Tổ 4 – 12A
1
– K43
1
2
Chơng 1 động lực học vật rắn
I. Hệ thống kiến thức
- Khi vt rn quay quanh mt trc c nh, thỡ cỏc im trờn vt rn cú cựng gúc
quay.
1) Xác định vị trí của vật rắn quay quanh một trục:
Dùng toạ độ góc = (t)
- To gúc ca im M l s o ca gúc hp bi vộc
t bỏn kớnh ni im M (
OM
uuuur
) v trc Ox.: =
ã
( )
OM,Ox
uuuur uuur
.
- Tại thời điểm t
0
, vật rắn có tọa độ góc
0
; ti thi
im t, vật rắn có tọa độ góc . Gúc quay vt rn thc
hin trong thi gian t = t - t
0
l = -
0

=

=


=

Đơn vị: rad/s; Tốc độ góc có thể dơng hoặc âm: > 0 khi vt rn quay theo chiu
dng v < 0 khi vt rn quay ngc chiu dng
3) Khi quay đều: = const; chọn t
0
= 0. Phơng trình chuyển động quay đều: =
0
+ t.
4) Gia tốc góc: Đặc trng cho độ biến thiên nhanh hay chậm của tốc độ góc.
Gia tốc góc trung bình trong khoảng thời gian t = t t
0
là:
0
0
tb
t t t





= =

.

2
0
t
2
1
t
++=
;
2
-
0
2
= 2( -
0
)
3
x
M
0

O
M

O

0

(+)
*Chú ý : quay nhanh dần: > 0 ; quay chậm dần: > 0
quay nhanh dần đều : > 0 và = const ; quay chậm dần đều : > 0

t
= .R; a =
2 2
n t
a a+
+ Gia tốc hớng tâm ( gia tốc pháp tuyến)
n
a
r
vuông góc
với
v
r
; đặc trng cho sự thay đổi về hớng của véc tơ vận tốc
v
r
.
+ Gia tốc tiếp tuyến
t
a
r
theo phơng của
v
r
; đặc trng cho sự
thay đổi về độ lớn của
v
r
.
7/ Với bánh xe lăn không trợt trên đờng

&
F
r
; tay đòn của lực là d: khoảng cách từ trục quay đến giá của
lực nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục quay.(
r
r
l vect bán kính ni tâm quay &
im t ca
F
r
)
Th ờng gặp :
F
r
vuông góc với
r
r
( lực tiếp tuyến) => M = F.d
Quy ớc : Mô men lực có giá trị dơng nếu nó làm cho vật quay theo chiều dơng và ngợc
lại.
9) Quy tắc mô men lực: Muốn vật rắn quay quanh một trục cố định ở trạng thái cân
bằng, thì tổng đại số các mô men của các lực tác dụng vào vật đối với trục quay đó phải
bằng không.

=
0M
=> lúc đó vật rắn quay đều
10) Mô men quán tính:
+ Mô men quán tính của chất điểm đối với một trục quay đặc trng cho mức quán tính

2
;
+ Thanh mảnh, chiều dài l , trục quay đi qua một đầu và vuông góc với thanh:
I =
3
1
m. l
2
;
*Mô men quán tính của một số vật rắn đồng chất đối với trục đối xứng
+ Vành tròn và trụ rỗng bán kính R: I = m.R
2
.
+ Đĩa tròn mỏng và hình trụ đặc bán kính R : I =
2
1
m.R
2
.
+ Hình cầu đặc bán kính R: I =
5
2
m.R
2
.
+ Định lí về trục song song:
Mômen quán tính của một vật đối với một trục quay D bất kỳ
(I
D
) bằng momen quán tính của nó đối với trục đi qua trọng tâm (I

=

=

=
= L
/

L = I là mô men động lợng. (hoặc M
t
L
t
)I(
t
I


=


=


=
)
* Mô men ngoại lực đặt lên vật rắn có trục quay cố định bằng đạo hàm theo thời gian
của mô men động lợng của vật rắn đối với trục quay đó. M = L(t)
5
( D)
( )


+ Định lí về động năng: W
d
= I.
2
2
- I.
1
2
= A.
+ Động năng của vật rắn trong chuyển động song phẳng (chuyển động song phẳng là
chuyển động mà các điểm trên vật rắn luôn nằm trong các mặt phẳng song song với nhau)
ví dụ : vật rắn vừa quay với tốc độ góc vừa chuyển động tịnh tiến với tốc độ v
C
:
22
Cd
.I
2
1
v.m
2
1
W
+=
; v
C
= R.
2
. m là khối lợng của vật, v

(rad/s,
vũng/s)


= = =
2
2 f const
T
0
t

= +
Phng trỡnh
vn tc
3. Ta
gúc
(rad)
t

+=
0
2
0 0
1
2
t t

= + +
Phng
trỡnh

v (m/s)
constRv
==
ω
tavRv
t
+==
0
ω
6. Gia tốc
hướng tâm a
n
(m/s
2
)
R
v
Ra
n
2
2
==
ω
R
v
Ra
n
2
2
==

= +
= +
tn
aa

⊥
Chú ý:
 Mọi điểm của vật rắn đều chuyển động tròn trong mặt phẳng vuông góc với
trục quay, tâm nằm trên trục quay, bán kính bằng khoảng cách từ điểm xét đến trục
quay.
 Các đại lượng ϕ, ω, γ có giá trị đại số, phụ thuộc vào chiều dương được chọn
(
thường chọn chiều dương là chiều quay của vật
).
 Đổi đơn vị: 1 vòng = 360
0
= 2π rad
 βω>0: chuyển động quay nhanh dần.
βω<0: chuyển động quay chậm dần.
 Gia tốc góc:
2
2
' "
ω ϕ
γ ω ϕ
= = = =
d d
dt dt

 Gia tốc dài:

mrI
=
của chất điểm đối với một trục
∑
=
2
ii
rmI
của vật rắn đối với một trục

a. Thanh mảnh
2
12
1
mLI
=
Các vật đồng chất, có dạng hình học
đối xứng. L: chiều dài thanh.

b. Vành tròn ( hình trụ rỗng)
2
mRI
=

c. Đĩa tròn( hình trụ đặc)
2
2

= =
∑
Phương trình ĐLH của vật rắn quay
quanh một trục cố định (dạng khác của
ĐL II Newton)
 Dạng khác
dt
dL
M
=
∑
Chú ý:
 Công thức Stenner:
2
mdII
GO
+=
dùng khi đổi trục quay.
d = OG : khoảng cách giữa hai trục quay.

0
F
M =
r
: nếu
F

có giá cắt hoặc song song với trục quay.
 Định lí biến thiên mômen động lượng:


, ω
2
: mômen quán tính và tốc độ góc của vật lúc sau.
Chú ý:
 Áp dụng định luật cho hệ vật rắn có cùng trục quay:
∑
=
constL
đối với trục
quay đó.
 Khi I = const ⇒ ω = 0 : vật rắn không quay.
hoặc ω = const: vật rắn quay đều.
VẤN ĐỀ 4. KHỐI TÂM. ĐỘNG NĂNG CỦA VẬT RẮN
1. Tọa độ khối tâm:
∑
∑
=
i
ii
C
m
xm
x

∑
∑
=
i
ii
C

W
C
mv
=
2
ñ
2
1
W
ω
I
=
22
ñ
2
1
2
1
W
ω
Imv
C
+=
Chú ý:
 Xem khối tâm trùng với trọng tâm G. Khi mất trọng lượng, trọng tâm không còn
nhưng khối tâm luôn tồn tại.
 Vật rắn lăn không trượt:
ω
Rv
C

Mômen lực M
Mômen quán tính I
Mômen động lượng L = Iω
Động năng quay
2
đ
1
W
2
I
ω
=
rad
rad/s
rad/s
2
Nm
kgm
2
kgm
2
/s
J
Toạ độ x
Tốc độ v
Gia tốc a
Lực F
Khối lượng m
Động lượng p = mv
Động năng

2 2
0 0
2 ( )
ω ω γ ϕ ϕ
− = −
 Phương trình động lực học

M
I
γ
=
o Dạng khác
dL
M
dt
=
 Định luật bảo toàn mômen động lượng
1 1 2 2

i
I I hay L const
ω ω
= =
∑
 Định lý về động năng

2 2
đ 2 1
1 1
W


F
a
m
=
o Dạng khác
dp
F
dt
=
 Định luật bảo toàn động lượng
i i i
p m v const= =
∑ ∑
 Định lý về động năng

