Giáo Viên Trường THPT Tuy Phong

TOAÙN 11

GIỚI HẠN
§1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
§2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
§3. HÀM SỐ LIÊN TỤC



LỜI NÓI ĐẦU

Quý đọc giả, quý thầy cô và các em học sinh thân mến!
Nhằm giúp các em học sinh có tài liệu tự học môn Toán,
tôi biên soạn cuốn giải toán trọng tâm của lớp 11.
Nội dung của cuốn tài liệu bám sát chương trình chuẩn và
chương trình nâng cao về môn Toán đã được Bộ Giáo dục
và Đào tạo quy định.
NỘI DUNG
1. Tóm tắt lý thuyết cần nắm ở mỗi bài học
2. Bài tập có hướng dẫn giải và bài tập tự luyện
3. Phần bài tập trắc nghiệm đủ dạng và có đáp án.

Cuốn tài liệu được xây dựng sẽ còn có những khiếm
khuyết. Rất mong nhận được sự góp ý, đóng góp của quý
đồng nghiệp và các em học sinh để lần sau cuốn bài tập
hoàn chỉnh hơn.
Mọi góp ý xin gọi về số 01655.334.679 – 0916 620 899
Email: [email protected]
Chân thành cảm ơn.


HÀM SỐ LIÊN TỤC

60 – 62

ÔN TẬP CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN

63 – 72

ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM

73 – 74


Toán 11

GV. Lư Sĩ Pháp

CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN
PHẦN I. LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TỰ LUẬN
§1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
A. KIẾN THỨC CẤN NẮM
1. Giới hạn hữu hạn của dãy số
lim un = 0 khi và chỉ khi un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở
n →+∞

đi.
lim vn = a ⇔ lim (vn − a) = 0
n →+∞


lim k = 0 ;
n
n
n
b)
lim q = 0 , nếu q < 1 ;
c)

lim c = c ;

lim

lim nk = +∞ , với k nguyên dương.
lim qn = +∞ nếu q > 1

c
= 0,
nk

lim(c un) = climun, với c là hằng số, k ∈ ℕ*

n
= 0 nếu q > 1
qn
4. Định lí về giới hạn hữu hạn
Định lí 1. Nếu lim un = L và lim vn = M , thì:

d)

lim


Toán 11

GV. Lư Sĩ Pháp

a) Quy tắc 1. Nếu lim un = ±∞ và lim vn = ±∞ thì lim ( un vn ) được cho trong bảng:
lim un

lim ( un vn )

lim vn

+∞
+∞
+∞
+∞
−∞
−∞
−∞
+∞
−∞
−∞
−∞
+∞
b) Quy tắc 2. Nếu lim un = ±∞ và lim vn = L ≠ 0 thì lim ( un vn ) được cho trong bảng:
lim un

Dấu của L

lim ( un vn )

+
−∞
−
+∞
u
Chú ý . Nếu lim un = L > 0, lim vn = ±∞ thì lim n = 0
vn
6. Tổng cấp số nhân lùi vô hạn
Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân có công bội q thỏa mãn q < 1
+
+
−
−

Công thức tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn (un)
u
u
S = u1 + u2 + u3 + ... + un + ... = 1 ; q < 1 hay S = u1 + u1q + u1q2 + ... + u1qn −1 + ... = 1 ; q < 1
1− q
1− q
7. Định lí kẹp về giới hạn của dãy số
Cho ba dãy số (un), (vn) ,(wn) và số thực L. Nếu un ≤ vn ≤ wn với mọi n và lim un = lim wn = L thì dãy
số (vn) có giới hạn và lim vn = L.
8. Lưu ý
a) Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn
b) Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn
c) Nếu limun = a thì limun + 1 = a
n

 1

dạng tổng của một số nhân lùi vô hạn và tính tổng này.

B. BÀI TẬP
n +1
với mọi n. Chứng minh rằng lim un = 0.
n2
HD Giải
1 1
+ 2
n +1
n +1
n
n = 0 . Do đó, v có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy
Đặt vn = 2 . Ta có lim vn = lim 2 = lim
n
1
n
n
ý kể từ một số hạng nào đó trở đi. (1)
Mặt khác, theo giả thiết ta có un ≤ vn ≤ vn (2)

Bài 1.1. Biết dãy số (un) thỏa mãn un ≤

Từ (1) và (2) suy ra un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là
lim un = 0.
Bài 1.2. Bằng định nghĩa tính giới hạn lim

3n + 1 − sin

π

 
n
3
3n 3n
3n
3n
3

Mặt khác, ta lại có

tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi.
sin

Từ đó suy ra

3

π

n

π

n có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi.


π
n
sin 



BT. ĐS> 11

2

3

Chương IV. Giới hạn


Toán 11

GV. Lư Sĩ Pháp

Bài 1.4. Biết dãy số (un) thỏa mãn un − 1

. Khi đó un − 2

2
2
3
3n + 2

2
3 + 2n
3+
+2
n3+ 
n
n2
n


b) Khi n > 2007 ⇔ n + 2 > 2009 ⇔

3n2 + n − 5 3
c) lim
=
2
2n 2 + 1

2n3 − 2n + 3
d) lim
= lim
1 − 4n3

Bài 1.7. Tính các giới hạn sau:
 n + 1 cos n 

lim
=5
n
n
  2 n 
4 +2


1
1+  
4n  1 +   
 4 
2


BT. ĐS> 11

4

2 3
+
n 2 n3 = − 1
1
2
−4
3
n

2−


3
 n
n


 1
(−1)n 
d) lim  3 + n  = lim 3 + lim  −  = 3
2 
 2

Bài 1.8. Tính các giới hạn
3n2 + 1 + n
1 − 2n 2

a) lim

b) lim

(n + 1)(3 − 2n)2
9n 2 − n + 1
c)
lim
4n − 2
n3 + 1
HD Giải

d) lim

4n 2 + 1 + n

n +1
n +1
1+ 3
n
3n2 + 1 + n
a) lim
= lim
1 − 2n 2

n 3+

1
1
+ 2
9n − n + 1
3
9n 9n
c) lim
= lim
=
4n − 2
4n − 2
4
1
4 + 2 +1
2
4n + 1 + n
3
n
d) lim

4

n2 + n −

2

2

n 2 + n + n2 − 1

= lim

(
n − n − n ) = lim
2

BT. ĐS> 11


n



(

d) lim n

2

(

 1
n 1 + 
1
 n
=
1
1  2
1+ + 1− 2 
n
n 

n2 − n − n

)(

n2 − n + n

n2 − n + n

) = lim

5

−n



1
n  1 − + 1


(

)

2

= lim

n

(

2

(


n



Bài 1.10. Tính các giới hạn sau:
a) lim

4

n + n +1 + n
4

n − 1 − n + 2 = lim

2
+1
n
=1
2

1+

n 2 + 2n + n
d) lim
= lim 2
= lim
n + 2n − n 2
n 2 + 2n − n
Bài 1.11. Tính các giới hạn sau

c) lim n

)(

b) lim

1

(

n 2 − 1 + n2 + 2

1 1
+

= lim

n2 + 1 − n + 1
3n + 2

c) lim

1+

n −1 − n

)

b) lim

)

(

3

)(

(

)

4n 2 + 1 − 2n + 1

d) lim

3n
3
7

= lim 
+ 2  = lim
+ 2 =

 2
3
 n  1 + 3 + 1

1+ +1




 

n
n 


 

2


3 3
n − 2n 2 − n  3 n3 − 2n 2 + n 3 n3 − 2n 2 + n 2 

(

)

)

−2

= lim
3

1−

6

4 4 3
2
+ 4 + 1− +1
n n
n

=−

2
3

Chương IV. Giới hạn


Toán 11

= − lim

n 2 + 2n − n

)(



1
n  1 − + 1


n



)(

=−

4n2 + 1 + (2n − 1)

n 2 + 2n + n

)(

1
2

)(

(

)

2

)

Bài 1.12. Tính các giới hạn sau:

d)

)

b) lim 2.3n − 5.4 n

c) lim

d) lim 2.3n − n + 2

a) +∞ ;
c) lim

(

a) lim 3n 4 − 10n + 12

(

n2 − n + n


n
2
n 2
+ n với mọi n. Vì lim n = 0; lim n = 0 nên
n
3 3
3
3

n 2
+
= 2 > 0 . Ngoài ra lim
3n 3n

( )
3

n

= +∞

Do đó lim 2.3n − n + 2 = +∞
Bài 1.13. Tính các giới hạn sau:

