Mục lục
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Lời cảm ơn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Danh mục các ký hiệu sử dụng trong luận án . . . . . . . . 5
Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
CHƯƠNG 1 . Lý thuyết Floquet cho PTSP tuyến tính ẩn
chỉ số 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1

Lý thuyết Floquet cho phương trình vi phân tuyến tính . . 12

1.2

Lý thuyết Floquet cho PTSP tuyến tính . . . . . . . . . . 14

1.3

Lý thuyết Floquet cho phương trình vi phân đại số tuyến
tính chỉ số 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.1

Phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 . . 15

1.3.2

Lý thuyết Floquet cho phương trình vi phân đại
số tuyến tính chỉ số 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4


Áp dụng cho PTSP tuyến tính ẩn có chậm với hệ số tuần
hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

CHƯƠNG 2 . PTSP tựa tuyến tính ẩn . . . . . . . . . . . . 45
2.1

Một số định lý tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.1.1

Trường hợp phần chính tuyến tính có chỉ số 1 . . . 45

2.1.2

Trường hợp phần chính tuyến tính tựa chỉ số 1. . . 53

2.2

Giải gần đúng bài toán Cauchy cho PTSP tựa tuyến tính ẩn 61

2.3

PTSP tựa tuyến tính ẩn tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . 69
2.3.1

Phương trình vi phân đại số tựa tuyến tính tuần
hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.3.2

PTSP tựa tuyến tính ẩn tuần hoàn . . . . . . . . . 71

3.4

Sự ổn định nghiệm của PTSP phi tuyến ẩn tuần hoàn . . . 88

Kết luận chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Danh sách các bài báo đã được công bố . . . . . . . . . . . . 97
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4


Danh mục các ký hiệu sử dụng
trong luận án
R(C) :

trường số thực (phức).

Rm (Cm ) :
Rm×n (Cm×n ) :

không gian véctơ thực (phức) m chiều.
không gian các ma trận thực (phức)
kích thước m × n.

Ik (I) :
Ok×s :

ma trận đơn vị kích thước k × k (k = m).
ma trận không kích thước k × s.


span{u, .., v} :

không gian sinh bởi các véctơ u, ..., v.

x y ...
i = k, s :
Pcan (t) :

(k = m).

z , x, y, ..., z : ma trận cột tạo bởi các véctơ x, y, ..., z.
i lần lượt nhận các giá trị tự nhiên
từ k đến s.
phép chiếu chính tắc từ Rm lên S(t) song
song với ker A(t).

0:

véc tơ không trong không gian tương ứng
đang xét.

ind:

chỉ số.

{A, B} :
⊕:

cặp ma trận.
tổng trực tiếp.

duy nhất khi và chỉ khi tồn tại λ ∈ C sao cho λA + B không suy biến.
ˆ = ν, dim(imAˆν ) = k thì Aˆ
Theo đó, nếu Aˆ := (λA + B)−1 A có ind(A)
có biểu diễn
Aˆ = T diag(C, N )T −1 ,
trong đó C ∈ Ck×k là ma trận không suy biến và N là ma trận lũy linh
ˆ PTSP ban đầu
phức kích thước (m − k) × (m − k) với ind(N ) = ind(A).
được đưa về dạng tương đương
diag(C, N )yn+1 + diag(I − λC, I − λN )yn = 0.
Theo cách phân tích như trên, các tác giả đã đưa ra công thức
tường minh cho nghiệm tổng quát của bài toán giá trị ban đầu của
phương trình thuần nhất, điều kiện tồn tại nghiệm, công thức nghiệm
của bài toán giá trị ban đầu cho phương trình không thuần nhất. Các
kết quả về sự tồn tại nghiệm cũng đã được thiết lập cho bài toán điều
khiển rời rạc xk+1 = Axk + Buk ,

k = 0, N − 1. Đồng thời, những kết
6


quả thu được từ PTSP suy biến hệ số hằng đã được áp dụng để khảo
sát bài toán về mô hình kinh tế đa mục tiêu Leontief (xem [20, 21, 25]).
Tuy nhiên, những kết quả này không thể mở rộng trực tiếp cho PTSP
ẩn tuyến tính với hệ số biến thiên.
Nhóm nghiên cứu M. Benadbdallakh và A. G. Rutkas quan tâm
đến PTSP dạng Axn+1 + Bxn = fn trong không gian Bannach và thu
được một số kết quả nhất định như áp dụng khai triển tiệm cận để
khảo sát phương trình, đưa ra lời giải cho bài toán giá trị ban đầu
(xem [13, 14]), nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình thuần

