5 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
MÔN TOÁN LỚP 7
NĂM 2017-2018 (CÓ ĐÁP ÁN)


1. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 7 năm 2017-2018
có đáp án - Phòng GD&ĐT Hậu Lộc
2. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 7 năm 2017-2018
có đáp án - Phòng GD&ĐT huyện Than Uyên
3. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 7 năm 2017-2018
có đáp án - Phòng GD&ĐT huyện Trực Ninh
4. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 7 năm 2017-2018
có đáp án - Phòng GD&ĐT huyện Vĩnh Bảo
5. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 7 năm 2017-2018
có đáp án - Phòng GD&ĐT Tam Dương


PHÒNG GD&ĐT
ĐỀ HSG TOÁN 7

ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI
MÔN: TOÁN 7
NĂM HỌC 2017 – 2018
Ngày thi: 26/3/2018
(Thời gian làm bài: 120 phút)

Bài 1. (4,0 điểm).
13
19  23
2
8

Tính giá trị biểu thức Q, biết Q =



cd d a ab bc

a) Cho dãy tỉ số bằng nhau:

x
y
z
t
với x, y, z, t là các số



x y z x yt y zt x zt
tự nhiên khác 0. Chứng minh M 10  1025 .

b) Cho biểu thức M 

Bài 4. (6,5 điểm).
1) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm BC, D là điểm thuộc
đoạn BM (D khác B và M). Kẻ các đường thẳng BH, CI lần lượt vuông góc với đường
thẳng AD tại H và I. Chứng minh rằng:
a) BAM = ACM và BH = AI.
b) Tam giác MHI vuông cân.
2) Cho tam giác ABC có góc  = 900. Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Tia
phân giác của góc HAC cắt cạnh BC ở điểm D và tia phân giác của góc HAB cắt cạnh
BC ở E. Chứng minh rằng AB + AC = BC + DE.

 1 => 2 x  7  1
2
2
a) 2,0 đ => 2 x  7  1 hoặc 2 x  7  1

+ Ta có 2 x  7 

=> x  4 hoặc x  3
Vậy x  4 hoặc x  3 .
+ Biến đổi được 3n.(31  4)  13.35
n
6
b) 1,0 đ => 3  3
=> n = 6
KL: Vậy n = 6
Bài 3.

2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d



a
b
c
d
2a  b  c  d
a  2b  c  d
a  b  2c  d
a  b  c  2d
1 

0,25
0,25
0,25
0,25
4,5 đ

+ Biến đổi:

a)
(2,5 đ)

+ Nếu a + b + c + d = 0
thì a + b = - (c + d); b + c = - (d + a); c + d = - (a + b); d + a = - (b + c)
=> Q = (-1) + (-1) + (-1) +(-1) = - 4
+ KL : Vậy Q = 4 khi a + b + c + d  0
Q = - 4 khi a + b + c + d = 0

0,5

0,25
0,25
1,0
0,25
0,25


+ Ta có:

x
x

)
xy xy
zt zt

0,25

=> M < 2

0,5
0,25

+ Có M10 < 210 (Vì M > 0) mà 210 = 1024 < 1025
Vậy M10 < 1025
A

I

Bài 4.
0,25
D
B

M

C

H

1.a/
2,75 đ

(*)

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25


AMB  AMC  900
+ Lập luận được: HMI  900

(**)

0,25
0,25

Từ (*) và (**) => MHI vuông cân
A

0,25
2)
1,5đ

B

E

H

0,50
0,25
0,25
0,50
0,25
0,25
0,50
0,25


PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN THAN UYÊN

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7
NĂM HỌC 2017 - 2018
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm có 01 trang)

Câu 1. (4,0 điểm)
 2

3  193 33   7

11  1931 9 

a) Thực hiện phép tính: A  


n2  1
b) Chứng tỏ rằng S =    ...  2 không là số tự nhiên với mọi n  N, n >
4 9 16
n

2.
c) Tìm tất cả các cặp số nguyên x, y sao cho: x - 2xy + y = 0.
Câu 4 (5,5 điểm).
Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của CB lấy
điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB và AC
lần lượt ở M và N. Chứng minh rằng:
a) DM = EN.
b) Đường thẳng BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN.
c) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn luôn đi qua một điểm cố định khi D
thay đổi trên cạnh BC.
Câu 5 (2,5 điểm).
Trong hình bên, đường thẳng OA là đồ thị của
hàm số y = f(x) = ax.
a) Tính tỉ số

y0  2
.
x0  4

b) Giả sử x0 = 5. Tính diện tích tam giác OBC

------------------------------------------------------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm – SBD: ……………


PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO


3 193 33

2

3

33

 
.