2 
a) lim  n2 −

n +1



1 1 
b) lim(− n2 + n n + 1) = lim(−n 2 )  1 −
+  = −∞

n n2 

c) lim

n 1 + 2 + 3 + ... + n
n2 + n + 1

n(n + 1)
n 1 + 2 + 3 + ... + n
= lim 2 2
= lim
c) lim
2
n + n +1
n + n +1

1+

n

BT. ĐS> 11

1
n


 = lim
2
n +1
n +1
2n + 2 2
 n +1 n +1 n +1
Bài 1.14. Tìm các giới hạn sau
2 n +1 − 3.5n + 3
2 n +1 − 3n + 11
a) lim 3.2 n − 5n +1 + 10
b) lim
c)
lim
3.2 n + 7.4 n
3n + 2 + 2 n + 3 − 4

(

)

3n + 2n +1
f) lim 3.4 n − n + 2
n +1
5+3
HD Giải
n
 2
1
a) lim 3.2 n − 5n +1 + 10 = lim 5n  3.   − 5 + 10. n 
  5

2.   − 3 + n
n +1
n
2 − 3.5 + 3
5
5
b) lim
= lim
n
n
n
n
3.2 + 7.4
2
4
3.   + 7.2.  
 5
 5
n
n
n
  2 n
  2 n
4 
2
4
3
Ta có lim  2.   − 3 + n  = −3 < 0 ; lim 3.   + 7.2.    = 0 và 3.   + 7.2.   > 0, ∀n
 5
5 

=
5 + 3n +1
5 + 3n +1 3

Vậy lim

3n + 2n +1
3
=
n +1
3
5+3


n 2 
f) lim 3.4 n − n + 2 = lim 2 n  3 − n + n 

4 4 


Ta có lim 2 n = +∞ , lim 3 −

n 2
+ n = 3 > 0 . Do vậy lim 3.4 n − n + 2 = +∞
n
4 4

Bài 1.15. Tính các giới hạn
 1
1

+
...
+


 3
n4
n3 + 2
n3 + n 
 n +1
HD Giải
 1

1
1
1 
n
1 
a) lim 
+
+
+ ... +
= lim  1 −
 = lim
 =1
n(n + 1) 
n +1
 1.2 2.3 3.4
 n +1


 1
 1
1
1
1
Nên lim 
+
+
+ ... +
=
(2n − 1)(2n + 1)  2
 1.3 3.5 5.7
2.12 + 3.22 + ... + (n + 1)n2
13 + 23 + 33 + ... + n3 + 12 + 22 + 32 + ...n 2
c) lim
=
lim
n4
n4
2

2

 n(n + 1)  n(n + 1)(2 n + 1)
 1
2 3 1
1+ 
+ 2+ 3

 2  +

+ ... +
≤


1
1
3sin n + 4 cos n
c) un =
+
+ ... +
d) un =
n +1
n+ 1 n+ 2
n+ n

HD Giải
1
1
1
1
1
1
a) Ta có
+
+ ... +
≤ un ≤
+
+ ... +
, ∀n ∈ ℕ*
2
2
2
2
2

1
1
1
n
b) Ta có un ≥
+
+ ... +
=
= n , ∀n ∈ ℕ*
n
n
n
n
 1
1
1 
Mà lim n = +∞ . Vậy lim un = lim 
+
+ ... +
 = +∞
1
2
n


1
1
1
1
1

+ ... +
 =1
n+ n 
n+ 1 n+ 2
5
3sin n + 4 cos n
5
d) Ta có
≤
, ∀n ∈ ℕ* . Mà lim
= 0.
n +1
n +1
n +1
Vậy lim un = lim

BT. ĐS> 11

3sin n + 4 cos n
=0
n +1

9

Chương IV. Giới hạn


Toán 11

GV. Lư Sĩ Pháp

2 2
2

< 1 nên dãy số này là một cấp số nhân lùi vô hạn.

Do đó S = 2 − 2 + 1 −

1
2

+

1
− ... =
2

Bài 1.18. Tính tổng S = −1 +

2
1+

=

1
2

2 2
2 +1

1

10 10
10

Bài 1.19. Tìm tổng cấp số nhân

−1
10
=−
11
 1 
1−  − 
 10 

1 1 1
1
, 2 , 3 ,..., n ,...
2 2 2
2
HD Giải

1 1 1
1
1
1
, 2 , 3 ,..., n ,... là một cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = , q =
2 2 2
2
2
2
1

Bài 1.21. Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,313131…dưới dạng một phân số.
HD Giải

Dãy số

2

31 31 1
31  1 
31
0,313131... =
+
.
+
.
.
 + ... =
100 100 100 100  100 
100

1

=

31
99

1
100
Bài 1.22. Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 1,020 202… (chu kì là 02), b = 2,131313 …(chu kì 13)

100
1−
100
2
2
2
1
(vì
,
,...
,... là một cấp số nhân lùi vô hạn, công bội q =
)
2
n
100 100
100
100
13
13
13
13
13 211
Ta có b = 2,131313... = 2 +
+
+ ... +
+ ... = 2 + 100 = 2 +
=
2
n
1

Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số đó.
2
b) Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng bằng 3 và công bội q =
3
HD Giải
a) Gọi u1 và q là số hạng đầu và công bội của cấp số đó. Theo đề bài, ta có
 u1
5
=
(1)

1 − q 3

3
39
 u1 1 − q
 1 − q = 25 (2)


(

Thay (1) vào (2), ta được

)

5
39
2
1 − q3 =
⇔ q = thay vào (1), ta được u1 = 1

u1 (1 − q ) =
1− q
4

u1 > 0


2
3
3
u = 9
⇔ u1 = 3 ⇒ q = . Vậy u1 = 3; q =
Nhân (1) với (2), ta có  1
4
4
u1 > 0

BT. ĐS> 11

11

Chương IV. Giới hạn


Toán 11

GV. Lư Sĩ Pháp

Bài 1.25. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân lùi vô hạn, biết rằng số hạng thứ hai là


.
16

Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số đó.
1
b) Tính tổng S = 9 + 3 + 1 + ... + n −3 + ...
3
HD Giải
a) Gọi u1 và q là số hạng đầu và công bội của cấp số đó. Theo đề bài, ta có
 u1
= 10
(1)

1
−
q


5
155
 u1 1 − q
(2)
 1 − q = 16


(

)

155

1
x=
2

1
1
1
x
7
x − x +1 7
3
Do đó: + x + x 2 + ... + x n + ... = + S ⇔ +
= ⇔
= ⇒
x
x
x 1− x 2
x (1 − x ) 2
x = 2

3
u = 2
Bài 1.28. Cho dãy số (un) xác định bởi  1
. Biết (un) có giới hạn khi n → +∞ , hãy tìm
un +1 = 2 + un ; n ≥ 1
giới hạn đó.
HD Giải
 a = −1
Đặt limun = a. Ta có un +1 = 2 + un ⇒ lim un+1 = lim 2 + un ⇒ a = 2 + a ⇒ a2 − a − 2 = 0 ⇒ 
a = 2

Ta có u1 = ; u2 = ; u3 = ; u4 = . Từ đó ta dự đoán un =
(1)
2
3
4
5
n +1
Chứng minh dự đoán trên bằng qui nạp:
1
1
- n = 1, ta có u1 =
= (đúng)
1+1 2
k
- Giả sử đẳng thức (1) đúng với n = k ( k ≥ 1 ), nghĩa là uk =
. Khi đó ta có
k +1
1
1
k +1
uk +1 =
=
=
, nghĩa là đẳng thức (1) cũng đúng với n = k + 1.
k
2 − uk
k+2
2−
k +1
n

16
2
Chứng minh dự đoán trên bằng qui nạp (tự chứng minh)
n
  1 n −1 

1 
2 n −1 + 1
Từ đó, lim un = lim un = n −1 = lim 1 +    = lim 1 + 2.    = 1
2
  2  

