Chuyªn ®Ị ph¬ng tr×nh mò vµ l«garit ¤n tËp líp 12
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chuyªn ®Ị:  PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG
CÓ CHỨA MŨ VÀ LOGARÍT.
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ
1. Các đònh nghóa:
•
n
n thua so
a a.a...a=
123

(n Z ,n 1,a R)
+
∈ ≥ ∈
•
1
a a=

a∀
•
0
a 1=

a 0∀ ≠
•
n
n
1
a
a

2. Các tính chất :
•
m n m n
a .a a
+
=
•
m
m n
n
a
a
a
−
=
•
m n n m m.n
(a ) (a ) a= =
•
n n n
(a.b) a .b=
•
n
n
n
a a
( )
b
b
=

II. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LÔGARÍT
1. Đònh nghóa: Với a > 0 , a
≠
1 và N > 0------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
GV:
GV:
TTD
TTD

1 a>1
y=a
x
y
x
1
0<a<1
y=a

a
a

2. Các tính chất :
•
a
log 1 0=

a
log a 1=
•
M
a
log a M=

log N
a
a N=
•
a 1 2 a 1 a 2
log (N .N ) log N log N= +

1
a a 1 a 2
2
N
log ( ) log N log N
N
= −
•

a
1
log N log N
k
=
4. Hàm số logarít: Dạng
a
y log x=
( a > 0 , a
≠
1 )
• Tập xác đònh :
+
=D R
• Tập giá trò
=T R
• Tính đơn điệu:
* a > 1 :
a
y log x=
đồng biến trên
+
R
* 0 < a < 1 :
a
y log x=
nghòch biến trên
+
R
• Đồ thò của hàm số lôgarít:

a
N
⇔
M = N
5. Đònh lý 5: Với 0 < a <1 thì : log
a
M < log
a
N
⇔
M >N (nghòch biến)
6. Đònh lý 6: Với a > 1 thì : log
a
M < log
a
N
⇔
M < N (đồng biến)------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
GV:
GV:

Ví dụ : Giải các phương trình sau :

x 10 x 5
x 10 x 15
16 0,125.8
+ +
− −
=

Bài tập rèn luyện:
a,
3
17
7
5
128.25,032
−
+
−
+
=
x
x
x
x
(x=10) b,
( ) ( )
2 2
2 4
log (2 3 5) log (3 5)

 ÷
 
e,
( ) ( )
2 1
2
1
2 3 2 3
x
x
x
−
−
+
− = +
2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số
c¸c d¹ng to¸n c¬ b¶n sau:
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 ( ) ( )
3 ( ) 2 ( ) ( )
( ) ( )
2f(x) ( ) 2 ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
1 . .

+ =
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1)
2x 8 x 5
3 4.3 27 0
+ +
− + =
2)
x x x
6.9 13.6 6.4 0− + =
3)
x x
( 2 3 ) ( 2 3 ) 4− + + =
4)
322
2
2
2
=−
−+−
xxxx
5)
027.21812.48.3
=−−+
xxxx
6)
07.714.92.2
22
=+−
xxx

xxx
(x=0)
4)
12
21025
+
=+
xxx
(x=0)
5)
x x
( 3 8 ) ( 3 8 ) 6+ + − =
(
)2
±=
x
6)
xxx
8.21227
=+
(x=0)
3. Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B = 0 ...
Ví dụ : Giải phương trình sau :
1) 8.3
x
+ 3.2
x
= 24 + 6
x
2)

+ + = + + +
4. Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh
nghiệm duy nhất (thường là sử dụng công cụ đạo hàm)
* Ta thường sử dụng các tính chất sau:------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
GV:
GV:
TTD
TTD

3víi b=a.c ta chia 2 vÕ cho c
2f(x)
råi ®Ỉt Èn phơ
víi (a+b)(a-b)=1 ta ®Ỉt Èn phơ t= (a+b)
f(x)

víi
a b a b

g(x
0
) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x))
c¸c d¹ng to¸n c¬ b¶n sau:
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
f(x) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
1
2 . . .
3 . a+b . a-b
4 . a+b . a-b .
5 a ( )
6
f x g x
f x f x
f x f x
f x f x
f x
x x
f g
a b
a b c

( ) 2x 1
3
= +
4; 3.25
x-2
+9(3x-10).5
x-2
+3-x=0 5;
2 2 2
log log 3 log 9
2
.3
x
x x x− =
Bài tập rèn luyện:
1)
163.32.2
−=+
xxx
(x=2) 2)
x
x
−=
32
(x=1)
3;
2 2
log 3 log 5
x x x+ =
4;

2 1
2
log (4 4) x log (2 3)
+
+ = − −
3)
)3(log)4(log)1(log
2
1
2
2
1
2
2
xxx
−=++−
(
141;11
+−=−=
xx
)
4;
2 2
2 2 2
log (x 3x 2) log (x 7x 12) 3 log 3+ + + + + = +
2. Phương pháp 2: Ph¬ng ph¸p l«garÝt ho¸
Tỉng qu¸t:
( )
( )
f(x) ( ) f(x) ( )

1+log x
2
x = 3 .x
d;
2x 2 x
7 5
5 7=
e;
3
x
x
x+2
.8 = 6
3. Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số.
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1)
3
3
2 2
4
log x log x
3
+ =
2)
051loglog
2
3
2
3
=−++

3;
x 2x 2
log 2.log 2.log 4x 0=
4;
( )
2
3 3
x 3 log (x 2) 4(x 2)log (x 2) 16+ + + + + =
5;
2 2
3x 7 2x 3
log (9 12x 4x ) log (6x 23x 21) 4
+ +
+ + + + + =
6;
2
25 5
log (5 ) 1 log 7
7 0
x
x
−
− =
3. Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B = 0
Ví dụ : Giải phương trình sau :

2 7 2 7
log x 2.log x 2 log x.log x+ = +
Bài tập rèn luyệnï:


) = g(x
0
) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x))
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
a;
2
2 2
log (x x 6) x log (x 2) 4− − + = + +
b;
2 3
log (x 1) log (x 2)+ = +
c;
2
2
log (x x 5) 2 x+ − = −
V. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a
M
< a
N
(
, ,≤ > ≥
)
Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :
1)
2
x x 1
x 2x
1
3 ( )

2
≥
x
)b;
2 3
2
1
2 1
x
x
x
−
−
 
≤
 ÷
+
 

2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1)
2x x 2
2 3.(2 ) 32 0
+
− + <
2)
x 3 x
2 2 9
−

)
6;
0449.314.2
≥−+
xxx
(
3log
7
2
≥
x
)
VI. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG:
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản :
a a
log M log N<
(
, ,≤ > ≥
)
Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :
1)
2
x
log (5x 8x 3) 2− + >
2)
− <
2 3
3
log log x 3 1
3)

log 64 log 16 3+ ≥------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
GV:
GV:
TTD
TTD

5