Tn xn+1 + xn = fn ,
7


trong đó Tn là ma trận suy biến với mọi n. Họ đã đưa ra một số kết
quả về tính giải được của bài toán giá trị ban đầu và bài toán biên tuần
hoàn cho dạng phương trình này (xem [17, 18, 19]).
Như đã đề cập đến ở trên, phương trình vi phân đại số là đối tượng
được đặc biệt quan tâm trong những năm gần đây. PTSP ẩn là kết quả
tự nhiên thu được khi rời rạc hóa phương trình vi phân đại số. Vì thế, khi
bắt đầu nghiên cứu đề tài này chúng tôi hi vọng có thể thu được những
kết quả tương tự như đã biết đối với phương trình vi phân đại số. Một
trong những kỹ thuật cơ bản khi nghiên cứu phương trình vi phân đại số
nói chung và phương trình vi phân đại số chỉ số 1 nói riêng là kỹ thuật
đưa phương trình vi phân đại số chỉ số 1 về dạng chuẩn tắc Kronecker Weierstrass. Nói một cách đơn giản là đưa phương trình vi phân đại số
chỉ số 1 về hệ kế thừa gồm phương trình vi phân thường và phương trình
đại số tuyến tính. Đối với phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ
số hằng, cho bởi cặp ma trận {A, B}, dạng Kronecker - Weierstrass của
phương trình được định nghĩa thông qua dạng Kronecker - Weierstrass
của cặp ma trận như sau:
Định nghĩa ([33], tr 197) Nếu tồn tại cặp ma trận khả nghịch P, Q thỏa
mãn A = P diag(Ir , U )Q và B = P diag(W, Im−r )Q trong đó U là ma
trận lũy linh thì {diag(Ir , U ),diag(W, Im−r )} được gọi là dạng Kronecker
- Weierstrass của cặp {A, B}.
Theo đó, dạng Kronecker - Weierstrass của phương trình vi phân đại số
tuyến tính chỉ số 1 Ax (t) + Bx(t) = q(t) là
diag(Ir , Om−r )¯
x (t) + diag(W, Im−r )¯
x(t) = q¯(t)
trong đó x(t) = Q¯

PTSP tuyến tính ẩn với hệ số hằng.
Lý thuyết Floquet, lúc đầu được thiết lập cho phương trình vi
phân tuyến tính (xem [22, 32]), sau đó được xây dựng cho PTSP tuyến
tính (xem [4, 34]), và phương trình vi phân đại số (xem [36]), được mở
rộng cho PTSP tuyến tính ẩn (trong [11]). Từ đó khảo sát được tính
ổn định nghiệm của PTSP ẩn chỉ số 1, tuyến tính, tựa tuyến tính cũng
như phi tuyến, đặc biệt là cho lớp các phương trình tuần hoàn. Phương
pháp hàm Lyapunov được áp dụng cho PTSP tựa tuyến tính ẩn trong
[9]. Công thức tính bán kính ổn định nghiệm của hệ PTSP tuyến tính
ẩn chỉ số 1 với hệ số hằng có nhiễu cũng đã được đưa ra trong [29].
Ngoài ra, PTSP ẩn tuyến tính ngẫu nhiên
A(ξn )X(n + 1) = B(ξn )X(n) + qn , n ∈ N,
trong đó {ξn : n ∈ N} là dãy độc lập cùng phân phối với giá trị trong
9


không gian Polish đã được nghiên cứu trong [27].
Luận án nghiên cứu PTSP ẩn phi tuyến dạng
fn (xn+1 , xn ) = 0

(0.1)

trong đó, fn : (y, x) ∈ Rm × Rm −→ fn (y, x) ∈ Rm khả vi và có đạo
∂fn
suy biến. Một cách tự nhiên, chúng tôi dùng các công cụ,
hàm riêng
∂y
phương pháp đã được sử dụng trong nghiên cứu phương trình vi phân
đại số để khảo sát PTSP ẩn. Cụ thể là thiết lập một số điều kiện cho
tính giải được duy nhất nghiệm của bài toán giá trị ban đầu, tính ổn



toán giá trị ban đầu của PTSP tựa tuyến tính chỉ số 1 và tựa chỉ số
1. Đưa ra một phương pháp giải gần đúng bài toán giá trị ban đầu
cho PTSP tựa tuyến tính chỉ số 1 (trong [12]). Đồng thời, chúng tôi
áp dụng kết quả thu được trong Chương 1 để khảo sát tính ổn định
nghiệm của PTSP tựa tuyến tính ẩn chỉ số 1 tuần hoàn.
3. Chương 3. PTSP phi tuyến ẩn : Đề xuất khái niệm chỉ số 1 cho
PTSP phi tuyến ẩn. Thiết lập tính giải được duy nhất nghiệm của
bài toán giá trị ban đầu (trong [10]). Phần cuối của chương khảo
sát tính ổn định nghiệm của PTSP phi tuyến ẩn chỉ số 1 tuần hoàn.
Trong việc khảo sát PTSP phi tuyến ẩn, kỹ thuật tuyến tính hóa được sử
dụng triệt để. Khái niệm chỉ số của phương trình, tính chất ổn định của
nghiệm, sự tồn tại nghiệm của bài toán Cauchy cho PTSP ẩn phi tuyến
đều được thiết lập thông qua các khái niệm và các tính chất tương ứng
cho PTSP ẩn tuyến tính thu được bằng phương pháp tuyến tính hóa.
Như vậy, các kết quả về PTSP ẩn tuyến tính thu được trong Chương 1
là nền tảng cho việc nghiên cứu PTSP ẩn tựa tuyến tính và phi tuyến
trong các chương tiếp theo. Ngoài ra, một phần kết quả về PTSP tựa
tuyến tính ẩn trong Chương 2 cũng được mở rộng cho PTSP ẩn phi
tuyến trình bày trong Chương 3.
Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên,
Đại học Quốc gia Hà Nội. Các kết quả trong luận án đã được báo cáo
tại Xêmina "Phương pháp giải phương trình vi phân" của Khoa Toán Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà
Nội, dưới sự chủ trì GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh, Xêmina "Các phương
pháp ngẫu nhiên và giải tích số" của Hội Ứng dụng toán học, dưới sự chủ
trì của GS. TS. Nguyễn Quý Hỷ. Một phần kết quả trong luận án được
báo cáo tại Hội nghị Khoa học Khoa Toán - Cơ - Tin học của Trường
Đại học Khoa học Tự nhiên năm 2006. Các kết quả của luận án cũng đã
được tổng kết trong bài báo tổng quan [6] và được báo cáo tại Hội nghị

ma trận nghiệm cơ bản, đồng thời đưa ra phép đổi biến là hàm tuần
hoàn, cho phép đưa hệ phương trình vi phân tuyến tính tuần hoàn về
hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng. Định lý được phát
biểu như sau
12


Định lý Floquet ([22], tr.165) Nếu φ(t) là ma trận nghiệm cơ bản của
phương trình vi phân tuyến tính tuần hoàn
x (t) = A(t)x(t),
với A : R −→ Rn×n là hàm liên tục, tuần hoàn với chu kỳ T thì
∀t ∈ R,

φ(t + T ) = φ(t)φ−1(0)φ(T ).

Hơn nữa, với mỗi ma trận B ∈ Cn×n thoả mãn
eT B = φ−1 (0)φ(T ),
tồn tại hàm ma trận P : R −→ Rn×n ,
sao cho
φ(t) = P (t)etB

t −→ P (t), tuần hoàn chu kỳ T
∀t ∈ R.

(1.1.2)

Đồng thời, tồn tại ma trận R ∈ Rn×n và một hàm ma trận thực Q(t)
tuần hoàn chu kỳ 2T thoả mãn
φ(t) = Q(t)etR



Lý thuyết Floquet cho PTSP tuyến tính

Sau khi được thiết lập cho phương trình vi phân và có những ứng
dụng quan trọng trong khoa học, công nghệ, lý thuyết Floquet được mở
rộng cho PTSP và phương trình vi phân đại số. Trong phần này, chúng
ta nhắc lại vài nét sơ lược về lý thuyết Floquet cho PTSP tuyến tính:
xn+1 = Bn xn ,

n

0 với Bn ∈ Rm×m .

