Tich luỹ chuyên môn Đinh Thị Huê
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chuyên đề thực hiện phép tính
A. Lý thuyết
1.Định nghĩa.
* Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x
2
= a.
* Với a > 0, có hai căn bậc hai của a là hai số đối nhau: Số dơng kí hiệu là,
a
số
âm kí hiệu là
a

.
* Với a

0,
a
đợc gọi là CBHSH của a.



=

=
ax
x
ax
2
0


0, B

0 )
2.
AB A B
=
(A, B

0 )
7.
1A
AB
B B
=
(A B

0, B

0
3.
A A
B
B
=
(A

0, B > 0 )
8.
A A B

A B
(A, B

0 )
10.
( )
2 2
T a A b B
T
a A b B
a A b B
=


m
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1
Tich luü chuyªn m«n §inh ThÞ Huª
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
B. Bµi tËp ¸p dông
Bµi tËp 1.Thùc hiÖn phÐp tÝnh.
a)
2
2
3
2
2

0
≥
a
c)
( )
2
2
−
( )
4
2
−
( )
2
32
2
2
2








−
( )
2
31

9
7
22
−
25
11
1
2
1
5
3
−
.
Bµi tËp 2.Thùc hiÖn phÐp tÝnh.
a)
36.25
c)
490.9,28
e)
24
)8.(3
−
b)
360.1,12
d)
250.001,0
f)
2
5a
víi

h
( ) ( )
23.23
−+
i
( ) ( )
53.53
−+
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2
Tich luü chuyªn m«n §inh ThÞ Huª
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
) ) )
Bµi tËp 4.Thùc hiÖn phÐp tÝnh.
a)
( )
2
12
+
b)
( )
2
12
−
c)
( ) ( )
12.12
−+
d)
( )

d
)
( )
2
225
+
e
)
( )
2
225
−
f
)
( ) ( )
225.225
−+
Bµi tËp 6.Thùc hiÖn phÐp tÝnh.
a)
196
169
25,2
0625,0
41,4
3
27
18
2
b)
( )

)
( ) ( )
22
2112
−−+
f
)
347347
−++
g
)
526526
−++
h
)
7474
+−−
i
)
( )( )
5321053
+−−
j
)
549549
+−−
k
)
324324
+−+

4
315
2
−
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3
Tich luü chuyªn m«n §inh ThÞ Huª
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
c)
( )
2
21
8
−
( )
3
1 x
−
( )
3
3
31
−
x

víi x > 3
d)
( )
5
550 a

−+
7 : 28
( )
2 : 8 - 18
( )
3 : 48 - 243 75
+
( )
35:2715 1220
−
2712
+
520
−
502852
−+
1082712
+−
125805
+−
1058045
−+
5
20
35
702 57 - 75
+
12
1
3

−+
3
1
1102775348
3
1
−−+
6.
2
3
3
2








+
6.
2
3
3
2





−+
( ) ( )
22
5252
−−+
5
5
12
1
−
52:5
5
4
4
5
20
2
1
5
1
5








+−+

1
+
−
−
5.
35
1
35
1






+
+
−
1281812226
−++−
( ) ( )
22
5252
−−+
( )
2
52
+
-
( )

738638
−−+
5122935
−−−
24923013
+++
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
4
Tich luỹ chuyên môn Đinh Thị Huê
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài tập 10.Khử mẫu số trong các căn thức sau:
a
)
2
3
2
32
13
4
+


( )
22
1
nm
nm
+
+
( )

32
b
a
1
1
2

+
x
x
b)
23
1
+
32
2

12
12

+
13
23
+
c)
321
1
++
32.232
1

+

+
++
Bài tập 13.Rút gọn biểu thức:
a)
50218483
+
485752125
+
b)
33
9
3
21
ab
b
ba
a
a
b
b
a
+
(a,b>0)
( )
84773228
++
Bài tập 14.Thực hiện phép tính:
a)






+

+

e)
13
1
32
1
+

+
f)
322
32
322
32


+
++
+
Bài tập 15.Đơn giản biểu thức:
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
5

1
21
1
+
++
+
+
+
+
+
b)
1009999100
1
...
4334
1
3223
1
22
1
+
++
+
+
+
+
+
c)
10099
1

7534823227
+
503218423
+
1471227532
+
d)
12580345220
+
12527220126
+
15063542244
+
Chuyên đề rút gon biểu thức
Bài tập 1: Rút gọn biểu thức:
A1=






+


a
a
aa
1
1







+


1
1
a
aa
KQ: 1- a
A3=









+
+






+
+
2
:
KQ: 1.
A5=






+


+






+

+
ab
ba
aab
b

2
1
KQ:
a
1
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
6
Tich luỹ chuyên môn Đinh Thị Huê
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
A7=
yyxx
yx
yx
yyxx
yx
yx
+














