 năm 2017-2018
có đáp án - Phòng GD&ĐT Quế Sơn
6. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 9 năm 2017-2018
có đáp án - Phòng GD&ĐT Tiền Hải
7. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp thành phố môn Toán 9 năm 2017-2018
có đáp án - Sở GD&ĐT thành phố Hồ Chí Minh
8. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán 9 năm 2017-2018
có đáp án - Sở GD&ĐT Đăk Lăk
9. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán 9 năm 2017-2018
có đáp án - Sở GD&ĐT Hải Dương
10. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán 9 năm 2017-2018
có đáp án - Sở GD&ĐT Lạng Sơn


11. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán 9 năm 2017-2018
có đáp án - Sở GD&ĐT Nghệ An
12. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán 9 năm 2017-2018
có đáp án - Sở GD&ĐT Quảng Bình

 xy z2
Câu 3 (5,0 điểm).
a) cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn x  y  z  2 . Tìm giá trị biểu thức

x2
y2
z2
M


y  z z x x  y
b)

cho

a,

b,

c

>

0

và

a  b  c  3.

Chứng

Đề chính thức (Gồ

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 C P HUYỆN
MÔN: TOÁN

NĂM HỌC 2017 – 2018
Ngày thi 09/10/2017
(Thời gian: 150 phút không tính thời gian phát đề)

0 trang)

Bài 1: (4 điểm). Cho biểu thức:
 1
1 
2
1
A  

.
 
y  x  y x
 x

3
3
1 x  y x  x y  y
:
; (x > 0; y > 0).
y 
x 3 y  xy 3

a) Chứng inh: AD2 = DH.DE; AH.DC = AF.DH
b) Xác ịnh vị trí của các iể E và F ể di n tích ta giác DHC g p 4 lần
di n tích ta giác AHF
c) Chứng

inh rằng Sin

DHC
DC

2
DH  HC

Bài 5: (4 điểm).
a) Cho ba số x; y; z  0 th a

ãn

1 1 1
  0
x y z

 xy yz zx

Tính giá trị của biểu thức: P   2  2  2  4 
x
y
z



Điểm

a)
 1


x3 
1
2
1
1
.
A  

  :
y  x  y x y 
 x
 x y
2
x y x x  y x x

.

 :

xy
xy
x

y

x



y

y

xy

yy y
0,5

xy

0,5

0,5

(*)

4  2 2 





4  2 2 

2

2

2



0,5

4  2 2 

2





y  2 4  2 2  (4  2 2)   8

0,5
8 8 4 2
1


8
8.8
2

Thay x  8; y  8 vào (*) ta ược A 



xy  0

xy
2

16
16

Vậy MinA = 1 khi x = y = 4 (thoả
a) 1  x  (2x  5)  6  x (1)

0,25
 1 (v xy = 16)

0,5

ãn ĐK ề bài)

0,25

1  x  0
5

x
ĐKXĐ 6  x  0
(**)
2
 (2 x  5)  0



Điều i n: x  1

0,25

(2) 

0,5





x 1 1



x  x  x  1 1  0
3

2


 x 1  1
x  2


3
2
x0
 x  x  x  1  1 


0,5
0,25
0,25
0,5

x  3  7
x  4

7  y  3  y  4

Vì x    nên x  3  4 t ( ) suy ra 

 x  3  21  x  18

7

y

1

y  6

ho c 

Vậy phương tr nh ã cho c hai nghi nguyên dương là:
( x; y)  (4;4) ; ( x; y)  (18;6)
- Học sinh vẽ h nh úng

A

 AD 2  DH .DE
Vậy ADE
HD DA
HDA
T ADE
AD AE
DC AF



ta có
(1) (do AD = DC; AE = AF (gt))
HD HA
HD HA
t hác HDC  ADH  900 ; HAD  HDA  900
suy ra HDC  HAD (2)
T ( ) và (2) suy ra HAF
HDC (c.g.c)
AH AF


 AH .DC  AF .DH
DH DC
AHF
b) Theo chứng inh câu a DHC
2

nên ta có

0,5

c) Vẽ ường phân giác HM của ta

1
AB (hay E; F lần lượt là trung
2

giác DHC, theo tính ch t ường phân giác

DM MC
DM DM  MC
DC




HD HC
HD
HD  HC HD  HC
Vẽ DI  HM ( I  HM ) suy ra DI  DM
Xét IHD có HID  900 ;
DI
DHC DI DM
DC
Do
hay Sin
SinDHI 



HD


  1

2017

0,5
0,5
0,25
0,5

1 1 1
3
1 1
1 1 1
1
 3 3      3  3  3  3 
3
x
y
z
xyz
x
y
xy  x y 
z
yz xz xy
 2  2  2 3
x
y
z

a2
b 1
a2 b 1
a

2
.
 2.  a (1)
b 1
4
b 1 4
2
2
b
c 1

 b (2)
Tương t ta c :
c 1
4
c2
a 1

 c (3)
a 1
4

0,25
0,25
0,25

t hác c ng theo b t ẳng thức Cauchy ta c :
a  b  c  33 abc  33 1  3 (5)

0,25

a2
b2
c2
3.3  3 3




b 1 c 1 a 1
4
2
ảy ra khi a  b  c  1

0,25

T (4) và ( ) suy ra
u

Chú ý: - Học sinh là cách hác úng ở mỗi bài vẫn cho iểm tối a
- Bài 4 học sinh vẽ hình sai ho c không vẽ hình thì không ch

0,25

iểm.



D.

1
 x  25
2

D.4

Câu 3. Cho x  5  2 6  5  2 6 thì giá trị biểu thức N  x  3x  2008 là
A.2017
B.2018
C.2019
D. 2020
3

3

3

2
3

1
và trục Ox là:
2
A. 146019/
B. 330 42/
C. 146030/
D. 33069/

A. m  2
B. m  2
C. m  4
Câu 8. Cho hệ phương trình : 

D. m  4

 x  y  2(m  1)
2 x  y  m  8

Câu 9. Cho hệ phương trình 

Hệ có nghiệm duy nhất  x; y  thì giá trị nhỏ nhất của x 2  y 2 là:
A.-2
B. 20
C.16
D.18


Câu 10. Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH kẻ HD AB, HE AC
(H  BC, D  AB,E  AC) thì AD.BD+AE.EC bằng:
B. BC2
A. DE 2
C. AH2
D. 2AH2
Câu 11. Một tam giác vuông có tỉ số hai cạnh góc vuông bằng

4
thì tỉ số hai hình chiếu của hai cạnh
9

21
35

D.

9
4

3
. Khi đó tanB là :
5
35
D.
21


Câu 13.. Cho tam giác đều có độ dài cạnh là a thì độ dài bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác
đó là:
A.

a
3

B.

a 3
6

C.


C. 30cm
D. 35cm
Câu 16. Nêú bạn An đi lên môt thang cuốn tốc độ là 1 bước trên giây thì bạn An sẽ đến đỉnh thang
trong 10 bước nêú bạn An tăng vận tốc lên 2 bước trên giây thì sẽ lên tới đỉnh thang trong 16 bước .
Hỏi thang cuốn có bao nhiêu bước.
A. 30
B. 40
C. 50
D. 60
II. PHẦN TỰ LUÂN( 12 điểm)
Câu 1 (3,0 điểm).
a) T×m nghiÖm nguyªn cña ph-¬ng tr×nh :

1  x  x 2  x3  y 3
b) Tìm tất cả các số nguyên x sao cho giá trị của biểu thức x 2  x  6 là một số chính phương

Câu 2 (3,5 điểm)
a)Giải phương trình: 2 x2  5x  5  5x  1

 x 2 y 2  1  10 y 2
b) Giải hệ phương trình : 
 xy  x  1  7 y
Câu 3 (4,0 điểm) .
1.Cho đường tròn tâm O bán kính R đường kính AB. T hai điểm A và B kẻ hai tia tiếp tuyến
Ax và By với n a đường tròn , điểm M thuộc n a đường tròn (sao cho tia Ax, By và n a đường tròn
chứa điểm M cùng nẳm trên n a mặt phẳng bờ AB ). Qua điểm M kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt các tia tiếp
tuyến Ax và By l n lư t ở C và D, Gọi giao điểm của AD và BC là K, MK và AB là H.
a) Chứng minh MK vuông góc với AB và MK=KH.
b) ẽ tam giác vuông cân MBE đỉnh B ra phía ngoài n a đường tròn (O) (BE và BD cùng n a
mặt phẳng bờ AB). Chứng minh rằng khi M di chuyển trên n a đường tròn đường kính AB thì đường


4.A

5.D

6.A

7.C

8.B

9.D

10.A,C

11.B

12.A

13.D

14.C

15.B

16.B

II.PHẦN TỰ LUẬN(12 điểm )
Câu 1 (3,0 điểm)
a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 1  x  x 2  x3  y3

x3   x 2  x  1  1  x  x 2  x 3   8  12 x  6 x 2  x 3    5 x 2  11x  7 
3

vì x, y  Z mà y 3  1  x  x 2  x3
Suy ra

x  0
 1  x  x 2  x 3  x  x  1  0  
 x  1
Voi x  0  y  1
Voi x  1  y  0

 x  1

Vay

3

0,5

 x; y   0;1 ;  1;0 

b) (1,5 điểm)

x 2  x  6  n 2 ;(n, x  Z )  4 x 2  4 x  24  4n 2  4 x 2  4 x  1  4n 2  23

 2 x  1  2n  2 x  1  2n   23;2 x  1  2n  2 x  1  2n
2 x  1  2n
2 x  1  2n
4x  2

5
2
2 x  5 x  5  5 x  1  2  x 2  3x  2   x  1  5 x  1  0

ĐIỂM

a)( 1,5 điểm) ĐKXĐ x 

 2  x 2  3x  2  

 x  1

2





5x  1

x  1  5x  1



0,5

2

0



 2 1
1
x
x


10
 x    2  10
2

y


y
y
0,5
(I )  
 
x
1
x 1
x    7

x

 7


y y

ới 
=> x và
là 2 nghiệm của phương trình t 2  4t  3  0   t  1 t  3  0  
y
P  3
t  3

x  1
x  1


* 1

1
 y  3  y  3

x  3
x  3

* 1

 y 1 y 1


4


 S  6
1
suy ra x và

4
ha2  hb2  hc2

.

F

D

E

M
C
K
A

H

B

O

N
ĐÁP ÁN

ĐIỂM

5




KH MK

 MK  KH
AC AC

1,0

b)( 1 điểm )Gọi F là giao điểm của tia By và đường thẳng đi qua E và song song với
MB. Ta có BEF = 90 0 .
Chứng minh tam giác AMB và tam giác FEB bằng nhau ( g-c-g)
 AB = BF=2R  BF không đ i,
F thuộc tia By cố định  F cố định.

0,5

ậy khi M di chuyển trên n a đường tròn đường kính AB thì đường thẳng đi qua E và
song song với MB luôn đi qua điểm cố định F.

0,5

c) ( 1 điểm)
D

c

ha

A


a

2

2
a

2

2

0,5

Tương tự 4hb2   a  c  b  b  c  a  ,(2);4hc2   a  b  c  b  c  a  ,(3)
T (1);(2);(3) ta có:

6


4ha2  4hb2  4hc2   a  b  c  b  c  a  a  c  b  a  b  c    a  b  c 

a  b  c


2

2

ha2  hb2  hc2


18153
8
8
2

 17849
 19  a  b  c  


Q
abc
a  b  c a  b  c  a  b  c


0,5

0,5

Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có

P  Q  19.3 3  a  b  c  .
2

8
8
17849
17849 18305
.

 228 



D C
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2017 - 2018
MÔN: TOÁN
Thời gian: 135 phút không kể thời gian giao đề
ề thi có: 03 trang
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)
Hãy chọn phương án trả lời đúng và ghi vào Tờ giấy thi (Ví dụ: 1 - D)
Câu 1. ếu phương trình
A. 0;
Câu 2.

1  x 

B. 1;

 m  0 có nghiệm thì giá trị của m là:

2

C. - 1;

D. - 2.

 x  1 x  5  3

ọi a là nghiệm của phương trình:

1  x  0 với x  1 thì

;0) .
2

C) Các điểm E( 5; 4 5), F(1; 2  5) thuộc đồ thị hàm số.
D) Các điểm G( 2; 2 2  5), H(1; 5  2) không thuộc đồ thị hàm số.
Câu 5. hương trình 4 x 2  1 có nghiệm là:
A) x  

1
4

B) x 

1
2

C) x  

1
2

1
2

D) x  

 x  y  xy  5
Câu 6. iải hệ phương trình  2
. ập nghiệm của hệ phương trình là?
2

Câu 9. Cho tam giác ABC có AB = 10cm; AC = 15cm. Một đường thẳng đi qua M
thuộc cạnh AB và song song với BC, cắt AC ở , sao cho A = BM, khi đó độ dài
của đoạn AM là:
A. 3cm
B. 6cm
C. 5cm
D. 4cm
Câu 10. Một tam giác vuông có cạnh góc vuông lớn dài gấp 3 lần cạnh góc vuông
nhỏ và diện tích là 24 cm2 khi đó số đo cạnh huyền là
A. 13 cm
B. 12 cm
C. 4 10
Câu 11. Cho tam giác ABC có Â = 900, A
Kết quả nào sau đây là sai:
A) cos C =

