Tr

ng đ i h c s ph m hà n i 2
Khoa toán
**************

Phan th chi n

Ph

ng trình đ o hàm riêng c p m t
Khoá lu n t t nghi p đ i h c
Chuyên ngành: Gi i tích

Ng

i h

ng d n khoa h c:

Ts. Nguy n v n hùng

Hà n i - 2008


Lu n v n t t nghi p

Ph

ng trình đ o hàm riêng c p m t



cs

đóng góp ý ki n c a quý th y, cô và các b n sinh viên đ b n thân có th ti p
t c hoàn thi n h n n a trong quá trình h c t p và gi ng d y.
Em xin chân thành c m n!
Hà N i, tháng 04 n m 2008.
Sinh viên:
Phan Th Chi n

Phan Th Chi n

2

K 30 E Toán


Lu n v n t t nghi p

Ph

ng trình đ o hàm riêng c p m t

L i cam đoan
Quá trình nghiên c u khóa lu n v i đ tài: “Ph

ng trình đ o hàm riêng

c p m t’’ ®· giúp em hi u sâu s c h n v b môn gi i tích hi n đ i, đ c bi t
là v ph


K 30 E Toán


Lu n v n t t nghi p

Ph

ng trình đ o hàm riêng c p m t

M cl c
L ic m n
L i cam đoan
M cl c
L im đ u
Ch

ng 1: Khái ni m m đ u và các ki n th c c s

1. Khái ni m m đ u ......................................................................................... 5
1.1. Khái ni m ph

ng trình đ o hàm riêng và ph

ng trình đ o hàm riêng

c p m t. ............................................................................................................. 5
1.2. Nghi m c a ph
1.3. Phân lo i ph



1.2. Ph

ng trình đ o hàm riêng tuy n tính không thu n nh t c p m t ......... 26

2. Ph

ng trình phi tuy n c p m t .................................................................. 37

2.1. H hai ph

ng trình phi tuy n c p m t ................................................... 37

2.2. Ph

ng trình Pfap .................................................................................... 40

2.3. Ph

ng pháp Lagrang – Sacpi ................................................................. 42

Ch

ng 3: Bài t p v n d ng

Phan Th Chi n

4

K 30 E Toán


ng trình đó.

i v i các ph

ng trình vi phân đ o hàm riêng

ng pháp chung nào đ gi i t t c các

ng trình đ o hàm riêng nãi chung, ph

trình đ o hàm riêng phi tuy n nói riêng chúng ta ch ch ng minh đ

ng

cs t n

t i nghi m còn vi c tìm ra công th c nghi m thì h i khó. Tuy nhiên đ i v i
ph

ng trình đ o hàm riêng c p m t thì vi c tìm ra công th c nghi m th

tuân theo m t s ph

ng pháp nh t đ nh. Chính vì th em ch n đ tài: Ph

tr nh đ o hàm ri ng c p m t v i mong mu n đ
ph

ng pháp này. N i dung khóa lu n g m ba ch



Lu n v n t t nghi p

Ph

ng trình đ o hàm riêng c p m t

Ch

ng 1

Khái ni m m đ u và các ki n th c c s
1. Khái ni m m đ u

1.1. Khái ni m ph

ng trình đ o hàm riêng và ph

ng trình đ o

hàm riêng c p m t.
1.1.1. Khái ni m ph

ng trình đ o hàm riêng.

nh ngh a 1.1. M t ph

ng trình liên h gi a n hàm u(x1, x2,…,xn) các



F  x, y, u,


là ph

ng trình đ

c g i là

ng trình

u u 
, = 0
x y 

ng trình đ o hàm riêng c p m t c a hàm hai bi n.