2 2
đ 2 1
1 1
W
2 2
mv mv A∆ = − =
(công của ngoại
lực)
► Kiến thức bổ sung:
* Chuyển động song phẳng của vật rắn là chuyển động trong đó tất cả các điểm của vật đều
có quỹ đạo nằm trong các mặt phẳng song song với nhau
- Chuyển động phẳng của vật rắn có thể phân tích thành chuyển động tịnh tiến của khối
tâm G của vật rắn và chuyển động quay quanh trục đi qua G.
10

1
I
ω
2
Vậy động năng của vật rắn: W
d
=
2
1
m.V
G
2
+
2
1
I.
ω
2
* Thế năng trọng trường của vật rắn bằng mgh, với h là độ cao của khối tâm tính từ gốc thế
năng.
* Công nguyên tố của các ngoại lực tác dụng lên vật rắn quay quanh 1 trục bằng góc quay
nguyên tố d
ϕ
nhân với tổng momen các lực đối với trục quay M: d
A
= M.d
ϕ
* Nếu tất cả các lực (kể cả lực quán tính) tác dụng lên hệ vật đều là lựu thế thì có thể xác
định thế năng của hệ và cơ năng của hệ được bảo toàn.
II. Các dạng bài tập:

+
ω
o
t +
2
1
γ
t
2ω
2
-
ω
o
2
= 2
ϕγ
∆
.
Gia tốc của một chuyển động tròn không đều
a
n
=
r
v
2
=
2

.
2
1
.
t
t
+=

=


2
22
o

=> S vũng quay: n =


2

(vũng)
b. Tớnh tc gúc ti thi im t k t thi im t
1
+ Chuyn ng quay u:

=
t
t
1


.

c. Tớnh gia tc gúc ca chuyn ng quay bin i u:






=
.2
22
o

I
M
=

(I l momen quỏn tớnh)
d. Tớnh gia tc ca chuyn ng quay khụng u:

tn
aaa
+=
a
n
=
r
r
v

t
a
a
*Bi tp dng 1:
Bi tp 1:
Một vật rắn bắt đầu quanh nhanh dần đều quanh một trục cố định, sau 6s nó quay đợc một
góc bằng 36 rad.
a) Tính gia tốc góc của bánh xe.
b) Tính toạ độ góc và tốc độ góc của bánh xe ở thời điểm t = 10s tính từ lúc bắt đầu quay.
c) Viết phơng trình và vẽ đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của toạ độ góc của vật rắn theo thời
gian?
d) Giả sử tại thời điểm t =10s thì vật rắn bắt đầu quay chậm dần đều với gia tốc góc có giá trị
bằng gia tốc góc ban đầu. Hỏi vật rắn quay thêm đợc một góc bằng bao nhiêu thì dừng lại ?
Gii:
Chọn mốc thời gian t = 0 tại thời điểm vật rắn bắt đầu quay, toạ độ góc ban đầu
0
0 =
. Chọn
chiều dơng là chiều quay của vật rắn.
a) Tính gia tốc góc
12
- áp dụng công thức:
2
0 0
1
t t
2
= + +
, trong đó:
0

t t
2
= + +
. Mặt khác,
0
0 =
,
0
0 =
và theo câu a) ta có
2
2rad / s =
suy ra:
2
t =
.
- Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của toạ độ góc của vật rắn theo thời gian chính là đồ thị của
hàm số
2
t =
, đồ thị hàm số là nửa nhánh parabol đi qua gốc toạ độ nh hình vẽ.
d) áp dụng công thức:
( )
2 2
0 0
2 2 . = =
, trong đó
0
=
là tốc độ góc tại

.
*Dng 2: Momen lc. Momen quỏn tớnh ca vt rn
1. Cỏc cụng thc liờn quan:
Momen lc: M = F.d
M =

.I
Momen quỏn tớnh: I =
2
.rm
(cht im)
I =
2
.
i
i
i
rm

(vt rn)
nh lý trc song song: I
2
.dmI
G
+=

+ Cỏc cụng thc thun tin trong gii trc nghim v momen quỏn tớnh ca mt s vt
rn ng cht cú dng hỡnh hc i xng (trỡnh by phn lý thuyt)
2. Phng phỏp gii:
a. Tớnh momen lc ri thụng qua ú tớnh cỏc i lng c trng ca chuyn ng quay: