TRƯỜNG THCS NGHĨA HÀNH
NĂM HỌC: 2010 - 2011
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
Môn: TOÁN 9 ( Thời gian: 120 phút )
Câu 1: (4 điểm)
a) Rút gọn biểu thức: A =
2 3 5 13 48
6 2
+ − +
+
b) Chứng minh rằng: B = x
4
+ 4x
3
y + 2x
2
+ 4x
2
y
2
+ 4xy + 1 (với x, y € Z) là một
số chính phương.
Câu 2: (4 điểm) Giải phương trình
a)
2
2 3
3
1
x
x
x

1
os os os
HIK
ABC
A B C
S
c c c
S
= − − −
(Giáo viên coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên:………………………..……...............SDB:….........
ĐÁP ÁN MÔN TOÁN 9
Câu Nội dung Điểm
1
a) A =
2 3 5 13 48
6 2
+ − +
+
Biến đổi:
2
2
2
2
2
13 48 13 4 3
13 48 2 3 1
5 13 48 5 (2 3 1) 4 2 3
5 13 48 3 1
3 5 13 48 3 3 1 2 3

4
+ 4x
3
y + 2x
2
+ 4x
2
y
2
+ 4xy + 1
= (x
2
+ 2x
2
(2xy + 1) + ( 2xy + 1)
2
= ( x
2
+ 2xy + 1)
2
Vì x,y € Z => x
2
+ 2xy + 1 € Z
Vậy B là một số chính phương.
0,75
0,5
0,5
0,25
2
a)

0,5
0,5
0,25
0,5
0,25
b)
3 3 3
1 3 1 1x x x+ + + = −
0,5
3 3
3
3
3
2
3
3
3
3
2
3 3
1 3 1 3 ( 1)(3 1)( 1 3 1) 1
4 2 3 ( 1)(3 1)( 1) 1
( 1) ( 1)(3 1)( 1) 0
1( (3 1)( 1)) 0
1 0 1
(3 1)( 1)( )
( 1)
( 1)
x x x x x x x
x x x x x

1 1 1
9( )
a a b b c c
a b c
a b c a b c b c a c a b
a b a c b c
b a c a c b
dpcm
a b c
+ + = + + + + = + + + + + +
= + + + + + + ≥ + + + =
⇒ + + ≥
1,0
0,5
0,5
b) P =
2
2
2( 1)
1
x
x
x
+ +
+
(*)
Vì x
2
+ 1 > 0 với mọi x
Do đó pt (1)  (x

8
AC
AB
= =
=> góc B = 60
0
0,5
1,0
b) Từ câu a) => góc C = 30
0
do đó góc ACD = 15
0
0,5
A
B CF
D
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
AD = AC.tg ACD = 14. 0,265 = 3,72 cm 1,0
c) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
AE = AC. Sin ACE = 14 . 0,257 = 3,598 cm
Tam giác ACF có CE vừa là đường cao vừa là đường phân giác
=> Tam giác ACF cân tại C
=> AF = 2.AE = 2. 3,598 = 7,916 cm
1,0
1,0
5
Vẽ hình đúng
Ta có: S
HIK
= S

:
: ;
os
os os
AKI
ABC
CHI
BHK
ABC ABC
AK AI
A A
AC AB
Dodo A
B C
S
c
S
S
S
c c
T
S S
= =
=
= =
Vậy:
2 2 2
1
os os os
HIK