Bài tập HHKG 11 _ Quách Duy Tuấn
Các bài toán tổng hợp hình học không gian
1)[ĐH_B04]
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy
bằng

(0
o
<

< 90
o
). Tính tg của các góc giữa hai mp(SAB) và (ABCD) theo

. Tính thể
tích khối chóp S.ABCD theo

.
2)[ĐH_A03]
Cho hình lập phơng ABCD.ABCD. Tính số đo của góc phẳng nhị diện [B, AC, D]
3)[ĐH_B03]
Cho hình lăng trụ đứng ABCD.ABCD có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a, góc

BAD = 60
o
. Gọi M là trung điểm AA, N là trung điểm CC. CMR bốn điểm B, M, D, N
cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA theo a để tứ giác BMDN là hình
vuông.
4)[ĐH_D03]
Cho hai mp(P) và (Q) vuông góc với nhau có giao tuyến là đờng thẳng



2222
1111
ADACABh
++=
.
10)[CĐSP Hà Nam_A04]
Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a; AC = BD = b; AD = BC = c.
a. Tìm tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện.
b. CMR bốn mặt của tứ diện là các tam giác có ba góc nhọn
11)[CĐGT_04]
1
Bài tập HHKG 11 _ Quách Duy Tuấn
Hình vuông ABCD có cạnh bằng một đơn vị độ dài. Hai điểm M, N lần lợt di động trên
cạnh AD và CD sao cho AM = x, CN = y và góc

MBN = 45
o
. Tìm x, y đẻ diện tích tam
giác MBN đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
12)[CĐ Y Tế Nghệ An_04]
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có cạnh BC = a. Trên đờng thẳng d vuông góc với
mp(ABC) tại A, lấy điểm S sao cho góc giữa hai mp(SBC) và (ABC) bằng 60
o
. Hãy tính độ
dài đoạn thẳng SA theo a.
13)[ĐH Tham Khảo 1_A03]
Cho lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với AB = AC = a,
góc


Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mp(ABC) và tam giác ABC vuông tại A, AD =
a, AC = b, AB = c. Tính diện tích S của tam giác BCD theo a, b, c và CMR

)(2 cbaabcS
++

19)[ĐH Tham Khảo 1_02]
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh bên vuông góc với
mp đáy (ABC). Tính khoảng cách từ điểm A tới mp(SBC) theo a biết rằng SA =
2
6a
.
20)[ĐH Tham Khảo 3_02]
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với
mp(ABCD) và SA = a. Gọi E là trung điểm của cạnh CD. Tính theo a khoảng cách từ S đến đ-
ờng thẳng BE.
21)[ĐH Tham Khảo 4_02]
Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền BC = a. Trên đờng thẳng vuông góc với
mp(ABC) tại A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mp(ABC) và (SBC) bằng 60
o
. Tính độ dài
đoạn thẳng SA theo a.
22)[ĐH Tham Khảo 5_02]
Tính thể tích khối tứ diện ABCD< biết AB = a, AC = b, AD = c và các góc BAC, CAD,
DAB đều bằng 60
o
.
23)[ĐH Tham Khảo 6_02]
2
Bài tập HHKG 11 _ Quách Duy Tuấn

SD.
a. CMR SC vuông góc với mp(AHK).
b. Hãy xác định thiết diện của hình chóp với mp(AHK). Tính diện tích của thiết diện
đó.
27)[ CĐ Khí Tợng Thuỷ Văn_A03]
Cho tứ giác ABCD có độ dài cạnh AB = x (x > 0), tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng
1. Tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai cạnh AB và CD. Tìm điều kiên đối với x để bài
toán có nghĩa.
28)[CĐSP Nha Trang_02]
Cho các tia Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc, lần lợt lấy các điểm khác O là M, N và S với
OM = m, ON = n, OS = a. Cho a không đổi, m và n thay đổi sao cho m + n = a.
a. Tính thể tích của hình chóp S.OMN. Xác định vị trí của M và N để thể tích trên đạt
giá trị lớn nhất.
b. CM các góc OSM = MSN = NSO = 90
o
.
29)[ĐHVH HN_98]
` Cho tứ diện ABCD có cạnh CD = 2a, các cạnh còn lại đều bằng a
2
a. CMR các góc

CAD và

CBD bằng 1 vuông
b. Tính diện tích toàn phần của tứ diện ABCD
c. CMR hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) vuông góc với nhau
30)[ĐHQG HN_B97]
Cho tam giác ABC, AB = AC. Một điểm M thay đổi trên đờng thẳng vuông góc với
mp (ABC) tại A (M không trùng với điểm A).
a. Tìm quỹ tích trọng tâm G và trực tâm H của tam giác MBC


CD. Hãy xác định đờng vuông góc chung của AB và CD.
b. Tính thể tích tứ diện ABCD.
c. Xác định tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
d. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên mp(ABC). CM H là trực tâm tam giác
ABC.
34)[HVCTQG TPHCM_99]
Cho tứ diện SABC có các cạnh bên SA = SB = SC = d và

ASB = 120
o
,

BSC = 60
o
,

ASC = 90
o
.
a. CM tam giác ABC vuông.
b. Tính thể tích tứ diện SABC.
c. Tính bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện SABC.
35)[ĐHKT_97]
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đờng cao SO = 1 và đáy ABC có cạnh bằng
62
.
Điểm M, N là trung điểm các cạnh AC, AB. Tính thể tích hình chóp SAMN và bán kính hình
cầu nội tiếp hình chóp đó.
36)[ĐHAN_99]

o
.
c. Tìm quỹ tích tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC khi S chạy trên d (S

A).
4
Bài tập HHKG 11 _ Quách Duy Tuấn
d. Lấy S đối xứng với S qua A, gọi M là trung điểm của SC. Xác định thiết diện tạo
bởi mp đi qua S, M và song song với BC cắt tứ diện SABC. Tính diện tích của thiết diện đó
khi SA =
2a
.
40)[ĐHQGHN_D97]
Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm I (A đối diện với C). Các nửa đờng thẳng Ax, Cy
vuông góc với mp(ABCD) và ở về cùng một phía với mp đó. Cho điểm M không trùng với A
trên Ax, cho điểm N không trùng với C trên Cy. Đặt AM = m, CN = n.
a. Tính thể tích của hình chóp B.AMNC (Đỉnh B, đáy AMNC).
b. Tính MN theo a, m, n và tìm điều kiện đối với a, m, n để góc

MIN vuông
41)[ĐHSP Vinh_B E99]
Cho tứ diện ABCD. Một mp (

) song song với AD và BC cắt các cạnh AB, AC, CD,
DB lần lợt tại M, N, P, Q.
a. CM tứ giác MNPQ là hình bình hành.
b. Xác định vị trí của (

) để cho diện tích tứ giác MNPQ đạt giá trị lớn nhất.
42)[ĐHSP Vinh_G99]

2
với k là hằng số dơng, tìm giá trị lớn
nhất của độ dài OH và của diện tích tam giác ABC.
c. CMR a
2
tgA = b
2
tgB = c
2
tgC.
45)[ĐHSP TPHCM_95]
Cho góc tam diện Sxyz với

xSy = 120
o
,

ySz = 60
o
,

zSx = 90
o
. Trên các tia Sx,
Sy, Sz theo thứ tự lấy các điểm A, B, C sao cho SA = SB =SC = a.
a. CMR tam giác ABC vuông. Xác định hình chiếu vuông góc H của S lên mp(ABC).
b. Tính bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện SABC theo a.
c. Tính góc phẳng của nhị diện [(SAC),(BAC)].
46)[ĐHQG TPHCM_99]
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA