MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách giữa các điểm đặc biệt của tam giác 1 Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng ở
www.mathvn.com
ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CÁCH
GIỮA CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA TAM GIÁC
I. MỞ ĐẦU
Khi nghiên cứu các tính chất của tam giác, ta thấy có một số điểm đóng
vai trò đặc biệt và chúng có quan hệ mật thiết với nhau. Chẳng hạn, mối quan hệ
giữa các điểm: trọng tâm G, trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp O tam giác
biểu thị qua hệ thức
OG :GH:OH 1:2:3=
uuur uuur uuur
; khoảng cách giữa hai tâm đường
tròn ngoại tiếp, nội tiếp và các bán kính R, r của chúng biểu thị qua hệ thức
Euler đẹp đẽ:
2 2
IO R 2Rr
= -
.
Một vấn đề được đặt ra là với những điểm nêu trên ta có thể xác định được
khoảng cách còn các điểm đặc biệt khác của tam giác như: tâm đường tròn nội
tiếp, tâm đường tròn bàng tiếp, điểm Lemoine, điểm Naghen, điểm Gergone thì
hệ thức liên hệ giữa chúng như thế nào? Có xác định được không? Bài tập này
xin được giới thiệu về cách xác định những khoảng cách đó và một số hệ thức
giữa những khoảng cách này. Đồng thời, thông qua nghiên cứu các khoảng cách
đó ta cũng đưa ra được một số đánh giá về các yếu tố liên quan đến tam giác
như: chu vi, bán kính đường tròn nội tiếp, bán kính đường tròn ngoại tiếp. Cũng
thông qua bài tập này chúng ta có thể thấy một số cặp phạm trù của triết học
được vận dụng trong quá trình nghiên cứu như: cái chung và cái riêng; nội dung

;
2 2 2 2
a a b c= + +
å

3 3 3 3
a a b c= + +
å
;
4 4 4 4
a a b c= + +
å

II. MỘT SỐ KẾT QUẢ CƠ BẢN
Trước hết, ta nhắc lại các kết quả sau:(dễ dàng chứng minh được)
1.
GA GB GC 0
+ + =
uuur uuur uuur r

2.
aIA bIB cIC 0
+ + =
uur uur uur r

3.
HA HB HC 2HO
+ + =
uuur uuur uuur uuur


16
-
= - - - =
å å

9.
( )
( )
2 2
2 ab a 4r 16Rr
- = +
å å

10.
2 2
ab p r 4Rr= + +
å

11.
2 2 2
a 2p 2r 8Rr= - -
å

12.
( )
3 2 2
a 2p p 3r 6Rr
= - -
å


16.
( )
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
HA OB OC 4R a ; HB 4R b ; HC 4R c= + = - = - = -
uuur uuur

17.
( )
2
2 2
IA r p a bc 4Rr
= + - = -
;
2 2
IB ca 4Rr; IC ab 4Rr
= - = -

III. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CÁCH GIỮA CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA
TAM GIÁC
Bây giờ chúng ta sử dụng các kết quả trên để ước lượng khoảng cách giữa
các điểm đặc biệt trong tam giác.
1. Khoảng cách giữa các điểm đặc biệt
Trước hết, xuất phát từ hệ thức
MA MB MC 3.MG
+ + =
uuur uuur uuur uuur
, ta có:
( )
2

å
(I)
* Khi
M O
º
, ta có:
1.1)
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1
OG OA OB OC a R a
3 9 9
= + + - = -
å å( )
( )
2 2 2 2 2
4 2 1
R p ab 9R 2r 8Rr 2p
9 9 9
= - + = + + -
å

* Khi
M Hº
, ta có:
1.2)
( ) ( ) ( )

1 1 1
IG IA IB IC a 3 ab 12Rr a
3 9 9
é ù
= + + - = - -
ê ú
ë û
å å å( )
( )
2 2 2
1 1
5 ab 4p 4Rr p 5r 16Rr
9 9
é ù
= - - = + -
ê ú
ë û
å

* Từ hệ thức
OH 3OG=
uuur uuur
, ta có:
1.4)
2 2 2 2 2
OH 9OG 9R 2r 8Rr 2p
= = + + -

( )
( )
2 2 2
a b c aMA bMB cMC abc
= + + + + -

Do đó,
( )
2 2 2 2
1 abc
MI aMA bMB cMC
a b c a b c
= + + -
+ + + +

( )
2 2 2 2
1
MI aMA bMB cMC 2Rr
a b c
Û = + + -
+ +
(II)
* Khi
M O
º
, ta có:
1.5)
( )
2 2 2 2 2

å( )
2 2 2 2 2
4R 6Rr a ab 2Rr 4R 4Rr 3r p
= - - - - = + + -
å å

2. Khoảng cách từ các điểm đặc biệt đến tâm đường tròn bàng tiếp
MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách giữa các điểm đặc biệt của tam giác 5 Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng ở
www.mathvn.com
Gọi
a b c
I , I , I
lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp góc A, B, C của tam
giác ABC. Khi đó dễ dàng chứng minh được các hệ thức sau:
i)
a a a
aI A bI B cI C 0- + + =
uuur uuur uuur r
;
( )
a
aMA bMB cMC a b c MI
- + + = - + +
uuur uuur uuur uuur

a b c MI aMA bMB cMC- + + = - + +
uuur uuur uuur

( )
2 2 2 2 2 2
a MA b MB c MC 2 abMA.MB bcMB.MC caMC.MA= + + - - +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur

( )
2 2 2
a b c aMA bMB cMC abc
é ù
= - + + - + + +
ê ú
ë û

( )
2 2 2 2
a
a b c MI aMA bMB cMC abcÞ - + + = - + + +
(III)
* Khi
M O
º
, ta được:
2.1)
( )
( )
2 2 2 2 2
a

M Hº
, ta được:
2.2)
( )
2 2 2 2
a
1
HI aHA bHB cHC abc
a b c
= - + + +
- + +

3 3 3
2 2 2 2
a
a b c abc
4R 4R 3p r 4Rr 8Rr 2bc
a b c
- - +
= + = - + + + +
- + +

Tương tự, ta có:
3 3 3
2 2 2 2 2
b b
b c a abc
HI 4R 4R 3p r 4Rr 8Rr 2ca
a b c
- - +


( )
a
2abc
4Rr 4R r r
a b c
= - = -
- + +

Tương tự, ta có:
( )
2
b b
II 4R r r= -
;
( )
2
c c
II 4R r r= -

* Khi
M G
º
, ta được:
2.4)
( )
2 2 2 2
a
1
GI aGA bGB cGC abc

2 2 2
c c
1
GI 6ab 5p r 4Rr 4Rr
9
= - - - +

* Khi
M Aº
, ta được:
2.5)
( )
2 2
2
a a
bAB cAC abc bcp
AI bc 4Rr
a b c p a
+ +
= = = +
- + + -

Tương tự, ta có:
2 2
b b c c
cap abp
BI ca 4Rr , CI ab 4Rr
p b p c
= = + = = +
- -

2 2 2 2
b b c c
bc p c ab p a bc p b ca p a
AI , CI ,AI ,BI
p b p b p c p c
- - - -
= = = =
- - - -

MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách giữa các điểm đặc biệt của tam giác 7 Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng ở
www.mathvn.com
* Khi
b
M Iº
, ta được:
2.7)
( )( )
( )
2 2 2 2
2
b b b
b a a b
aI A bI B cI C abc abc
I I 4R r r
a b c p a p b
- + + +
= = = +

C ,A ,B
tương
ứng sao cho
2 2 2
1 1 1
2 2 2
1 1 1
AC b BA c CB a
; ;
C B a A C b B A c
= = =
. Khi đó các đường thẳng
1 1 1
AA ,BB ,CC
đồng quy tại một điểm L(điểm L được gọi là điểm Lemoine của
tam giác)
Chứng minh:
Gọi L là giao điểm của hai đường thẳng
1 1
AA , CC
. Áp dụng định lý Menelauyts
cho tam giác
1
ABA
, ta có:
1 1
1 1
AC BC A L
. . 1
C B CA LA

=
ta có
2 2
1 1
b BA c A C=
uuur uuur
. Từ đó, ta có hệ thức:
2 2
1
2 2 2 2
b c
AA AB AC
b c b c
= +
+ +
uuuur uuur uuur

Do vậy:
2 2 2
a LA b LB c LC 0
+ + =
uuur uur uur r
.