 2  
u1 = 1

Bài 1.31. Cho dãy số (un) xác định bởi công thức truy hồi 
2un + 3
un +1 = u + 2 ; n ≥ 1

n
a) Chứng minh rằng un > 0 với mọi n
b) Biết (un) có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.
HD Giải
a) Chứng minh bằng quy nạp: un > 0 với mọi n.
(1)
- Với n =1, ta có u1 = 1 > 0
- Giả sử (1) đúng với n = k ( k ≥ 1 ), nghĩa là uk > 0, ta cần chứng minh (1) cũng đúng với n = k + 1. Ta
2u + 3
2u + 3
có uk +1 = k


Bài 1.32. Cho dãy số (un) xác định bởi 
2un
−6
un +1 =
3

Gọi (vn) là một dãy số xác định bởi vn = un + 18
a) Chứng minh rằng (vn) là một cấp số nhân lùi vô hạn
b) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (vn) và tìm lim un
HD Giải
2
2
a) Ta có vn +1 = un +1 + 18 = un − 6 + 18 = un + 12
3
3
Thay un = vn – 18 vào đẳng thức trên, ta được:
2
2
vn +1 = ( vn − 18) + 12 = vn .
3
3

Điều này chứng tỏ, dãy số (vn) là một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q =
b) Gọi S là tổng CSN lùi vô hạn (vn). Khi đó S =

2
3

v1

Bài 1.35. Tính các giới hạn sau:

a) lim

n4 − 40n3 + 15n − 7
n 4 + n + 100

3.2 n − 8.7n
lim
4.3n + 5.7n

b) lim
e) lim

 n −1 
c) lim 

 n 

n+2
d) lim 

 n +1 

2n 2 − n
c) un =
1 − 3n2

4n
d) un =


n −1

(2

n

+4

Bài 1.36. Tính các giới hạn sau
(−3)n + 2.5n
1 + 2 + 3 + ... + n
a) lim
b) lim
c) lim n 2 + 2n + 1 − n2 + n − 1
n
2
1− 5
n + n +1
2 n +3
1
8
− 33n + 2
26 n +3 − 33n + 5
d) lim
e) lim 3n + 4 2 n +3
f) lim 3n + 4
4
+5
4


b) Tính tổng S = 1 + 0,9 + (0,9)2 + (0,9)3 + ... + (0,9)n −1 + ...

BT. ĐS> 11

14

Chương IV. Giới hạn


Toán 11

GV. Lư Sĩ Pháp

§2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
1. Giới hạn hữu hạn
−
Cho khoảng K, x0 ∈ K và hàm số f ( x ) xác định trên K (hoặc K \ { x0 } ). lim f ( x ) = L khi và chỉ khi
với dãy số ( xn ) bất kì, xn ∈ K \ { x0 } và xn → x 0 thì lim f ( xn ) = L

x → x0

n →+∞

−

Cho hàm số f ( x ) xác định trên khoảng ( x0 ; b ) . lim+ f ( x ) = L khi và chỉ khi với dãy số ( xn ) bất kì,
x → x0


x →+∞

kì, xn > a và xn → +∞ thì lim f ( xn ) = −∞ .
n →+∞

−

Cho khoảng K, x0 ∈ K và hàm số f ( x ) xác định trên K (hoặc K \ { x0 } ). lim f ( x ) = +∞ khi và chỉ
khi với dãy số ( xn ) bất kì, xn ∈ K \ { x0 } và xn → x 0 thì lim f ( xn ) = +∞

x → x0

n →+∞

−

lim f ( x ) = +∞ ⇔ lim  − f ( x ) = −∞
x →+∞

x →+∞

3. Định lí vể giới hạn hữu hạn
Định lí 1.
Giả sử lim f ( x ) = L và lim g( x ) = M . Khi đó
x → x0

x → x0

a) lim  f ( x ) ± g( x ) = L ± M
x → x0

x → x0

x → x0

4. Các giới hạn đặc biệt
a) lim x = x0
x → x0

BT. ĐS> 11

15

Chương IV. Giới hạn


Toán 11

GV. Lư Sĩ Pháp
lim

x →±∞

x → x0

c)

c
= 0 (c là hằng số).
x →±∞ x


π
= 1 ; lim tan x = ;
x →0
x →+∞
x
2
5. Quy tắc về giới hạn vô cực
a) Quy tắc tìm giới hạn của tíchƒ(x).g(x)

