3.1 Mô tả phương pháp
Giả sử tổng thể có tham số chưa biết. Ta tìm
khoảng chứa sao cho
cho trước.
θ
( )
1 2
,G G
θ
( )
1 2
1P G G
θ α
< < = −
Là độ tin cậy của ước lượng
1
α
−
Là độ dài của khoảng tin cậy
2 1
G G−
Ưu điểm: làm tăng độ chính xác của ước lượng,
đánh giá được mức độ tin cậy của ước lượng
Hạn chế: chứa đựng khả năng mắc sai lầm bằng
α

3.2 Ước lượng khoảng cho giá trị trung bình

Giả sử trung bình của tổng thể chưa biết.
Ta tìm khoảng chứa sao cho:

U n
µ
σ
−
=
( )
0,1U N∈

+) Chọn và tìm thoả:

1 2 1 2
, :
α α α α α
+ =
1 2`
,u u
α α
( ) ( ) ( )
1 2 1 2
1 1 2 1 1
, 1P U u P U u P u U u
α α α α
α α α
− − −
< = > = ⇒ − < < = −
Thay U vào ta có:
2 1
1 1
X u X u
n n


. Khoảng tin cậy bên phải (ước lượng giá tối thiểu)

1 2 1 1 1
, 0, ;u u x u
n
α α
σ
α α α
− −
 
= = = − = −∞ ⇒ −∞ +
 ÷
 
Là khoảng tin cậy bên phải của
µ
. Khoảng tin cậy bên phải (ước lượng giá tối thiểu)

. Khoảng tin cậy bên trái (ước lượng giá tối đa)
2 1 1 1 1
, 0, ;u u x u
n
α α
σ
α α α
− −
 
= = = = +∞ ⇒ − +∞
 ÷
 

- Nếu yêu cầu độ chính xác là 0,1 giữ nguyên
độ tin cậy 95% thì cỡ mẫu là bao nhiêu mới phù
hợp?

18
19
20
21
3
5
15
2
54
95
300
42
25 491
i
x
i
n
i i
x n
∑
1
1 491
19,64
25
k
i i

= − = = + =
Vậy khoảng tin cậy là (19,25;20,03)
Để độ chính xác 0,1 và giữ nguyên độ tin cậy 95%
thì cỡ mẫu là
2
2
2 2
1
1,96 384
0,1
n u
γ
σ
ε
= = ≈

Trường hợp 2: Chưa biết và
2
σ
30n ≥
Ta dùng ước lượng của thay cho chưa biết
(vì )
2
σ
'
1
;
S
x u
n

n
α
−
 
− +∞
 ÷
 
. Xác định cỡ mẫu:
2
2
2
'S
n u
γ
ε
=

Ví dụ: Người ta nghiên cứu ở một trường đại học
xem trong một tháng sinh viên tiêu hết bao nhiêu
tiền gọi điện thoại. Lấy mẫu ngẫu nhiên gồm 59
sinh viên thu được kết quả sau:
14 127 95 30 40 27 40 79 36 58 14 47
95 15 27 111 95 63 127 95 30 79 27 14
30 147 79 36 27 14 47 85 36 40 47 15
58 79 26 15 26 30 58 40 30 85 26 36
26 36 63 40 36 26 111 58 85 26 47
Hãy ước lượng khoảng tin cậy 95% cho số tiền gọi
điện thoại trung bình hàng tháng của một sinh viên.

14

1
56
45
156
108
150
216
200
188
232
126
316
255
380
222
254
147
784
675
4056
2916
4500
7776
8000
8836
13456
7938
24964
21675
36100

58
1 0,95 0,05
1 0,975
2
1,96
33,52
1,96 8,56
59
k
i i
i
k
i i
i
n
x n x
n
S n x x
n
S
u u
γ
α α
α
γ
ε
=
=
=
= = =

. Khoảng tin cậy đối xứng:
' '
1 1
; ; 1
2
n n
S S
x t x t
n n
γ γ
α
γ
− −
 
− + = −
 ÷
 
. Ước lượng giá trị tối thiểu:
'
1
1
;
n
S
x t
n
α
−
−
 


( )
( )
2
'2
1 1 2
1
1
W = X , , ,
1
m
m i
i
X X S X X
m
=
⇒ = −
−
∑
2 :m ≥
-Lập mẫu thứ hai kích thước n-m:
( )
2
' '2
1 1
2 1 0
2
1 1
0
2 2

(giá trị tối thiểu ) T.Hợp3

X (lít)
19,0-19,5 19,25 2 -1 -2 2
19,5-20,0 19,75 10 0 0 0
20,0-20,5 20,25 8 1 8 8
20,5-21,0 20,75 5 2 10 20
n=25 16 30
i
x
i
n
i
u
i i
n u
2
i i
n u
∑
1 24
1 0,95
1,711
n
t t
α
−
−
= =
(Tra bảng student)

liệu sau: 150 ngàn, 250 ngàn, 200 ngàn, 300
ngàn,180 ngàn. Hỏi phải phỏng vấn bao nhiêu gia
đình để với độ tin cậy 95% sai số của việc ước lượng
chi phí trung bình hàng tháng không vượt quá 30
ngàn. Giả thiết chi phí hàng tháng là ĐLNN phân
phối chuẩn.
X: Chi phí sinh hoạt hàng tháng
( )
2
,X N
µ σ
∈
Vậy chi phí trung bình chính là giá trị . Đây là
bài toán xác định kích thước mẫu tối thiểu của phân
phối chuẩn khi chưa biết phương sai
µ

Theo phương pháp mẫu kép, n=5 ta có
( )
'2 4
0 0,975
2
2
216; 3530; 2.30 60; 2,776
4.3530
2,776 31
60
x S I t
n
= = = = =

E X p D X
n
−
= =
X
Là tần suất ước lượng điểm của
( )
p E X=

Chọn thống kê
( )
( )
( )
0,1
1
f p n
U N
p p
−
= ∈
−
f là tỷ lệ các phần tử của mẫu có tính chất A
Ta xác định được khoảng tin cậy:
( ) ( )
( )
1 2
1
, , ;
f f
f f f f u

n
α
−
−
− < < +∞
. Ước lượng giá trị tối đa:
( )
1
1f f
p f u
n
α
−
−
−∞ < < +
. Kích thước mẫu:
( )
2
2
1
2
1f f
n u
α
ε
−
−
=
.Khoảng tin cậy đối xứng:
( ) ( )

 
− −
 ÷
− +
 ÷
 
1
2
1,96u u
γ α
−
= =
(Tra bảng laplace)
( )
60
0,6;1 0,4 0,504 0,696
100
f f p= = − = ⇒ < <
Tỷ lệ từ 50,4% đến 69,6%, độ tin cậy
0,95

Ví dụ: Kiểm tra 100 sản phẩm trong lô hàng
thấy có 20 phế phẩm
-Hãy ước lượng tỷ lệ phế phẩm có độ tin cậy 99%
-Nếu độ chính xác thì độ tin cậy của ước
lượng là bao nhiêu?
-Nếu muốn có độ tin cậy 99% và độ chính xác
0,04 thì phải kiểm tra bao nhiêu sản phẩm?
0,04
ε

= − = = + =
Khoảng tin cậy là (0,1 ; 0,3 )
( )
0,04 100
1 1 0,84
2
0,2.0,8
1
1 0,68
n
u
f f
γ
ε α
γ
α
= = = ⇒ = − =
−
⇒ − =
Độ tin cậy là 68%