1<x<2, A=
2
Bài tập 2. Cho biểu thức:
B1=








+


+
+








+

+
xy
yx


+

3
12
2
3
65
92
a)Rút gọn B2.
b)Tìm x để B2<1.
KQ:
a)
3
1

+
x
x
;
b) 0 < x < 9.
Bài tập 4. Cho biểu thức:
B3=






+

a)Rút gọn B3.
b)Tìm a để B2=7.
KQ:
a)
a
aa 222
++
;
b) GPTBH ta đợc a=4;
4
1
.
Bài tập 5. Cho biểu thức:
B4=







+







++

3
32
1
23
32
1115
a)Rút gọn B5.
b)Tìm giá trị của x khi B5 =
2
1
.
KQ:
a)
3
52
+

x
x
;
b) x =
121
1
.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
7
Tich luỹ chuyên môn Đinh Thị Huê
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài tập 7 . Cho biểu thức:
B6=

1
xx
x
x
x
x
x
x
x
a)Rút gọn B6.
b)Tìm x để B6 < 0.
KQ:
a)
x
x
+

1
2
;
b) .
Bài tập 8 . Cho biểu thức:
B7=
2
12
.
12
2
1
2

yx
yx
yx
+
+










+
+

233
)(
:
a)Xác định x,y để B8 tồn tại;
b)Rút gọn B8;
c)Tìm giá trị nhỏ nhất của B8;
d)So sánh B8 và
8B
;
e)Tính số trị của B8 khi x = 1,8; y = 0,2.
KQ:
b)




+
+
+

+
12
)1)((
.
1
2
1
12
x
xxx
xx
xxxx
x
xx
a)Tìm x để B10 có nghĩa;
b) Rút gọn B10.
KQ:
a) ;
b)
xx
+
1
1

a
aa
a
a
a)Rút gọn B11;
b) Tìm giá trị của a để B10 = -4.
KQ:
a) -2
a
;
b) a = 4.
Bài tập 13 . Cho biểu thức:
B
12
=













+
+

KQ:
a) 4a ;
b)
62
12
+
;
c) 0 < a <
4
1
.
Bài tập 14 . Cho biểu thức:
B
13
=






+
+








biết x =
83
+
;
c)Tìm giá trị của x khi B
13
=
5
.
KQ:
a)
2
1
4
x
x

;
b) -2;
c) GPTBH ta đợc x
1
=
5
1
, x
2
= -
5
Bài tập 15 . Cho biểu thức:
B14=

42
+

a
a
;
b) ;
Bài tập 16 . Cho biểu thức:
B15=






+








+
+
1
2
1
1

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài tập 17 . Cho biểu thức:
B16=
11
1
1
1
3


+
+
+

x
xx
xxxx
a)Rút gọn B16;
b) Tìm giá trị của x sao cho B16 =4;
c)Tìm x

Z
+
để B16

Z
+
KQ:
a) -2
1

3
2
a
a
a
a
a
a
a
aa
a)Rút gọn B17;
b) Tìm giá trị của a sao cho B17 =1;
c)Khi nào B17 có giá trị dơng, âm.
KQ:
a)
3
4
2
+
a
a
;
b)Giải PTBH đợc a=
4
3
, a=-1;
Bài tập 19 . Cho biểu thức: B18=




b
a
thì B18 =1, hãy tìm các
giá trị a, b.
KQ:
a)
)( baa
ba


;
b)a=4, b=36.
Bài tập 20 . Cho biểu thức:
B19 =
a
a
a
aa
a
aa
+










.
Bài tập 21 . Cho biểu thức:
B20 =
3223
3223
babbaa
babbaa
+
+
a)Rút gọn B20;
b) Tìm tỉ số giữa a và b để sao cho B20 =
2
1
.
KQ:
a)
ba
ba
+

;
b)
3
=
b
a
.
Bài tập 22 . Cho biểu thức:
B21 =
x

a)Rút gọn B21;
b)Tính giá trị của B21 khi x =
206
+
;
KQ:
a)
2
2
+

x
x
;
b)
35
15
+

;
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
10
Tich luỹ chuyên môn Đinh Thị Huê
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
c) Tìm x

Z để B21

Z c)
Bài tập 23 . Cho biểu thức:

2
4


x
x
;
b)
3
132

;
c)
Bài tập 24 . Cho biểu thức:
B23 =
















23
2
22
a)Rút gọn B23;
b)Tính giá trị của B23 khi x =
223
+
;
c) Tìm giá trị của x để 3.B23=1.
KQ:
a)
2
1 x
x
+
;
b)
224
12
+
+
;
c)GPTBH
2
53
;
2
53
21








+





+
a)Rút gọn B24;
b)Tính giá trị của B24 khi x =
25
=
x
.
KQ:
a)
3
4
2

x
x
Bài tập 26 . Cho biểu thức:
B25 =


2
x
x
x
xx
x
x
x
a)Rút gọn B25;
b)Tính giá trị của B25 khi x =
324
+
;
c)Tìm x để B25 = -3.
a)
2
1
4
x
x

;
b)
323
)13(4

+
c) GPTBH
3
132



13
23
1:
19
8
13
1
13
1
x
x
x
x
xx
x
a)Rút gọn B26;
b)Tính giá trị của B26 khi x =6+2
5
;
c)Tìm x để B25 =
5
6
.
a)
13

+
x

+
+

+
1
1
1
1
1
2
x
x
xx
x
xx
x
a)Rút gọn B27;
b)Chứng minh B27 >3 với mọi x>0; x khác 1.
a)
x
xx 1
++
;
b)..
Bài tập 29 . Cho biểu thức:
B28 =
1
1
1
1

2
;
c)Tìm x để B28 =
2
3
.
KQ:
a)
)1(
12
+
+
xx
x
; b)
)22)(21(
322
++
+
;
c)GPTBH ta đợc: x=1 và x=
3
2

Bài tập 30 . Cho biểu thức:
B29 =
x
x
x
xx


Z để B29

Z.
KQ:
a)
x
x 2003
+
;
b) x=2003 và x = -2003
Bài tập 31 . Cho biểu thức:
2
1
)1(
2
:
12
2
1
2
a
aa
a
a
a
A











+
+=
1
2
1
1
:
1
1
2
aaaa
a
a
a
a
A
a) Rút gọn
b) Tìm a sao cho A
2
> 1
c) Tính A
2
với


>
>
++
+













=
yx
0y
0x
Với
xyyx
yyxx
yx
yyxx
yx
yx
A



+



+
=
2
3
:
4
4
2
2
2
2
4

a) Rút gọn
b) Tìm x để A
4
> 0
c) Tìm x để A
4
= 1
3
4
:
4



+











+
+



=
13
23
1:
19
8
13
1
13
1
6




+
+



+
+












=
3
2
2
3
6
9
:1

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài tập 38 . Cho biểu thức:










+
+
+

+












=

AKQ
Bài tập 39 . Cho biểu thức:








+


+
+








+

+=
xy
yx
xxy
y




+









+

+
=
4
2
2
2
2
2
:
2
1
4
7
10
a










+









+


2
2
:
2
3
2
4
x

2
+ 30x 7,5 = 0 ;
5) x
2
4x + 2 = 0 ; 6) x
2
2x 2 = 0 ;
7) x
2
+ 2
2
x + 4 = 3(x +
2
) ; 8) 2
3
x
2
+ x + 1 =
3
(x + 1) ;
9) x
2
2(
3
- 1)x - 2
3
= 0.
Bài 2: Giải các ph ơng trình sau bằng cách nhẩm nghiệm:
1) 3x
2

+ 1)x
2
+ 2
3
x +
3
- 1 = 0 ; 8) x
2
11x + 30 = 0 ;
9) x
2
12x + 27 = 0 ; 10) x
2
10x + 21 = 0.
Dạng 2: Chứng minh phơng trình có nghiệm, vô nghiệm.
Bài 1: Chứng minh rằng các ph ơng trình sau luôn có nghiệm.
1) x
2
2(m - 1)x 3 m = 0 ; 2) x
2
+ (m + 1)x + m = 0 ;
3) x
2
(2m 3)x + m
2
3m = 0 ; 4) x
2
+ 2(m + 2)x 4m
12 = 0 ;
5) x

=

+

+

c) Chứng minh rằng phơng trình: c
2
x
2
+ (a
2
b
2
c
2
)x + b
2
= 0 vô nghiệm với a,
b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
d) Chứng minh rằng phơng trình bậc hai:
(a + b)
2
x
2
(a b)(a
2
b
2
)x 2ab(a

= 0 (3)
x
2
+ 4bx + a
2
= 0 (4)
Chứng minh rằng trong các phơng trình trên có ít nhất 2 phơng trình có nghiệm.
c) Cho 3 phơng trình (ẩn x sau):
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
15
Tich luỹ chuyên môn Đinh Thị Huê
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
(3) 0
cb
1
x
ba
ba2a
cx
(2) 0
ba
1
x
ac
ac2c
bx
(1) 0
ac
1
x

Biết a 0 và 5a + 4b + 6c = 0, chứng minh rằng phơng trình đã cho có hai nghiệm.
b) Chứng minh rằng phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 ( a 0) có hai nghiệm nếu một
trong hai điều kiện sau đợc thoả mãn:
a(a + 2b + 4c) < 0 ;
5a + 3b + 2c = 0.
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập phơng trình bậc hai nhờ
nghiệm của phơng trình bậc hai cho trớc.
Bài 1: Gọi x
1
; x
2
là các nghiệm của phơng trình: x
2
3x 7 = 0.
Tính:
( )( )
4
2
4
1
3
2
3
1
1221
21
21
2

2
là hai nghiệm của phơng trình: 5x
2
3x 1 = 0. Không giải
phơng trình, tính giá trị của các biểu thức sau:
.
x4xx4x
3xx5x3x
C
;
x
1
x
1
1x
x
x
x
1x
x
x
x
B
;x3x2xx3x2xA
2
2
1
2
21
2



+
++
+
+=
+=
Bài 3:
a) Gọi p và q là nghiệm của phơng trình bậc hai: 3x
2
+ 7x + 4 = 0. Không giải ph-
ơng trình hãy thành lập phơng trình bậc hai với hệ số bằng số mà các nghiệm của
nó là
1p
q
và
1q
p

.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
16