f) lim

lim tan x = −

x →−∞

π
2

Nếu lim f ( x ) = L ≠ 0 và lim g( x ) = +∞ hoặc  lim g( x ) = −∞  thì lim f ( x ).g( x ) được tính:
x → x0
x → x0
x → x0
 x → x0

lim f ( x )
lim g( x )
lim f ( x ).g( x )
x → x0

x → x0

+
−
+
−

x → x0

L
L>0

0

f (x)
x → x0 g( x )
0
+∞
−∞
−∞
+∞
lim

L
cao nhất của x trong dấu căn), trước khi chia tử và mẫu cho lũy thừa của x .
Dạng 3. Tính lim  f ( x ) − g( x ) khi lim f ( x ) = lim g( x ) = +∞ (hay dạng ∞ − ∞ ) hoặc
-

x → x0

x → x0

x → x0

Tính lim f ( x ).g( x ) khi lim f ( x ) = 0 và lim g( x ) = ±∞ (hay dạng 0.∞ )
x → x0

BT. ĐS> 11

x → x0

x → x0

16

Chương IV. Giới hạn


Toán 11
-

GV. Lư Sĩ Pháp

Nhân chia với biểu thức liên hợp( nếu có biểu thức chứa biến dưới dấu căn thức) hoặc quy đồng mẫu

Giả sử ( xn ) là một dãy số bất kì, thỏa mãn xn ≠ −2 và xn → −2 khi n → +∞ ( hay lim xn = −2 )

xn2 − 4
( x + 2)( xn − 2)
Ta có lim f ( xn ) = lim
= lim n
= lim( xn − 2) = −4
xn + 2
xn + 2
x2 − 4
= −4
x →−2 x + 2
2x2 + x − 3
2x2 + x − 3
b) lim
. Xét hàm số f ( x ) =
x →1
x −1
x −1
Hàm số xác định trên ℝ \ {1}

Vậy lim

Giả sử ( xn ) là một dãy số bất kì, thỏa mãn xn ≠ 1 và xn → 1 khi n → +∞ ( hay lim xn = 1)

3
2( xn − 1)  x n + 
2 x + xn − 3
2



3

2

Giả sử ( xn ) là một dãy số bất kì, thỏa mãn xn ∈  ; +∞  và xn → 4 khi n → +∞
3


Vậy lim

Ta có lim f ( xn ) = lim

xn + 1
4 +1
1
x +1 1
=
= . Vậy lim
=
x →4 3 x − 2
3 xn − 2 3.4 − 2 2
2

2 − 5x 2
2 − 5x 2
.
Xét
hàm
số


BT. ĐS> 11

17

Chương IV. Giới hạn


Toán 11

GV. Lư Sĩ Pháp

x +3
x →5 3 − x
1
d) lim
x →1
5− x

x3 + 1
x →+∞ x 2 + 1

a) lim

x 2 − 3x − 4
x →−1
x +1

1
e) lim  x.cos 

x3 + 1
x3 + 1
.
Xét
hàm
số
f
(
x
)
=
. Hàm số xác định trên ℝ
x →+∞ x 2 + 1
x2 + 1
Giả sử ( xn ) là một dãy số bất kì và xn → +∞ khi n → +∞

b) lim

1
x +1
xn3
x3 + 1
Ta có lim f ( xn ) = lim
= lim
= +∞ . Vậy lim 2
= +∞
x →+∞ x + 1
1
x +1
1+ 2

1
1
d) lim
. Xét hàm số f ( x ) =
x →1
5− x
5− x
Hàm số xác định trên ( −∞;5 ) và x = 1 ∈ ( −∞;5 )

Vậy lim

Giả sử ( xn ) là một dãy số bất kì, thỏa mãn xn ∈ ( −∞;5 ) và xn → 1 khi n → +∞
Ta có lim f ( xn ) = lim

1
5 − xn

=

1
5 −1

=

1
1
1
. Vậy lim
=
x →1


18

Chương IV. Giới hạn


Toán 11

GV. Lư Sĩ Pháp

a) lim
x →3

a) lim
x →3

x2 +1
2 x

x2 + 1
2 x

= lim
x →3

x2 + x − 2
x −1

b) lim
x →1

c) lim

+ lim
x →3

=

lim 2.lim x
x →3

d) lim

lim x.lim x + lim1
x →3

x →3

x →3

x →3

lim 2. lim x
x →3

x →3

=

5
3

x ( x + 1)
2x2 − x + 1 4
=
= −4
x →−1 x 2 + 2 x
−1
Bài 2.4. Tính các giới hạn sau:

d) lim

x2 − 1
a) lim
x →−3 x + 1

4 − x2
b) lim
x →−2 x + 2

c) lim
x →6

x +3 −3
x −6

d) lim

x →−2

(


x →−3

x +3 −3
= lim
x →6
x−6

c) lim
x →6

= lim
x →6

(

( x − 6)

x−6

( x − 6)

d) lim

x →−2

(

(

x +3 +3

1

2x − x −1
1
2( x − 1)  x + 
2


x + 7 −3

= lim
x →2

(

x →3

(2 − x )

(

x + 7 −3

(

HD Giải
( x + 3)
4
= lim
=


x2 + 5 − 3
x+2

x →3

(1 + x )3 − 1
x →0
x

2

2− x

x +7 −3

e) lim

= lim  −

x →2 

c) lim

1
6

2− x

x →2


x →−2

(

x+7 +3

x−2

)

x + 7 + 3  = −6


x2 − 2x − 3 9 − 6 − 3
=
=0
x −1
3 −1

BT. ĐS> 11

19

Chương IV. Giới hạn


Toán 11

GV. Lư Sĩ Pháp


x2 + 5 − 3
x2 + 5 − 9
x −2
2
= lim
= lim
=−
x →−2
x →−2
x+2
3
x2 + 5 + 3
( x + 2) x 2 + 5 + 3

f) lim

)

(

x →−2

Bài 2.6. Tính các giới hạn sau:
x − x3
x →1 (2 x − 1)( x 4 − 3)

a) lim

x −3

(

x −3
x −3
=
lim
x →9 9 x − x 2
x →9
9x − x2

b) lim

(

)(
)(

) = lim x − 9 = − lim
x + 3)
x ( 9 − x ) ( x + 3)
x(

x +3

x →9

x →9

1
x +3

x→ 3

d) lim x − 8
2

x→ 3

b) lim

x →−1

d) lim x 2 − 8 = 5
x→ 3

1 − x 3 − 3x
e) lim
=3
x →−2 2 x 2 + x − 3
Bài 2.8. Tính các giới hạn sau:

(

f) lim

2 x +1 − 5 x2 − 3
2x + 3

x →−2

)


c) lim 3

2 x +1 − 5 x2 − 3
1 − x 3 − 3x
e) lim
f) lim
x →−2 2 x 2 + x − 3
x →−2
2x + 3
HD Giải

a) lim x 2 − 4 = 3 − 4 = 1
c) lim 3

x3
x2 − 3

=3

2 x 3 + 3x − 4
x →+∞ − x 3 − x 2 + 1

b) lim
20

Chương IV. Giới hạn


Toán 11

(

)

2 x 3 + 3x − 4
b) lim
= lim
x →+∞ − x 3 − x 2 + 1
x →+∞

3 4
−
x 2 x 3 = −2
1 1
−1 − + 3
x x
2+

1
1
1
1
− x 4+ 2
−x 1− + x 4 + 2
x − x − 4x + 1
x
x
x = lim
x
= lim

x 4 − − 2x
x
−x
1
= lim
=
x →−∞
4
1
−x 4 − − 2x
x
Bài 2.9. Tính các giới hạn sau:
2x − 6
17
−2 x 2 + x − 1
a) lim
b) lim 2
c) lim
x →+∞ 4 − x
x →+∞ x + 1
x →+∞
3+ x
2

x 1−

2

)



c) lim

−2 x + x − 1
= lim
x →+∞
3+ x

e) lim

x2 +1 + x
= lim
x →+∞
5 − 2x

x →+∞

x →+∞

f ) lim

x →−∞

2

x →−∞

b) lim

x →+∞


−2 +

3−

2

1
1
1
+x
x 1+ 2 + x
1+ 2 +1
2
x
x
x
= lim
= lim
= −1
x
→+∞
x
→+∞
5
5 − 2x
5 − 2x
−2
x
2 4