(1.2.1)

Định lý Floquet ( [34], tr.156) Gọi Xn là ma trận nghiệm cơ bản của
phương trình (1.2.1), tức là nghiệm của bài toán Cauchy
Xn+1 = Bn Xn,

X0 = I,

n ≥ 0.

(1.2.2)

Khi đó, nếu hệ số Bn của phương trình (1.2.1) tuần hoàn với chu kỳ N ,
tức là Bn+N = Bn , với mọi n 0 và Bn khả nghịch với mọi n thì tồn
tại họ ma trận {Fn } khả nghịch, tuần hoàn và ma trận hằng R ∈ Cm×m
thoả mãn Xn = Fn−1 Rn , với mọi n
0. Qua đó, (1.2.1) đưa được về

˜ n+1 = F −1 Bn Fn−1 X
˜n
⇔X
n

˜ n+1 = RX
˜ n.
⇔X
Vậy phương trình (1.2.1) đưa được về phương trình có hệ số hằng với
˜ n.
phép đổi biến Xn = Fn−1 X

1.3

Lý thuyết Floquet cho phương trình vi phân
đại số tuyến tính chỉ số 1

1.3.1

Phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1

Xét phương trình vi phân đại số
A(t)x (t) + B(t)x(t) = 0,

(1.3.1)

trong đó A, B ∈ C(R, L(Rm )), A(t) suy biến với mọi t ∈ R.
Định nghĩa chỉ số [33] Phương trình (1.3.1) được gọi là phương trình
vi phân đại số chỉ số 1 nếu các điều kiện sau được thoả mãn
i) N (t) := ker A(t) trơn, nói cách khác, N (t) có một cơ sở là các hàm

không suy biến đưa phương trình (1.3.1) về dạng chuẩn tắc Kronecker Weierstrass, tức là dạng
¯ x (t) + B(t)¯
¯ x(t) = 0,
A(t)¯

(1.3.2)

¯
¯
với cặp {A(t),
B(t)}
= {diag(Ir , Om−r ), diag(W (t), Im−r )}. Cũng theo
[36], sự tương đương động học (nói tắt là tương đương) giữa hai phương
trình vi phân đại số đã được định nghĩa. Từ đó cho phép khảo sát đặc
tính của một phương trình vi phân đại số thông qua phương trình tương
đương của nó.
Định nghĩa [36]
1) Hai phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.3.1) và (1.3.2) được
gọi là tương đương nếu tồn tại E ∈ C(R, L(Rm )) và F ∈ C 1 (R, L(Rm )),
E, F không suy biến thỏa mãn
A¯ = EAF,

¯ = E(BF + AF ).
B

¯ được gọi là tương đương nếu tồn tại ma trận không
2) Hai ma trận X, X
suy biến K thỏa mãn
¯
X = K −1 XK.

(1.3.6)

U (0) = I.

(1.3.7)

Ta có khai triển X(t) = Pcan (t)U (t)P (0) và biểu diễn này không
phụ thuộc vào việc chọn ma trận P (t).
1.3.2

Lý thuyết Floquet cho phương trình vi phân đại số tuyến
tính chỉ số 1
Trong phần này, ta xét phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ

số 1 với hệ số tuần hoàn chu kỳ T
A(t)x (t) + B(t)x(t) = 0,
trong đó A(t+T ) = A(t), B(t+T ) = B(t), với mọi t ∈ R. Vì phương trình
(1.3.1) có chỉ số 1 nên rankA(t) không đổi, vậy ta giả sử rankA(t) = r. Gọi
{nr+1 (t), ..., nm (t)} là cơ sở của N (t) gồm các hàm khả vi liên tục, tuần
hoàn và gọi {s1 (t), ..., sr (t)} là cơ sở của S(t) gồm các hàm liên tục, tuần
hoàn. Đặt V (t) = s1(t) ... sr (t) nr+1 (t) ... nm (t) ∈ L(Rm ). Khi
Ir 0
đó, Pcan(t) = V (t)
V −1 (t). Chọn P (t) thoả mãn P (0) = Pcan (0)
0 0
thì ta có
X(t) = Pcan (t)U (t)Pcan(0) = V (t)
17

Z(t) 0


V −1 (0),

X(T ) được gọi là ma trận đơn đạo của phương trình tuần hoàn (1.3.1).
Đặt
˜
Z(t)e−tR 0
F (t) = V (t)
0
Im−r
˜

= X(t)V (0)

e−tR 0
0

+ V (t)

0

0

0

0 Im−r

.

Dưới đây là hai định lý chính trong lý thuyết Floquet cho phương trình


1.4

PTSP tuyến tính ẩn chỉ số 1
Chúng ta mở đầu phần này bằng việc xây dựng khái niệm chỉ số

1 cho PTSP tuyến tính ẩn với hệ số biến thiên dạng
An xn+1 + Bn xn = qn ,

n

0,

(1.4.1)

trong đó An ∈ Rm×m suy biến với mọi n, Bn ∈ Rm×m , và xn , qn ∈ Rm .
1.4.1

Khái niệm chỉ số 1

Cho L là không gian con của Rm với số chiều là k, 0 < k < m. Khi
đó, ta có thể phát biểu tính chất sau cho một phép chiếu tuyến tính bất
kỳ Q lên L (Q là phép chiếu lên L nếu Q2 = Q và imQ = L).
Mệnh đề 1.4.1 Mọi phép chiếu Q từ Rm lên L luôn đưa được về phép
chiếu chính tắc từ Rm lên không gian

T

0 ... 0 a1 ... ak



V −1 0 = 0
−1
V Qvj =
V −1 v = e
j

j

với

j = 1, m − k

với

j = m − k + 1, m.

˜ hay Q = V QV
˜ −1 . Mệnh đề được chứng minh.
Vậy V −1 QV = Q
Bây giờ, chúng ta xét các không gian con k chiều Lα và Lβ của Rm
với các phép chiếu Qα và Qβ tương ứng lên Lα và Lβ . Theo tính chất đã
nêu trong Mệnh đề 1.4.1, tồn tại Vα, Vβ sao cho
˜ −1 ,
Qα = Vα QV
α

˜ −1 .
Qβ = Vβ QV
β

β
β
˜ −1 Vβ QV
˜ −1 = Vα QV
˜ −1 = Qαβ .
Qαβ Qβ = Vα QV
β
β
β
Vậy Qα Qαβ = Qαβ = Qαβ Qβ . Đẳng thức (1.4.2) được chứng minh. Một
cách tương tự, ta có
˜ −1 Vα V −1 = Vα QV
˜ −1 = Qαβ
Qα Vα Vβ−1 = Vα QV
α
β
β
˜ −1 = Vα QV
˜ −1 = Qαβ .
VαVβ−1 Qβ = VαVβ−1 Vβ QV
β
β

và

˜ nên
˜2 = Q
Hơn nữa, vì Q
˜ −1 Vβ QV
˜ −1 = Vα QV

20


i/ rankAn = r,

n

0;

ii/ Sn ∩ ker An−1 = {0}, ∀n

1, trong đó Sn := {ξ ∈ Rm : Bn ξ ∈ imAn }.

Ngoài ra, giả thiết rằng dim S0 = r. Gọi A−1 ∈ Rm×m là ma trận
thoả mãn điều kiện S0 ⊕ kerA−1 = Rm . Nếu cặp {A0 , B0 } có chỉ số 1
thì ta có thể lấy A−1 = A0 . Gọi Q−1 là phép chiếu nào đó lên ker A−1
và P−1 = I − Q−1 . Ta nhận thấy điều kiện ii/ trong Định nghĩa 1.4.3
bây giờ đúng với mọi n 0 và toán tử nối Qn−1,n cũng xác định với mọi
n 0. Dưới đây là vài ví dụ về PTSP ẩn tuyến tính chỉ số 1.
Ví dụ 1.4.1. Xét phương trình sai phân tuyến tính (1.4.1) với


0
0
0

 2(n+1)
(n+1)2 −1
,
√


1 0 −1

T

0 0 1

. Đồng thời,

T

. Do đó, Sn ∩ kerAn−1 = {0}. Vậy

0 1 0

phương trình (1.4.1) có chỉ số 1.
Ví dụ 1.4.2. Xét PTSP tuyến tính (1.4.1) với n 1,

 √
√
2n(n+1) − 2n(n+1)
√
√
0 2 n2+1
2√ n2+1 
√

2(n+1)
−


2n(−2 n2+1)+3n+1
√
2 n2+1



2(6n−1)
√
2
2 n
√ +1

5
.
√ 2
2

√ 2√n +1
− 2n(4 n2+1)+n−1
√
2 n2+1
T

Với mọi n

1, ta có rankAn = 2 và ker An = span

Hơn nữa, do Sn = span

0

Ví dụ 1.4.3. Xét PTSP tuyến tính (1.4.1) với




n + 1 0 −1
1 n 0




An = 
0
0 0  , Bn =  0 1 0  .
−(n + 1) 0 1
n 0 1
Dễ dàng thấy với mọi n

0, ta có 0 < rankAn = 1 < 3 và
T

ker An = span

T

, 1 0 n+1

0 1 0

,

phương trình (1.4.1) có chỉ số 1. Mặt khác, với mọi λ ∈ C, ta có
Aˆn = (λAn + Bn )−1 An =

1

n+1

−1/(n + 1)

−1

Do đó, ker Aˆn = ker Aˆ2n hay ind{An , Bn } khác 1.
22

,

Aˆ2n = O.


1.4.2

Các tính chất cơ bản của PTSP ẩn tuyến tính chỉ số 1
Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu một số tính chất cơ bản

của PTSP tuyến tính ẩn. Những tính chất này sẽ được sử dụng để thiết
lập những kết quả mới trong luận án.
Hai Mệnh đề 1.4.4 và 1.4.5 được thiết lập trong [39] cho trường
hợp Qn là phép chiếu trực giao. Dưới đây, chúng tôi sẽ đưa ra chứng
minh cho trường hợp Qn là phép chiếu bất kỳ.
Mệnh đề 1.4.4 Nếu ma trận Gn = An + Bn Qn−1,n là ma trận không

được chứng minh.
(ii) Ta sẽ chứng minh đẳng thức (1.4.6) bằng cách tính ma trận
Gn Pn . Ta có:
Gn Pn = (An + Bn Qn−1,n )Pn = An Pn + Bn Qn−1,nPn
= An + Bn Qn−1,nQn Pn = An .
Nhân G−1
n từ bên trái của đẳng thức vừa thu được, ta có đẳng thức
(1.4.6).
(iii) Tương tự, ta có
Gn Qn = (An + Bn Qn−1,n )Qn = Bn Qn−1,n Qn = Bn Qn−1,n .
−1
Vậy Qn = G−1
n Bn Qn−1,n. Từ đây suy ra Pn Gn Bn Qn−1 = Pn Qn Qn,n−1 =
−1
0, và Qn G−1
n Bn Qn−1 = Qn Gn Bn Qn−1,n Qn,n−1 = Qn Qn Qn,n−1 = Qn,n−1.
Đẳng thức (1.4.7) được chứng minh.

23


Mệnh đề 1.4.5 Các khẳng định sau là tương đương.
i/ Sn ∩ ker An−1 = {0}.
ii/ Ma trận Gn := An + Bn Qn−1,n không suy biến.
iii/ Rm = Sn ⊕ ker An−1 .
Chứng minh. i/ ⇒ ii/. Do Gn ∈ Rm×m nên Gn khả nghịch khi và chỉ
khi Gn là đơn ánh, tức là ker Gn = {0}. Giả sử x ∈ ker Gn . Khi đó,
0 = Gn x = (An + Bn Qn−1,n )x = An x + Bn Qn−1,n x.
Do đó ta có Bn Qn−1,n x = −An x, nên Qn−1,n x ∈ Sn . Mặt khác, Qn−1,n x =
Qn−1 Qn−1,n x ∈ ker An−1 . Vậy Qn−1,nx ∈ Sn ∩ ker An−1 = {0}, hay

n Bn x
−1
= (I − Bn Qn−1,n G−1
n )Bn x = (Gn − Bn Qn−1,n)Gn Bn x

= An G−1
n Bn x ∈ imAn .
Vậy u ∈ Sn và do đó Rm = Sn ⊕ker An−1 . Mệnh đề được chứng minh.
24


Hệ quả 1.4.6 Tính khả nghịch của ma trận Gn = An + Bn Qn−1,n không
phụ thuộc vào việc chọn các phép chiếu Qn , Qn−1 .
Từ Mệnh đề 1.4.5 và Hệ quả 1.4.6, ta có thể chỉ ra một vài tính
chất của các phép chiếu lên ker An , công cụ hữu hiệu giúp ta thu được
những kết quả chính trong chương này.
Mệnh đề 1.4.7 Giả sử PTSP ẩn tuyến tính (1.4.1) có chỉ số 1 và giả
˜ −1 là phép chiếu nào đó lên ker An−1 (n 1). Khi đó:
sử Qn−1 = Vn−1 QV
n−1
˜ n−1 := Qn−1,n G−1 Bn là phép chiếu chính tắc lên ker An−1 song song
i) Q
n

với Sn ;
˜ V˜ −1 , với V˜n−1 = s1 , ..., sr , hr+1 , ..., hm là ma trận có
˜ n−1 = V˜n−1 Q
ii) Q
n−1
n−1

Q
n
n
= Qn−1 x = x,
˜ n−1 . Vậy ker An−1 = imQ
˜ n−1 . Ta có
hay ker An−1 ⊂ imQ
−1
x ∈ Sn ⇔ Bn x = An ξ ⇔ Qn G−1
n Bn x = Qn Gn An ξ
−1
−1
⇔ Qn G−1
n Bn x = 0 ⇔ Vn−1 Vn Qn Gn Bn x = 0

⇔ Qn−1,n G−1
n Bn x = 0,
˜ n−1 x = Qn−1,n G−1 Bn x = 0, tức là
hay là x ∈ Sn khi và chỉ khi Q
n
˜ n−1 = Sn .
ker Q
−1 ˜
−1 i
−1 j
sn = ei , i = 1, r và V˜n−1
hn−1 =
Vn−1 = I, nên V˜n−1
ii) Do V˜n−1



Tính chất cuối cùng mà chúng ta sẽ đề cập đến trong phần này là
sự bất biến của tính chất chỉ số 1 của PTSP tuyến tính ẩn qua cặp biến
đổi tuyến tính không suy biến (En , Fn ).
Định nghĩa 1.4.8 Hai PTSP ẩn tuyến tính
Anxn+1 + Bn xn = qn

và

¯n x¯n = q¯n
A¯nx¯n+1 + B

được gọi là tương đương nếu tồn tại hai họ các ma trận khả nghịch
{En }n 0 và {Fn }n −1 thỏa mãn
A¯n = En An Fn ;

¯n = En Bn Fn−1 ;
B

q¯n = En qn.

Khi đó, En được gọi là ma trận tỷ lệ và Fn là ma trận của phép đổi biến
xn = Fn−1 x¯n .
Mệnh đề 1.4.9 Hai PTSP ẩn tuyến tính tương đương đồng thời có hoặc
không có tính chất chỉ số 1.
Chứng minh. Do En và Fn là các song ánh tuyến tính nên
rankAn = dim(imAn ) = dim(imAn Fn) = dim(imEn AnFn )
= dim(imA¯n ) = rankA¯n .
Vì PTSP (1.4.1) có chỉ số 1 nên Sn ∩ ker An−1 = {0}, do đó
−1

dạng chuẩn tắc Kronecker - Weierstrass
Or×(m−r)
Om−r

Ir
O(m−r)×r

x
¯n+1 +

Wn
O(m−r)×r

Or×(m−r)
Im−r

x¯n = q¯n . (1.5.1)

Chứng minh. Giả sử phương trình (1.4.1) có chỉ số 1. Theo định nghĩa,
ta có Sn ∩ ker An−1 = {0} với Sn = {ξ|Bn ξ ∈ ker An }. Theo Mệnh đề
˜
˜ n := AnV˜n + Bn V˜n−1 Q
1.4.5 và Hệ quả 1.4.6, điều này tương đương với G
không suy biến.
˜ −1 và phép đổi biến
Do đó, ta có thể chọn ma trận tỷ lệ En = G
n
Fn = V˜n . Khi đó, theo Mệnh đề 1.4.9, phương trình (1.4.1) được biến đổi
¯n x
˜ −1

˜
A¯n = G
n An Vn = P =

Ir

Or×(m−r)

O(m−r)×r

Om−r

.

˜ =G
˜ −1 Bn V˜n−1 Q
˜ =Q
˜ nên
¯n Q
Ta lại có B
n
˜ = Q.
˜
¯n Q
B

(1.5.2)

˜ thì z = Qz
˜ và