CHUYÊN ĐỀ : BẤT ĐẲNG THỨC
I) Lý thuyết :
ĐN : Nếu a > 0 ; b > 0 ; và a > b thì a – b > 0
Tính chất :
Nếu a > b thì a + c > b + c
Nếu a > b và b > c thì a > c
Nếu a > b + c
⇔
a – c > b
Nếu a > b và c > d
⇔
a + c > b + d
Nếu a > b
⇔
a.c b.c 0
. . 0
nếu c
a c b c nếu c

> >

< <

Nếu a > b > 0 và c > d > 0
⇒
ac > bd
Nếu a > b, n nguyên dương
⇒
a
n
> b

, a
2
, a
3
, …………,a
n
là các số không âm . Khi đó :
1)
n
n
n
aaaa
n
aaaa
.......
.......
321
321
≥
++++
2) Dấu bằng xãy ra trong (1) khi a
1
= a
2
= a
3
= ………= a
n
* Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski : Cho a
1

.......................
nnnn
babababbbaaa
+++≥+++++
2) Dấu bằng xãy ra khi :
n
n
b
a
b
a
b
a
===
........
2
2
1
1
* Bất đẳng thức Trê-bư-sep : Cho hai dãy tăng a
1
< a
2
< a
3
< …….< a
n
và b
1
< b

hoặc b
1
= b
2
=………..=b
n
• Chú ý : Cần tránh các sai lầm sau :
• Trừ từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều.
• Nhân từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều mà không có giả thiết các vế không âm.
• Bình phương hai vế của bất đẳng thức mà không có giả thiết hai vế không âm.
• Khử mẩu khi chưa biết dấu của biểu thức dưới mẩu.
• Nghòch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức khi chưa có giả thiết hai vế cùng vế.
• Thừa nhận x
m
> x
n
với m , n nguyên dương và m > n khi chưa biết điều kiện của x.
• Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức
 Phương pháp : Dùng đònh nghóa.
 Phương pháp : Biến đổi tương tương.
 Phương pháp : Làm trội.
 Phương pháp : Phản chứng.
Muốn chứng minh một bất đẳng thức ta phải dựa vào những bất đẳng thức đúng dã biết.
Chú ý : ( Ghi nhớ )
2 2
1) 0, 0
" " 0
2)
" " 0
a

2
2 2
2 a b a b
+ ≤ +
Bài 4 : Chứng minh rằng :
2 2 2
2 2 2x y z xy yz
+ + ≥ −
Bài 5 : Chứng minh rằng :
( )
2 2 2
3 2a b c a b c
+ + + ≥ + +
Bài 6 : Chứng minh rằng :
2
2 2
2
4
a
b c ab ac bc
+ + ≥ − +
Bài 7 : Chứng minh rằng :
4 2 3
4 5 8 2 1a a a a
+ ≥ + −
Bài 8 : Chứng minh rằng :
( )
2 2 2 2 2
a b c d e a b c d e
+ + + + ≥ + + +

2

≥
ab
HD : (
2
ba
+
)
2

≥
ab  ( a + b )
2
≥
4ab mở rộng thêm ta có thể CMR : (
3
cba
++
)
3

≥
abc
Bài 14 : Cho x >0 , y >0 . Chứng minh rằng :
yxyx
+
≥+
411
( dấu bằng xãy ra khi nào )

< b (a+c) = bc + ab
c < b + a => c
2
< c ( b+a) = cb +ca
Ta cộng từng vế ta có : a
2
+ b
2
+ c
2
< 2( ab+bc+ca)
Bài 16 : Chứng minh rằng : với mọi số thực a,b,c ta có các bất đẳng thức sau :
a) a
2
+ b
2
+ c
2

≥
ab + bc + ca b) a
4
+ b
4

≥
a
3
b + ab
3

4
+ b
4
- a
3
b - ab
3
= (a
4
– a
3
b) – (ab
3
– b
4
) = a
3
(a – b) – b
3
(a – b) = (a –b) ( a
3
– b
3
)
= (a-b)
2
( a
2
+ab+b
2

+ 1
≥
2a( ab
2
– a + c +1)
HD : Tương tự như bài 7
Bài 19 : Cho ba số thực a, b, c sao cho: a
2
+b
2
+c
2
= 1
Chứng minh rằng :
1
2
1
≤++≤−
cabcab
HD : (a+b+c)
2

≥
0 2( ab + bc + ca)
≥
-( a
2
+b
2
+c

111
(
≥++
cba
HD : Dùng Cauchy cho từng cặp sau đó nhân từng cặp ra kết quả ( ĐPCM)
a+b+c
≥
3
3
abc
;
3)
111
(
≥++
cba
3
1
abc
Bài 23: Với a>0; b>0; c>0 .Hãy chứng minh các bất đẳng thức sau:
1)
b
a
bc
c
ab
2
≥+
2)
cba

22
.
.
2
2
==≥+
;
a
b
ca
c
ab
2
≥+
Bài 24 : Cho a>0 ; b>0 ; CMR : a
3
+b
3
≥
a
2
b + ab
2

HD : a
3
+b
3
≥
a

bc
cb
ab
ba
222
333333
+
+
+
+
+
=
2
1
(
ca
ac
bc
cb
ab
ba
333333
+
+
+
+
+
)
≥
2

≤
3 (*) ; Tương tự : a
2
+ 1
≥
2a ; b
2
+ 1
≥
2b ; c
2
+1
≥
2c
 a
2
+ b
2
+ c
2
+ 3
≥
2 ( a + b + c )  a + b + c
≤
3 (**)
Từ (*) và (**) suy ra : ab + bc + ca + a + b + c
≤
6
Bài 27 : Chứng minh rằng : 2( a
3

3
≥
ac( a+c) cộng từng vế với nhau ta suy ra
được điều cần chứng minh
Bài 28 : Chứng minh rằng : a
4
+ b
4
+ c
2
+1
≥
2a ( ab
2
– a + c + 1)
∈∀
cba ,,
R ; “dấu bằng
xãy ra khi nào”
HD : ta có (a
2
+ b
2
)
2
= a
4
+ b
4
– 2a

b -
4
1
Bài 30 : Cho a, b, c > 0 chứng minh rằng : a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+1
≥
a + b + c + d
HD : a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+1 –( a + b + c + d)
≥
0
a
2
+ b
2
+ c

Với n n
n n n
+ + + > ∈ >
+ +
¥
HD :
( )
1 1 1
2 1
1 2
vì n n
n n n n
> = > +
+ +
;
Tương tự ta có
1 1
2 2n n
>
+
........................................

1 1
2 1 2n n
>
−

1 1
2 2n n
=