.

 
=
=1

  =
.
 193 386  17 34  193 17 386 17 34 17 34 34

a



1931 9 




0,75
0,5

(-5)B =
(-5)1 + (-5)2 + (-5)3 + … + (-5)2016 + (-5)2017 + (-5)2018.
B = (-5)0 + (-5)1 + (-5)2 + (-5)3 + … + (-5)2016 + (-5)2017.
2018
-1
b Do đó: (-5)B – B = (-6)B = (-5)
2018
2018
(5)  1 1  5
Vậy B =
=
4
4
Câu 2 (4,0 điểm).
a) Tìm a, b, c biết

0,75

0,5
0,75
0,75

12a  15b 20c  12a 15b  20c


và a + b + c = 48.
7

20c  12a
 0  20c  12a 
12 15 20

9
và a + b + c = 48
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
a
b
c
a bc
48



=
= 24
1
1
1
1 1 1
1
 
12 15 20 12 15 20 5
a
b
c
 240  a  20
 240  b  16
 240  c  12

18
18
18
7 6 5
18
18
Số đất sau đó chia cho ba đội I, II, III lần lượt là a’, b’, c’ (m3) ĐK: a’,b’,c’ > 0.
a ' b ' c ' a ' b ' c ' x
6x
5x
4x
  

 a '  ;b '  ; c ' 
Ta có:
(2)
15
15
15
6 5 4
15
15
So sánh (1) và (2) ta có: a < a’; b = b’ ; c > c’ nên đội I nhận nhiều hơn lúc đầu.
x
7 x 6x
 4  x  360
 =6 
Vì a – a’ = 6 hay
90
18 15

 x  2017  2019  1

1
| x  2017 | 2019
| x  2017 | 2019
Biểu thức C đạt giá trị nhỏ nhất khi | x  2017 | 2019 có giá trị nhỏ nhất

0,25

Mà | x  2017 | ≥ 0 nên | x  2017 | 2019 ≥ 2019.

0,25

C=

Dấu “=” xảy ra khi x = 2017  C =

= 1

2018
.
2019

2018
khi x = 2017.
2019
3 8 15
n2  1
22  1 32  1 42  1
n2  1

1 1
1
1
1
1
1
1
Nhận xét: 2

0,25
0,25

0,25

0,25
0,25

0,25
0,25
0,25
0,5


 (1 – y) + x(1 – y) = 1
 (1 + x)(1 – y) = 1
Ta có: 1 = 1.1 = (-1).(-1)
Ta có bảng:
1+x
1
-1
1–y
1
-1
x
0
-2
y
0
2

GTKL
0,5

a

b

c

∆MDB = ∆NEC (g.c.g)
 DM = EN (cặp cạnh tương ứng)
 MB = NC (cặp cạnh tương ứng)
Ta có:
∆MDI vuông tại D: DMI  MID  900 (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)
∆NEI vuông tại E: ENI  NIE  900 (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)
Mà MID  NIE (đối đỉnh) nên DMI = ENI
∆MDI = ∆NEI (g.c.g)
 IM = IN (cặp cạnh tương ứng)
Vậy BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN
Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC.
∆AHB = ∆AHC (cạnh huyền.cạnh góc vuông)

0,75
0,25

0,5
0,75
0,25
0,25
0,25

2
2
Hai điểm A và B thuộc đồ thị hàm số nên hoành độ và tung độ của chúng tỉ
lệ thuận với nhau.
Suy ra
Vậy

y0 1 2 y0  2
  
(theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)
x0 2 4 x0  4

1
y0  2
= .
x0  4
2

1
5
x0 = = 2,5.
2
2
Diện tích tam giác OBC là:
1
b
Áp dụng công thức S = (a.h) ta có:
2
1
SOBC = . 5. 2,5 = 6,25.

Thi ngày 04 tháng 4 năm 2018

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề)

(Đề thi gồm 01 trang)

------------------------------Bài 1 (4,0 điểm)
a) Thực hiện phép tính :

212.35  46.92

 2 .3
2

6

 8 .3
4

5



510.73  252.492

125.7 

3

Biết f (0)  0; f(1)  2017; f (1)  2018 . Tính a,b,c?
Bài 3 (3,0 điểm)
a) Cho

a c
b2  a 2 b  a
 . Chứng minh rằng 2 2 
c b
a c
a

b) Tìm 1 số có 3 chữ số biết rằng số đó chia hết cho 18 và các chữ số của nó tỉ lệ với 1,
2 và 3
Bài 4 (8,0 điểm.) Cho ABC vuông tại A (AB > AC). Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho
BD = AC. Trên đường vuông góc với AB tại B lấy điểm E sao cho BE = AD (E và C nằm
trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB).
1) Tam giác CDE là tam giác gì ?
2) Trên AC lấy điểm F sao cho CF = AD. Gọi giao điểm của BF và CD là O. Chứng
minh COF  450 .
3) Trên BF lấy điểm P sao cho FCO  OCP . Kẻ FH  CP( H  CP) . Chứng minh:
a) HO là tia phân giác của FHP
b) Chứng minh: OH + OC > HF + CF.
Bài 5(2,0đ)
2
Tìm x, y  N biết: 36  y 2  8  x  2018

-------------------HẾT-------------------Họ và tên thí sinh:……………..……............…… Họ, tên chữ ký GT1:……………………..
Số báo danh:……………….……..............……… Họ, tên chữ ký GT2:……………………..



3

125.7 

2

3

 59.133

212.35  212.34 510.73  54.74
 12 6 12 5  9 3 9 3
2 .3  2 .3 5 .7  5 .13
4 3
6
212.34  3  1 5 .7  5  7 
 12 5

2 .3  3  1 59.73 1  23 

Bài 1
(4đ)

Điểm

2

0,5

0,5

1
1
1
Đặt A  2  4  ...  4 n2  4n  ...  98  100
7 7
7
7
7
7
1
1
1
1
1
Ta có 49 A  1  2  ...  4 n4  4 n2  ...  96  98
7
7
7
7
7
1
Suy ra : 50 A  1  100  1
7
1
Vậy A 
50

0,5

0,5

0,25
0,25

Bài 2
(3đ) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi :
1
2
1
x  ; y  ;z 
2
3
2

0,5

KL

0,25

b) (1,5đ)Cho đa thức f (x)  ax  bx  c
Biết f (0)  0;f(1)  2017; f (1)  2018 . Tính a,b,c.
Tính được f(0) = c  c  0
2

f (1)  a  b c  a  b c  2017  a  b  2017
f (1)  a  b c  a  b c  2018  a  b  2018

0,25
0,25
0,25

c b
b2  c 2 b 2  ab b  a  b  b
Khi đó : 2 2  2


a c
a  ab a  a  b  a

Từ

0,25
0,5

b2  c 2
b
1  1
2
2
a c
a
2
2
b a
ba
Hay 2 2 
a c
a

0,25



a+b+c=18
Suy ra

a b c
   3  a  3, b  6, c  9
1 2 3

0,25

Do số cần tìm chia hết cho 18 nên chữ số cuối là chẵn
KL : Ta chọn 396 và 936
B

0,25
0,25

E

P

Bài 4
(8đ)
D
O

H

I
A

Do đó: BDE  CDA  900

0,25 đ

Từ đó suy ra: CDE  900
 CDE vuông tại D (2)

0,5 đ

Từ (1) và (2) suy ra CDE vuông cân tại D

0,25 đ

CDE vuông cân tại D  DEC  DCE  450

0,25 đ

Chứng minh: BE // AC
Suy ra: EBC  FCB

0,5 đ

Chứng minh: BEC  CFB ( vì có BE = CF (cùng bằng AD), EBC  FCB và
BC là cạnh chung)

0,5 đ

Suy ra BCE  CBF
Do đó BF // CE


1
2

Do đó: AFO  AFH

0,5 đ

Hay FO là tia phân giác của AFH
CFH có đường phân giác của góc C và đường phân giác của ngoài tại đỉnh F

0,5 đ

cắt nhau tại điểm O
Nên đường phân giác của góc ngoài tại đỉnh H của CHF cũng phải đi qua O
Tức là HO là tia phân giác của FHP

3b)
2,0
điểm

Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với OF tại I, cắt AC tại M.
Chứng minh: FIM  FIH ( g.c.g )

0,5 đ

Suy ra: MI = HI, FM = FH
Do đó OM = OH (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)

0,5 đ



Bài 5
(2đ)

2

2

2

 x  2020
 x  2016

Với  x  2018  4  
2

0,25

 y 4 y  2
2

Với  x  2018  0  x  2018; y 2  36  y  6
KL
2

0,25
0,25


UBND HUYỆN VĨNH BẢO

1  0,875  0,7  2018
9 11
6


b) Tìm x, biết: 2017  x  2018  x  2019  x  2 .
Câu 2 (3,0 điểm)
a) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện:
a bc bca ca b


c
a
b
 b  a  c 
Hãy tính giá trị của biểu thức: B  1  1  1   .
 a  c  b 
b) Cho hai đa thức: f (x)  (x 1)(x 3) và g(x)  x 3  ax 2  bx  3
Xác định hệ số a;b của đa thức g(x) biết nghiệm của đa thức f (x) cũng là nghiệm
của đa thức g(x) .
c) Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn: x  y  z  xyz .
Câu 3 (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A, BH vuông góc AC tại H. Trên cạnh BC lấy điểm
M bất kì (M khác B và C). Gọi D, E, F là chân đường vuông góc hạ từ M đến AB,
AC, BH.
a) Chứng minh: ∆DBM = ∆FMB.
b) Chứng minh khi M chạy trên cạnh BC thì tổng MD + ME có giá trị không đổi.
c) Trên tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho CK = EH.
Chứng minh BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng DK.
Câu 4 (1,0 điểm)


0,4



0,25


9 11  3
5  : 2017
a) Ta có: M  

7 7
1
 1,4  
1  0,875  0,7  2018
9 11
6


1 1 1 
2 2 2
 5  9  11 3  4  5  2017


:
7 7 7 7 7 7  2018
  
  
 5 9 11 6 8 10 

1
c
a
b
a bc
a bc
bca
cab

1 
1
1 2
c
a
b
ab bc ca



2
c
a
b
 b  a  c 
Câu 2
Mà: B  1  1  1  
 a  c  b 
 a  b  c  a  b  c 
B



Từ đó HS biến đổi và tính được: a  3; b  1
c) Vì x, y,z  Z nên giả sử 1  x  y  z
1
1
1
1
1
1
3
Theo bài ra: 1 


 2 2 2 2
yz yx zx x
x
x
x
2
Suy ra: x  3  x  1
Thay vào đầu bài ta có:
1  y  z  yz  y  yz  1  z  0

0,5

0,25

 y 1  z   1  z   2  0
  y  1 z  1  2
y  1  1 y  2

A

H
D

E

F

C Q
B P

Câu 3

M I

K

a) Chứng minh được ∆DBM = ∆FMB (ch-gn)
b) Theo câu a ta có: ∆DBM = ∆FMB (ch-gn)  MD = BF (2 cạnh
tương ứng) (1)
+) C/m: ∆MFH = ∆HEM  ME = FH (2 cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: MD + ME = BF + FH = BH
BH không đổi  MD + ME không đổi (đpcm)
c) Vẽ DPBC tại P, KQBC tại Q, gọi I là giao điểm của DK và BC
+) Chứng minh: BD = FM = EH = CK
+) Chứng minh: ∆BDP = ∆CKQ (ch-gn)  DP = KQ (cạnh tương ứng)
+) Chứng minh: IDP  IKQ ∆DPI = ∆KQI (g-c-g) ID = IK(đpcm

1,0

Câu 4
Suy ra IAC  ICA = .1200 = 600  AIC = 1200
2
Do đó AIE  DIC = 600
Trên cạnh AC lấy điểm F sao cho AF = AE
Xét  EAI và  FAI có:
AE = AF
EAI  FAI
AI chung
Vậy  EAI =  FAI (c-g-c)
suy ra IE =IF (hai cạnh tương ứng) (1)
AIE  AIF = 600  FIC  AIC  AIF = 600
Chứng minh  DIC =  FIC (g-c-g)
Suy ra ID = IF (hai cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) suy ra  IDE cân tại
1
1
1
1
Có Sn  1  2  1  2  1  2  ...  1  2
1
2
3
n
1 1
1
 (n  1)  ( 2  2  ...  2 )
2 3
n
1 1


0,25

0,25
0,25

0,25

0,25

0,25
0,25


PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC

GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2017-2018
ĐỀ THI MÔN: TOÁN 7

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi này gồm 01 trang

Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay!
104.81  16.152
Câu 1. (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức sau: A 
44.675

Câu 2. (2,0 điểm) Tìm ba số x, y, z thỏa mãn:

Biết rằng: f  0   2018 , f 1  2019 , f  1  2017 . Tính f  2019  .
Câu 6. (2,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q =

27  2 x
(với x là số nguyên).
12  x

Câu 7. (2,0 điểm) Tìm các số nguyên dương a, b, c thoả mãn a3+ 3a2 +5 = 5b và a + 3 = 5c
Câu 8. (2,0 điểm) Cho góc xOy bằng 600. Tia Oz là phân giác của góc xOy. Từ điểm B bất kì trên
tia Ox kẻ BH, BK lần lượt vuông góc với Oy, Oz tại H và K. Qua B kẻ đường song song với Oy cắt
Oz tại M. Chứng minh rằng BH=MK.
Câu 9. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Điểm M nằm bên trong tam giác sao cho
MA=2cm, MB=3cm và AMC  1350 . Tính MC.
Câu 10. (2,0 điểm) Từ 200 số tự nhiên 1; 2; 3;...; 200, ta lấy ra k số bất kì sao cho trong các số vừa
lấy luôn tìm được 2 số mà số này là bội của số kia. Tìm giá trị nhỏ nhất của k.
-------------HẾT-----------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Họ và tên thí sinh: .................................... Số báo danh: ...............Phòng thi: .......


PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG

HƯỚNG DẪN CHẤM GIAO LƯU CHỌN HSG

Năm học: 2017 – 2018
Môn Toán – Lớp 7
Hướng dẫn chung:
-Học sinh giải theo cách khác mà đúng, đảm bảo tính lôgic, khoa học thì giám khảo vẫn cho điểm
tối đa.
-Câu hình học, học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai phần nào không chấm điểm phần đó.
Nội dung

2 .3 3

2

x 2 y 2 z 2 2 x 2 2 y 2 3z 2 2 x 2  2 y 2  3z 2  100
x y z







4
Từ
  ta suy ra:
9 16 25 18
32
75
 25
 25
3 4 5
 x  6

2
 y  8
 x  36
 x  10
 2
Suy ra:  y  64  


Khi đó tính được: M = 24.

Điểm

4

2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d



a
b
c
d
2a  b  c  d
a  2b  c  d
a  b  2c  d
a  b  c  2d
1 
1 
1 
1
Suy ra :
a
b
c
d
a bc  d a bc d a b c d a b c d


0,5

0,5

0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5

Từ:

4

0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25


KL: ......

5

Xét x =0: f (0)  2018  c  2018

có tử và mẫu là các số nguyên dương, tử không đổi nên phân số có
12  x

Ta có:

6

Q=

giá trị lớn nhất khi mẫu là số nguyên dương nhỏ nhất.
Hay 12  x  1  x  11
Suy ra A có giá trị lớn nhất là 5 khi x =11

7

Do a  Z+  5b = a3 + 3a2 + 5 > a + 3 = 5c
Vậy 5b > 5c  b>c  5b  5c
Hay (a3 + 3a2 + 5)  (a+3)
2
 a (a+3) + 5  a + 3
Mà a2 (a+3)  a + 3  5  a + 3
 a + 3  Ư (5)
Hay: a+ 3  {  1 ;  5 } (1)
Do a  Z+  a + 3  4
(2)
Từ (1) và (2) suy ra a + 3 = 5  a =2
Từ đó tính được: 5b =23 + 3.22 + 5 = 25 = 52  b = 2
Và 5c =a + 3 = 2+3= 5  c = 1
Vậy: a = 2; b = 2; c = 1



x

BOM  BMO  30

0

0,5

- BK là đường cao của tam giác cân BMO
nên K là trung điểm của OM =>KM=KO (1)

0,5
B

8

z

- Chứng minh BKO  OHB (c.h  g.n)
M

- Suy ra BH=OK (2)

K

0,5
0,25

O

Ta viết 101 số vừa lấy ra dưới dạng:

0,25

0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

a1  2n1.b1
a2  2n2 .b2
a3  2n3 .b3
...........

10

a101  2n101.b101

Với ni là số tự nhiên, còn bi là các các số lẻ. ( i  1;101 )
Suy ra các bi là các phần tử của tập gồm 100 số tự nhiên lẻ đầu tiên: {1; 3; 5; ...;199}.
Vì có 101 các số bi mà chỉ có 100 giá trị nên sẽ tồn tại ít nhất 2 số bi và bj nào đó bằng
nhau.
n
Suy ra trong hai số ai  2n .bi và a j  2 .b j sẽ có một số là bội của số còn lại.
Như vậy nếu lấy ra 101 số trong 200 số đã cho thì luôn có 2 số mà số này là bội của số