TÍCH LŨY CHUYÊN MÔN
I PHÉP ĐẾM
Trong những giai đoạn sơ khai của loài người, con người hầu như chưa biết đếm.
Họ chỉ phân biệt được tập hợp hai vật và ba vật, mọi tập hợp nhiều vật hơn thì người ta
gộp chung lại là “nhiều”. Hoạt động của con người ngày càng phức tạp dần, nhu cầu về
đếm người, súc vật, hoa quả, đếm các thành phẩm săn bắt, hái lượm được ngày càng
nảy sinh… Người ta dùng những vật gặp ở xung quanh làm công cụ đếm: khắc vào cây,
gậy, buộc nút ở sợi dây, xếp các viên đá thành đống… Các ngón tay của con người đặc
biệt quan trọng. Công cụ này không lưu lại kết quả của phép đếm, nhưng luôn có trong
tay và rất linh hoạt. Kết quả của phép đếm là các số một, hai, ba … Tên gọi các số lớn
thường được xây dựng trên cơ sở số 10 là số lượng ngón của hai bàn tay.
Thời gian đầu, số lượng các số được hình thành và phát triển chậm. Đầu tiên,
người ta chỉ đếm được vài chục, mãi về sau mới đếm được đến hàng trăm. Phép đếm
đạt tới một giới hạn mới: hàng chục của chục và tên gọi cho số 100 đã được hình thành.
Về sau các số nghìn, vạn, triệu cũng mang ý nghóa đó.
II HỆ NHỊ PHÂN VÀ MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ
Về nguyên tắc thì có thể chọn mỗi số tự nhiên lớn hơn 1 làm cơ số cho một hệ
ghi số. Lấy cơ số 2, thì ta được hệ nhò phân. Trong hệ này, để biểu diễn các số, người ta
dùng hai chữ số là 0 và 1. Hệ nhò phân là hệ ghi số theo vò trí, nghóa là ở mỗi kí hiệu ghi
số hệ nhò phân cùng với giá trò của chữ số còn có giá trò vò trí được biểu diễn bằng lũy
thừa của cơ số 2, nghóa là giá trò của một vò trí gấp 2 lần của vò trí liền ngay bên phải
nó.
Chẳng hạn số 1101
2
ghi theo hệ nhò phân, có nghóa:
1101
2
= 1.2
3
+ 1. 2
2

Các số có hai chữ số tận cùng tạo thành một số chia hết cho 4 thì số đó chia hết
cho 4 và ngược lại các số chia hết cho 4 thì hai chữ số tận cùng tạo thành một chia hết
cho 4.
Ví dụ:
2500 và 35124 đều chia hết cho 4 vì hai chữ số tận cùng của mỗi số tạo thành
các số 00 và 24 đều chia hết cho 4.
Số 1945 không chia hết cho 4 vì hai chữ số tận cùng tạo thành số 45 không chia
hết cho 4.
2. Dấu hiệu chia hết cho 8.
Các số có ba chữ số tận cùng tạo thành một số chia hết cho 8 thì số đó chia hết
cho 8 và ngược lại các số chia hết cho 8 thì ba chữ số tận cùng tạo thành một chia hết
cho 8.
Ví dụ:
+ Số 345 120 chia hết cho 8 vì ba chữ số tận cùng tạo thành số 120 chia hết cho
8.
+ Số 456 004 không chia hết cho 8 vì ba chữ số tận cùng tạo thành số 004 không
chia hết cho 8.
Tổng quát: Các số có n chữ số tận cùng tạo thành chia hết cho 2
n
thì số đó chia
hết cho 2
n
.
3. Dấu hiệu chia hết cho 6.
Các số chia hết cho 2 và chia hết cho 3 thì chia hết cho 6, nếu không thì không
chia hết cho 6.
Ví dụ:
534 vừa chia hết cho 2 (chữ số tận cùng là 4) vừa chia hết cho 3 (5 + 3 + 4 = 12,
12 M3) nên 534M6
Số 544 không chia hết cho 6 vì 544