1.1.2. Ph

ng trình đ o hàm riêng c p m t.

nh ngh a 1.2. T đ nh ngh a 1.1 ta có th suy ra đ
trình đ o hàm riêng c p m t là ph


F  x1,...xn , u,


ng


Lu n v n t t nghi p

Ph

ng trình đ o hàm riêng c p m t

t c cùng v i các đ o hàm riêng c p m t c a nó trong mi n D c a không gian
n chi u đ

c g i là nghi m c a ph

ng trình (1.1) trong D n u:

i) V i m i (x1,x2,…,xn)  D thì

u
u 
,...,
 x1,..., xn ; u x1,..., xn ;
  G
x
x


n
1




ng trình

z
z
=0
y
x
y

hàm z = x2 + y2 s là nghi m xác đ nh v i m i x, y. Nghi m trên đ

c bi u

di n b i m t paraboloit (là m t cong do parabol z = y2, trong m t ph ng (y, z)
t o lên khi quay quanh tr c oz).
Hàm Z = F(x2 + y2) v i F là kh vi liên t c b t kì c ng là nghi m c a
ph

ng trình trên.
1.3. Phân lo i ph

ng trình đ o hàm riêng.

nh ngh a 1.3.
i) Ph

ng trình đ o hàm riêng đ

c g i là tuy n tính n u n u nh nó


a. Ph

ng trình đ o hàm riêng tuy n tính c p m t.

u
u
  2  x1, x2 ,..., xn , u   ... 
x
x
u
 n  x1 , x2 ,..., xn , u 
 R  x1, x2 ,..., xn , u 
xn
X1  x1 , x2 ,..., xn , u 

b. Ph

(1.2)

ng trình đ o hàm riêng phi tuy n c p m t.
P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz = 0

1.4. Bài toán Cauchy: Tìm nghi m u =  (x1, x2, …, xn) c a ph

ng

trình (1.2) sao cho khi x1  x10 thì u =  (x1, x2, …,xn) trong đó  là m t hàm
cho tr

c. Ta có th thay vai trò x1 b ng m t trong các bi n còn l i.

Ví d 2.2.
y’’’ + 2x5y’’ + 4xy – 7 = 0

Phan Th Chi n

8

K 30 E Toán


Lu n v n t t nghi p

2.1.2. C p c a ph

Ph

ng trình đ o hàm riêng c p m t

ng trình vi phân.

nh ngh a 2.1.2 C p c a ph

ng trình vi phân là c p cao nh t c a đ o

hàm c a hàm ph i tìm có m t trong ph
Ví d 2.3 Ph

ng trình đó.

ng trình vi phân


2.2.Ph
2.2.1.

nh ngh a ph

nh ngh a 2.2.1. Ph

ng trình vi phân c p m t
ng trình vi phân c p m t là ph

ng trình có d ng

t ng quát là F(x, y, y’) = 0

(2.2)

Trong đó hàm F xác đ nh trong mi n D  R3
N u trong mi n D, t ph

ng trình (2.2) ta có th gi i đ

c y’

y’ = f(x, y)
thì ta đ

c ph

Trong ph

ng trình đ o hàm riêng c p m t

ng trình:

dy
 2sin x, y(0)  2
dx

Gi i:
Ph

ng trình trên t

ng đ

ng v i

dy = 2sinxdx
L y nguyên hàm hai v ta đ

c

 dy   2sin xdx
 y =  2sin xdx  c
 y = - 2cos x  c
M t khác, ta l i có y(0) = 2 nên suy ra y  2cos x  4
V y nghi m c a ph

ng trình đ u là y  2cos x  4


ng trình

dy
 f ( x, y) và y(x0) = y0.
dx

Phan Th Chi n

10

K 30 E Toán


Lu n v n t t nghi p

Ph

ng trình đ o hàm riêng c p m t

2.2.4. ý ngh a hình h c.
a) ý ngh a hình h c c a đ nh lý v s t n t i và duy nh t nghi m.
T i m i đi m (x0, y0)  D t n t i và duy nh t m t đ
th a mãn ph

ng trình (2.3) đi qua.

b) ý ngh a hình h c c a ph
Xét ph

ng trình vi phân.


c g i là nghi m t ng

ng trình (2.3) n u nó th a mãn 2 đi u ki n sau:

i) V i m i đi m (x, y)  D t ph

ng trình (2.4) ta gi i đ

c duy nh t

đ i v i c.
ii) Hàm y = y(x) th a mãn ph

ng trình (2.3) v i m i giá tr c a h ng s

c khi đi m (x, y) ch y kh p mi n D.
Nh n xét:
a)Khi gi i ph
nghi m c a (2.3) d

ng trình vi phân (2.3) nhi u khi ta không tìm đ
i d ng y = y(x, c) mà ta ch tim đ

c

c m t bi u th c

( x, y, c)  0 .


phân t ng quát v i nhau.
c) V ph
đ u là h đ

ng di n hình h c thì tích phân t ng quát và nghi m t ng quát
ng cong th a mãn ph

ng trình (2.3).

2.2.6. Khái ni m nghi m riêng.
Nghi m y = y(x) đ

c g i là nghi m riêng c a ph

ng trình (2.3) n u t i

m i đi m c a nó đ u có đi u ki n duy nh t nghi m c a bài toán Cauchy đ

c

th a mãn.
Ví d 2.7 Gi i ph
Gi i ph

ng trình

ng trình (2.4) ta đ

y


cho còn y 

c
là nghi m t ng quát c a ph
x

6
là nghi m riêng c a ph
x

Nh n xét: Nghi m riêng th

ng trình đã

ng trình đã cho.

ng tìm đ

Gi s nghi m t ng quát c a ph
nghi m riêng c a ph

6
x

c t nghi m t ng quát.

ng trình (2.3) là y = y(x, c). đ tìm

ng trình (2.3) v i giá tr ban đ u (x0, y0) ta tìm c0 =


ph

c vi ph m.

ng trình vi phân chu n t c c p m t là h

ng trình có d ng
 dy1
 f1 x, y1,..., yn

 dx
 dy2
 f2 x, y1,..., yn

 dx
....................................

 dyn
 dx  fn x, y1,..., yn


H (2.5) còn đ









 ...  ; f  ... 
... dx 
f 
 
dyn 
n


y
 n 
 dx 

Nh n xét: Trong v ph i c a h ph
đ u gi i đ

c đ i v i đ o hàm

ng trình (2.5) v i m i ph

ng trình

dy1
(i = 1,2,…).
dx

Còn v ph i không ch a đ o hàm c a hàm c n tìm.
2.3.2. Nghi m c a h ph
Nghi m c a h ph

ng trình vi phân chu n t c c p m t.

c hi u nh sau

 y1  y1  x

 y2  y2  x

.................

 yn  yn ( x)

(2.7)

th a mãn các đi u ki n ban đ u cho tr

c : y10 , y20 ,..., yn0 có ngh a là

y1  x0   y10 , y2  x0   y20 ,..., yn  x0   yn0 trong đó x0 , y10 ,..., yn0 là các giá tr cho

tr

c tùy ý mà ta g i đó là các giá tr ban đ u.
b)

nh lý v s t n t i và duy nh t nghi m.
nh lý 2.3.3. Gi s h ph

ng trình vi phân (2.5) có các hàm fi

(i = 1, 2, …) liên t c và có các đ o hàm riêng



14

K 30 E Toán


Lu n v n t t nghi p

Ph

ng trình đ o hàm riêng c p m t

2.3.4.1: Nghi m t ng quát.
nh ngh a 2.3.4.1. Gi s mi n D  Rn+ 1 là mi n trong đó các đi u
ki n c a đ nh lý v s t n t i và duy nh t nghi m c a bài toán Cauchy đ

c

th a mãn (2.5), (2.7).
V y n hàm
 y1  y1 ( x, c1, c2 ,..., cn )

 y2  y2 x, c1, c2 ,..., cn

....................................
 y  y x, c , c ,..., c
n
n
1 2
 n




c   x, y ,..., yn
1
1
 1
c   x, y ,..., y
n
2
2
1

.................................

cn  n x, y1,..., yn

(2.9)

ii) T p n c a hàm (2.8) th a mãn h (2.5) v i m i h ng s c1, c2,…, cn.
2.3.4.2. Nghi m riêng.
Nghi m riêng c a h ph

ng trình vi phân (2.5) là nghi m c a h (2.5)

và t i m i đi m c a nó đi u ki n duy nh t nghi m c a đ nh lý Cauchy đ

c

th a mãn.

..............................................

 n x, y1,..., yn , c1,..., cn  0



H th c này đ

(2.10)



c g i là tích phân t ng quát c a h vi phân (2.5).

2.3.4.4. Nghi m kì d .
Nghi m c a h ph

ng trình vi phân (2.5) mà t i m i đi m c a nó đi u

ki n duy nh t nghi m c a bài toán Cauchy không đ

Phan Th Chi n

16

c th a mãn.

K 30 E Toán




(1.1)
Ta có các đ nh ngh a sau:
nh ngh a: Ph

ng trình (2) đ

c g i là ph

tuy n tính thu n nh t c p m t n u (1.1) đ
X1 ( x1, x2 ,..., xn , u )

c vi t d

ng trình đ o hàm riêng
i d ng

u
u
u
 X2 ( x1, x2 ,..., xn , u )
 Xn ( x1, x2 ,..., xn , u )
 0 (1.2)
x1
x2
xn

Trong đó các hàm X1, X2, …,Xn không ph thu c bi n u, không đ ng
th i tri t tiêu t i b t kì đi m nào c a mi n đang xét. Ngoài ra ta gi thi t trong
mi n đó các hàm X1, X2, …,Xn liên t c cùng v i t t c các đ o hàm riêng c p


c


Lu n v n t t nghi p

Ph

ng trình đ o hàm riêng c p m t

X1  x1, x2 ,..., xn , u  u  X2  x1, x2 ,..., xn , u  u  ... 
x1
x2
 Xn  x1, x2 ,..., xn , u  u  R x1, x2 ,..., xn , u 
xn

1.1. Ph

(1.3)

ng trình đ o hàm riêng tuy n tính thu n nh t c p m t.

1.1.1. M i liên h gi a ph
nh t c p m t và h ph

ng trình đ o hàm riêng tuy n tính thu n

ng trình vi phân th

ng d ng đ i x ng t

ng trình vi phân th

(1.4)

ng d ng đ i x ng

ng trình (1.2).

Do X1, X2, …,Xn không ph thu c vào bi n u, không đ ng th i tri t tiêu
t i b t c đi m nào c a mi n đang xét và các hàm này liên t c cùng v i t t c
các đ o hàm riêng c p m t c a chúng nên h (1.4) th a mãn các đi u ki n c a
đ nh lý t n t i và duy nh t nghi m.
Vì v y có th tìm đ

c h n tích phân đ u đ c l p c a h (1.4)











 x , x ,..., x  c
1
n
 1 1 2


ng

K 30 E Toán

ng


Lu n v n t t nghi p

Ph

ng trình đ o hàm riêng c p m t

nh lý 1.1. V trái c a tích phân đ u b t kì   x1, x2 ,..., xn   c là nghi m
không t m th

ng c a ph

ng trình (1.2).

Ch ng minh:
Theo đ nh ngh a tích phân đ u   c d c theo đ

ng cong tích phân c a

h (1.4) và do đó

dx j  0
j 1 x j


X1




 X2
 ...  Xn
0
x1
x2
xn

(1.7)

T i m i đi m (x1, x2,…,xn) c a mi n đang xét đ u có m t đ

ng cong

tích phân c a h (1.4) đi qua nên đ ng nh t th c (1.7) th a mãn v i m i (x1,
x2,…,xn) thu c mi n đang xét.





i u này ch ng t hàm u  x1, x2 ,..., xn là

nghi m c a h (1.4). Ta có đi u ph i ch ng minh.





 X2
 ...  Xn
0
x1
x2
xn

(1.8)

Ta l y vi phân toàn ph n hàm  d c theo nghi m c a h (1.4)
d 




dx1 
dx2  ... 
dx
x1
x2
xn n

  X1



 x1 Xn

1 2




là tích phân đ u c a h (1.4).
T m i liên h gi a ph
c p m t và h ph
các b
B
v i ph

ng trình đ o hàm riêng tuy n tính thu n nh t

ng trình vi phân th

c tìm nghi m không t m th
c 1: Tìm h ph

ng d ng đ i x ng t

ng c a ph

ng trình vi phân th

ng ng ta có

ng trình (1.2) nh sau:
ng d ng đ i x ng t


(1.10)

ng d ng đ i x ng t

ng ng

là

dx  dy  dz
x 2 y  z
D th y ph

ng trình này có 2 tích phân đ u đ c l p là

xz  c1, x y  c2

Phan Th Chi n

20

K 30 E Toán


Lu n v n t t nghi p

Ph

ng trình đ o hàm riêng c p m t

V y u1  xz, u2  x y là các nghi m không t m th



u   1, 2 ,..., n1 


(1.11)



V i  là hàm b t kì có các đ o hàm riêng theo  1,..., n1 liên t c s
cho ta nghi m t ng quát c a ph

ng trình (1.2).

Ch ng minh:
Vi c ch ng minh đ nh lý này đ

c ti n hành nh sau:

Ch ng minh v ph i c a (1.11) là nghi m c a (1.2).
Ch ng minh nghi m c a ph
ph

ng trình (1.11) ch a m i nghi m c a

ng trình (1.2), t c (1.11) là nghi m t ng quát c a (1.2).
Th t v y, thay (1.11) vào (1.2) ta có

X1


j 1  j 


 j
 j
 j 
 X2
 ...  Xn
 0
x1
x2
xn 

Theo đ nh lý 1.1 ta có  j là nghi m c a ph

ng trình (1.2) hay v ph i

c a (1.11) là nghi m c a (1.2).

Phan Th Chi n

21

K 30 E Toán


Lu n v n t t nghi p

Ph


................

 n
 n1
0
 Xi
xi
 i 1




(1.12)



Ta coi h ph

ng trình (1.12) nh h n ph

ng trình đ i s tuy n tính

thu n nh t đ i v i X1, X2, …,Xn không đ ng th i tri t tiêu nên h ph

ng trình

(1.12) t i m i đi m (x1, x2,…,xn) c a mi n đang xét có nghi m không t m
th

ng. V y đ nh th c Grame c a hêi ph i b ng không, t c là

Lu n v n t t nghi p

Ph

ng trình đ o hàm riêng c p m t

M t khác, các tích phân đ u c a h

1  x1, x2 ,..., xn   c1 , 2  x1, x2 ,..., xn   c2 ,…, n1  x1, x2 ,..., xn   cn1 đ c l p
nên có ít nh t m t đ nh th c c p n-1 d ng

D  1, 2 ,..., n1 
0
D( x1 ,..., xn1 )
V y t (1.13) ta có    1, 2 ,..., n  .
V y đ nh lý đ

c ch ng minh.

Nh n xét: Nh n th y vi c tìm nghi m t ng quát c a ph
t

ng đ

ng v i vi c tìm n tích phân đ u đ c l p c a h (1.4).

Ví d . Gi i ph
x1

Ph

xn
Tích phân h (1.14’) ta thu đ

c1 

(1.14’)
c n tích phân đ u đ c l p

x
x2
, c2  3 ,..., cn1  xn
x1
x1
x1



V y u    x2 , x3 ,..., xn  là nghi m t ng quát c a ph
 x1 x1
x1 


ng trình trong đó

 là hàm kh vi, liên t c theo các bi n x1, x2,…,xn. Ch ng h n u có th là các

hàm sau:
2

x 

 z  y ux   x  z uy   y  x uz  0
H ph

ng trình vi phân th

(1.15)

ng d ng đ i x ng t

ng ng là

dx
dy
dz


z y x z y x

Tích phân h (1.15’) ta thu đ

(1.15’)

c 2 tích phân đ u đ c l p

1  x  y  z; 2  x2  y2  z2







Phan Th Chi n

24

K 30 E Toán


Lu n v n t t nghi p

Ph

ng trình đ o hàm riêng c p m t

Do đó bài toán tìm nghi m u = u(x1, x2, …,xn) c a ph

ng trình (1.2)

th a mãn đi u ki n
u

xn  xn0

   x1, x2 ,..., xn1 

(1.17)

đ a v d ng xác đ nh hàm  sao cho
  1, 2 ,..., n1 



Suy ra đ ng th c (1.18) đ



(1.19)

c vi t



  1, 2 ,..., n1    x1, x2 ,..., xn1 

H (1.19) gi i đ



(1.20)

c đ i v i x1, x2, …,xn-1 ít nh t trong m t lân c n nào đó







c a đi m x10 , x20 ,..., xn0 mà ta gi thi t Xn x10 , x20 ,..., xn0  0. Khi đó ta có




c th a mãn.

Th t









v y, ( 1, 2 ,..., n1 )   1  1, 2 ,..., n1 ,...,n1  1, 2 ,..., n1 


Phan Th Chi n

25

K 30 E Toán