Giải phương trình – một dạng tốn đã trở nên q quen thuộc với người học tốn, một dạng tốn mà
ngay từ Tiểu học các em đã được làm quen với nó (Bài tốn tìm x). Giờ đây với chúng ta nó càng đa
dạng hơn, hấp dẫn hơn và dĩ nhiên sẽ phức tạp hơn rất nhiều.
Chúng ta vẫn thường quen với giải phương trình bậc nhất (ở lớp 8), phương trình bậc hai (ở lớp 9).
Nhưng ngay từ lớp 6, bài tốn tìm nghiệm ngun đã gây khơng ít khó khăn tới học sinh. Tuần này CLB
muốn gửi đến các em Kỳ I về 3 phương pháp tìm nghiệm ngun. Mời các em tham khảo.
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VỚI NGHIỆM NGUYÊN
KỲ I: 3 PHƯƠNG PHÁP ƯU VIỆT NHẤT
I. Phương pháp phát hiện tính chia hết của một ẩn
Xét PT: ax + by = c (1) , trong đó a,b,c
∈
Z; a
≠
0 hoặc b
≠
0
Ta có đònh lí: “PT (1) có nghiệm nguyên  c

ƯCLN(a,b)
Khi đã biết chắc PT (1) có nghiệm nguyên ta sẽ tìm các phương pháp để giải PT đó.
Ví dụ1. Giải phương trình với nghiệm nguyên : 3x + 17y = 159
Hướng dẫn : Để ý 3x và 159 đều chia hết cho 3
Giải : Vì 3x và 159 đều chia hết cho 3. Do đó 17y chia hết cho 3. Mà 17 và 3 nguyên tố cùng nhau,
nên y

3. Đặt y = 3t (t
∈
Z).
=> 3x + 17.3t = 159
⇔
x + 17t = 53. Do đó :



−=
=
ty
tx
212
13
(nếu phát hiện x

13) hoặc



=
−=
ty
tx
2
1378
(nếu phát hiện y

2)
(Thực chất các nghiệm trên là như nhau)
b) 35x + 20y = 120
2/ Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x, y sao cho 2x
2
+ y
2
= 2007

+ 4k = 2004. Sốø 2004

8 mà 8h
2
+ 8h + 4k
2
+ 4k

8. Vô lí. Vậy không tồn
tại các số nguyên x, y thỏa mãn 2x
2
+ y
2
= 2007.
3/ Tồn tại hay không m, n
∈
N thỏa mãn m
2
+ 2006 = n
2
.
Giải Ta có 2006 = n
2
– m
2
= (n – m)(n + m). Nếu n và m không cùng tính chẵn, lẻ thì n
2
– m
2
=

y
y
= 1 +
1
3
−
y
.
Để x
∈
Z thì
1
3
−
y

∈
Z => y – 1
∈
Ư(3)
y – 1 = 1 y = 2; x= 4
y = 0; x = -2 y – 1 = -1
=> y = -2 ; x = 0 => y – 1 = -3
y = 4 ; x = 2 y – 1 = 3
Ví dụ 3. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : 7x + 4y = 23
Giải : Biểu thò y theo x ta được : y =
4
1
26
4

∈
Z ; a
≠
0 ; b
≠
0 và (a,b) = 1. Nếu
(x
0
; y
0
) là một nghiệm nguyên của PT (1) thì PT (1) có vô số nghiệm nguyên và mọi nghiệm nguyên
của nó đều có thể biểu diễn dưới dạng :
x = x
0
+ bt
y = y
0
- at
Ví dụ : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : 5x - 3y = 2
Giải :
Cách 1 : Dễ thấy x
0
= 1 ; y
0
= 1 là một nghiệm riêng nên tập hợp các nghiệm nguyên của phương
trình là :
x= 1 -3t
y= 1 – 5t
Cách 2 : Ta cũng thấy x
0