Tổng Hợp Một số Bài toán hay trong các kỳ thi học sinh giỏiToán lớp 9
Cấp Huyện và Tỉnh.
BÀI 1: Tìm giá trị nhỏ nhất (min) của biểu thức sau :
K = x
1420
+ x
408
+ x
55
+ x
45
+ x
35
+x
25
+x
15
+ x
5
+ 2000
X
Hướng dẫn giải
Thật vậy ta phân tích k thành tổng của 2008 số với cùng mẫu số x ( với x > 0 ), rồi Áp dụng
Bất Đẳng Thức Cô Si cho 2008 số không âm ta có :
1420 408 55 45 35 25 15 5
1420 408 55 45 35 25 15 5
2008
2008
2008
2008
1 1 1

Hướng dẫn giải.
Từ (*) Ta lần lượt nhân hai vế với lượng liên hợp của hằng đẳng hiệu hai bình phương ta có hệ pt
sau : -5(y +
2
5y +
) =5( x -
2
5x +
) (1)
-5(x +
2
5x +
) = 5 (y -
2
5y +
) (2)
Cộng (1) và (2) theo vế ta có :10 (x + y) = 0  (x + y ) = 0 . (**)
Từ ( ** ) và Q ta có : Q=
2009 2009 2008 2007 2006 2 2008 2008 2008
( )( ... ) 0.( ... ) 0x y x y x x y x y y x y+ = + − + − + = − =
Giá trị : Q = 0 tại : x = - y .

Bài 3: Cho x,y,z không âm thỏa mãn : x + y + z =9 .
Tính giá trị nhỏ nhất ( min ) của biểu thức : B = xy + yz +zx .

Hướng dẫn giải .
Áp dụng bất đẳng thức Bu Nhi KôpxKy ta có :
B
2
= (xy + yz + zx )

≤
(x
2
+ y
2
+ z
2
)(x
2
+ y
2
+z
2
) =
[ ] [ ]
2 2
2 2
2 2
2
( ) 2 2 2 9 2( )
81 2( ) 81 2( )
81 2( ) 2( ) 81
81
3( ) 81 27.
3
x y z xy yz zx xy yz zx
xy yz zx B xy yz zx
B xy yz zx B xy yz zx
xy yz zx B xy yz zx
   

+ y
3

≥
xy ( x + y ) => X
3
+ y
3
– xy ( x + y )
≥
0
( x + y ) ( x
2
– xy + y
2
) – xy ( x + y )
≥
0
( x + y )( x + y

)
2

≥
0 , với mọi x , y
∈
N .
Nên ta có : a
3
+ b

b +ab
2
+ b
2
c + bc
2
+ c
2
a + ca
2

= a
2
(b + c) + b
2
( a + c ) + c
2
( a + b ) .
(**) Ta c/m được : a + b
≥
2
ab
( a , b là 2 số không âm ) . Nên ta có :
C
2
(a + b )
≥
2c
2


+b
2
ac
+ c
2

ab
)
 2 ( a
3
+ b
3
+ c
3
)
≥
2 (a
2
bc
+b
2
ac
+ c
2

ab
)
 ( a
3
+ b

1
+ a
2
+ a
3
+ … + a
2008
= 1.
CMR : a
1
2

+ a
2
2
+ a
3
2
+ … +a
2
2008

≥

1
2008
.
Bài 2 : Cho : a.b.c = 1 . CMR :
1
1 1 1