AH
AC

D. 2 10
vuông góc với BC, sinB = 0,6.

; B) cos C = sin HAC; C) cos C = 0,6 ; D) cos C =

CH
AC

Câu 12. Cho ường tròn ( ;R) . Một dây cung của đường tròn có độ dài bằng
bán kính R . Khoảng cách từ tâm đến dây cung nầy là : ( Chọn câu đúng )
A. R 2 ;

C. 5,25 cm
D. 5,5 cm
Câu 15. Cho  ABC vuông tại A , đường cao A . ọi (O; r ) , (O1; r1 ) , (O2 ; r2 ) theo
thứ tự là các đường tròn nội tiếp các  ABC,  ABH,  AC . Khẳng định nào sau
đây là đúng:
A. O, O1, O2 thẳng hàng
B. r  r1  r2  AH
D. Cả ba khẳng định trên đều sai.

C. r12  r22  r 2

Câu 16. Ba bạn học sinh am, Bắc, rung làm bài kiểm tra môn Toán đạt các
điểm khác nhau là 8, 9, 10. Biết rằng trong 3 mệnh đề:
a) am đạt điểm 10;
b) Bắc không đạt điểm 10; c) rung không đạt điểm 9.
Chỉ có một mệnh đề đúng. Khi đó điểm kiểm tra Toán của từng bạn là:
A. Bắc 10, rung 9, am 8
B. Bắc 10, rung 8, am 9
C. Bắc 8, rung 9, am 10
D. Không xác định được.
II. PHẦN T

LU N (12 điểm)

Câu 1. (3,0 điểm)
a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có: A = 7.52n + 12.6n chia hết
cho 19

2


Câu 3. (4,0 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm đường kính BC. ọi A là một điểm cố định trên
nửa đường tròn (A  B;C ), D là điểm chuyển động trên AC. ai đoạn thẳng BD
và AC cắt nhau tại M, gọi K là hình chiếu của M trên BC.
a) Chứng minh M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADK.
b) Chứng minh rằng BM.BD + CM.CA không đổi khi D di chuyển trên
AC.
c) Khi D di chuyển trên AC ( D  C), chứng minh đường thẳng DK luôn đi
qua một điểm cố định.
Câu 4. (2,0 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 2x + 1  4 x  5x 2 với -1 ≤ x ≤

1
5

……………… Hết ……….…….
Cán bộ coi thi không cần giải thích gì thêm./

Họ và tên thí sinh:……………………………………..SBD:……………

3


D C
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2017 - 2018
MÔN: TOÁN
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)
Mỗi câu trả lời đúng cho 0,5 điểm
Câu


15

16

C B,C B

D

C

B,C

B

A

C

A

C

LU N (12 điểm)

Câu 1. (3,0 điểm)
a) Với n = 0 ta có A(0) = 19 19
iả sử A chia hết cho 19 với n = k nghĩa là: A(k) = 7.52k + 12.6k 19
a phải chứng minh A chia hết cho 19 với n = k + 1 nghĩa là phải chứng
minh:

2

Vậy:
n = 45 – 24 = 2001
Câu 2. (3,5 điểm)

0,50
0,25

a) iải phương trình: x2  2015x  2014  2 2017 x  2016
2016
iều kiện x 
2017
 hương trình đã cho tương đương với

x2  2 x  1  2017 x  2016  2 2017 x  2016  1  0

  x  1 
2





2

2017 x  2016  1  0


x 1  0

0,75



ính giá trị của biểu thức B  x21  y 21 y11  z11 z 2017  x2017



1


1 1 1
1 1 
1
 :
 1     x  y  z  1
 x y z  x yz 
x y z

Ta có:  

 (yz + xz + xy)(x + y + z) = xyz
2
2
2
2
2
2
 xyz + zy + yz + zx + xyz + xz + yx + xy + xyz = xyz
2

O

C

I

a. Tứ giác MKCD nội tiếp  MDK  MCK

0,25

ADB  ACB

(hai góc nội tiếp (O) cùng chắn AB )  MDK  MDA hay DM
là phân giác của tam giác ADK.
ương tự chứng minh được AM là phân giác của tam giác
ADK. Vậy M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADK
b. Hai tam giác BMK và BCD đồng dạng


BM
BK



BC

 BM.BD  BK.BC
BD

ương tự ta có CM.CA  CK.CB

I cố định.

0,5
0,5

Câu 4. (2,0 điểm)
A  2x 

1  4 x  5 x 2 = 2x + ( x  1)(1  5x)
1
với 1  x  có (x 1)  0 và 1 5x  0
5

0,5
0,25

Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số (x 1) và 1 5x không âm
Có ( x  1)(1  5x) 

( x  1)  (1  5 x)

0,5

 1 2x

2

A  2x 1 2x  A 1
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1