và tổng các chữ số hàng chẵn là 5 + 2 = 7, hiệu hai tổng bằng 20 – 7 = 13 không chia
hết cho 11.
5. Dấu hiệu chia hết cho 10; 100; 1000 … 10
n
( n
∈ ¥
)
Các số tận cùng là 0 thì chia hết cho 10, các số có hai chữ số tận cùng là 0 thì
chia hết cho 100, các số có ba chữ số tận cùng là 0 thì chia hết cho 1000, các số có n
chữ số tận cùng là 0 thì chia hết cho 10
n
.
6. Dấu hiệu chia hết cho 25.
Các số có hai chữ số tận cùng tạo thành một số chia hết cho 25 (tức là có hai
chữ số tận cùng là 00, 25, 50 hay 75) thì số đó chia hết cho 25. Các trường hợp còn lại
không chia hết cho 25.
Ví dụ:
+ Số 8150 chia hết cho 25 vì hai chữ số tận cùng tạo thành số 50 chia hết cho 25.
+ Số 7132 không chia hết cho 25 vì hai chữ số tận cùng tạo thành số 32 không
chia hết cho 25.
V LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN SỐ ÂM
Từ thế kỉ II trước công nguyên, các nhà toán học Trung Quốc đã đặt ra một số
quy tắc phép tính về số âm. Bây giờ, khái niệm và quy tắc tính về số âm chưa hoàn
chỉnh. Họ coi số âm là số biểu thò số tiền nợ, còn số dương là số tiền có. Quy tắc về
phép tính cùng lập luận như đối với món tiền nợ. Ví dụ: một món nợ thêm một món nợ
khác , thì kết quả là một món nợ chứ không phải món tiền có. Khi đó còn chưa biết dấu
âm, người Trung Quốc dùng màu mực khác để viết các số chỉ các món tiền nợ để phân
biệt với các món chỉ tiền có. Các số âm phải chen chân một cách khó khăn vào toán
học. tuy rằng các nhà bác học có tránh không muốn gặp số âm, nhưng thực tế đời sống
đặt ra trước khoa học hết bài toán này đến bài toán khác mà các bài toán ấy lại càng

2
3
×
Đối với
những phân số có tử lớn hơn đơn vò thì người Ai Cập biểu thò bằng tổng các phân số có
tử là đơn vò. Chẳng hạn:
2 1 1 2 1 1 2 1 1
; ;
5 3 15 7 4 28 99 66 198
= + = + = + ×
Người Ai Cập còn lập các bảng đặc biệt dùng để thực hiện các phép tính với
những phân số đó.
Cách viết phân số có dấu gạch ngang như ngày nay đã trải qua quãng thời gian
dài để có thừa nhận. Trong bản di cảo của người Ấn Độ vào thế kỉ IV phân số
1
3
được
viết 1 (không có dấu gạch ngang). Sau đó, vào thế kỉ XIII, nhà bác học An Khatxa là
3
một người đầu tiên dùng dấu gạch ngang để viết phân số, tiếp theo nhà bác học Ý
Lêôna Pindanki đã thường xuyên sử dụng dấu gạch ngang trong phân số và sau đó được
dùng ở mọi nơi.
VI PHÂN SỐ THẬP PHÂN – SỐ THẬP PHÂN
Thế kỉ XVI, khi việc tính toán phức tạp về phân số được ứng dụng rộng rãi trong
mọi lónh vực của đời sống thì người ta bắt đầu dùng đến phân số có mẫu là lũy thừa của
10. Đó là phân số thập phân. Người đầu tiên đưa ra phân số thập phân là nhà bác học
người Xamaccan Ghiaxetddin Djemsit al – Kasi. Sau đó, ở châu Âu nhà bác học Hà
Lan Ximông Xtêvin đã đưa vào trong thực hành. Ưu điểm của phân số thập phân so với
phân số có mẫu ở hệ thống khác là ở chỗ chúng được xây dựng trên cùng một cơ sở với
phép đếm thập phân và cách viết những số nguyên. Nhờ đó, cách viết và các quy tắc

Muhamet Ben Muxa Al – Khôredơmi (thế kỉIV) đã coi là người sáng lập ra môn đại số
như môn khoa học riêng. Danh từ Algebra là tên gọi quốc tế của môn đại số chính là
xuất phát từ chữ “al – đơgiép” ở tên bài luận văn của Al – Khôredơmi: “khixabơ al –
đơgiép Val – mukabala” trong đó có nêu các quy tắc tính toán và giải phương trình.
Còn từ “algôrit” (thuật toán) chính là tên Al – Khôredơmi.
Vào thếmkỉ XII, “Đại số” của Al – Khôredơmi đã bắt đầu được châu u biết
đến và được dòch sang tiếng Latinh. Từ đó, đại số bắt đầu phát triển ở các nước châu
u.
Đến cuối thế kỉ XVI, nhà toán học người Pháp Frăngxoa Viet (1540 – 1602_,
người được mệnh danh là “Người cha của môn đại số dùng chữ hiện đại” đã đưa vào
tác phẩm của mình những kí hiệu chữ cho các đại lượng đã biết và đại lượng chưa biết.
Ông cũng đưa các kí hiệu phép tính và là người dẫn đầu việc nghiên cứu các phương
trình đại số và thiết lập mối quan hệ giữa các hệ số và nghiệm của phương trình bậc
hai. Với công trình của Viet, đại số đã trở thành khoa học tổng quát về các phương trình
dựa trên các phép tính các biểu thức chứa chữ.

5