ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
————————
Hà Thị Ngọc Yến
PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN PHI TUYẾN
VỚI KỸ THUẬT TUYẾN TÍNH HOÁ
Chuyên ngành: Toán học tính toán
Mã số: 62.46.30.01
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - 2009
Công trình được hoàn thành tại:
Đ
ẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Tập thể hướng dẫn khoa học:
GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh
GS. TS. Nguyễn Hữu Dư
Phản biện 1:
Phản biện 2:
Phản biện 3:
Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng cấp nhà nước
chấm luận án tiến sĩ họp tại

vào hồi giờ ngày tháng năm
Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Quốc gia Việt Nam
- Trung tâm Thông tin-Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội
DANH MỤC CÁC BÀI BÁO
LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN
1. P. K. Anh, H. T. N. Yen, "On the solvability of initial-value prob-
lems for nonlinear implicit difference equations", Advances in Dif-

điều khiển rời rạc Ex
k+1
= Ax
k
+ Bu
k
,k= 0,N − 1, trong đó E là ma
trận suy biến. Tuy nhiên, những kết quả thu được cho phương trình sai
phân tuyến tính với hệ số hằng không thể mở rộng trực tiếp cho phương
trình với hệ số biến thiên.
Nhóm nghiên cứu của M. Benadbdallakh và A. G. Rutkas quan tâm
đến phương trình sai phân với hệ số hằng trong không gian Bannach và
thu được một số kết quả nhất định như: áp dụng khai triển tiệm cận để
khảo sát phương trình; đưa ra lời giải cho bài toán giá trị ban đầu; nghiên
cứu tính ổn định nghiệm của phương trình thuần nhất từ các đặc trưng
của phổ của cặp toán tử tuyến tính đóng trên không gian Bannach; từ đó
thu được định lý về sự ổn định nghiệm của phương trình tựa tuyến tính
tương ứng.
Các bài toán điều khiển suy biến rời rạc với hệ số hằng, bài toán có
nhiễu hoặc có trễ tương ứng cũng được nhiều tác giả quan tâm như Q. L.
Zhang, W. Q. Liu, David Hill, X. Z. Dong, X. Ji, H. Su, J.Chu, S. Ma, Z.
Cheng, C. Zhang, Liyi Dai, Shengyuan Xu, v.v. Nhiều kết quả về phương
trình sai phân suy biến với hệ số hằng đã được thiết lập và mở rộng cho
phương trình sai phân có trễ.
1
Nhóm nghiên cứu của Bondarenko và A. G. Rutkas quan tâm tới
một lớp các phương trình sai phân ẩn với hệ số biến thiên dạng đặc biệt
T
n
x

Phương trình sai phân ẩn tuyến tính ngẫu nhiên
A(ξ
n
)X(n +1)=B(ξ
n
)X(n)+q
n
,n∈ N,
trong đó {ξ
n
: n ∈ N} là dãy độc lập cùng phân phối với giá trị trong không
gian Polish đã được nghiên cứu. Từ đó, khái niệm chỉ số 1 và đặc trưng cho
tập các giá trị ban đầu để bài toán Cauchy với điều kiện X(0) = x
0
∈ R
m
có nghiệm được thiết lập. Khai triển Furstenberg-Kifer cho phương trình
sai phân tuyến tính ẩn ngẫu nhiên thuần nhất dạng Furstenberg-Kifer đã
được chứng minh. Sự tồn tại nghiệm bị chặn của phương trình sai phân
2
tuyến tính ẩn ngẫu nhiên không thuần nhất với giá trị ngẫu nhiên q
n
thỏa
mãn những điều kiện nhất định được thiết lập.
Luận án này được viết dựa trên ba bài báo đã được đăng [1,2,3] và
một vài kết quả áp dụng từ những bài báo đó. Luận án gồm có mở đầu,
kết luận chung và 3 chương được phân bố lần lượt như sau:
1. Chương 1. Lý thuyết floquet cho phương trình sai phân tuyến tính ẩn:
Trong chương này, chúng tôi đưa ra định nghĩa chỉ số 1, dạng chuẩn
tắc Kronecker - Weierstrass và xây dựng lý thuyết Floquet cho phương

1.3 Lý thuyết Floquet cho phương trình vi phân đại
số tuyến tính chỉ số 1
Mục 1.3 được chia thành 2 tiểu mục. Trong tiểu mục 1.3.1, chúng tôi
nêu lại định nghĩa và một số tính chất cơ bản của phương trình vi phân
đại số tuyến tính chỉ số 1. Trong tiểu mục 1.3.2, chúng tôi trình bày những
nét chính của lý thuyết Floquet cho phương trình vi phân đại số tuyến
tính chỉ số 1.
1.4 Phương trình sai phân tuyến tính ẩn chỉ số 1.
Xét phương trình sai phân tuyến tính ẩn với hệ số biến thiên dạng
A
n
x
n+1
+ B
n
x
n
= q
n
,n 0, (1.4.1)
trong đó A
n
∈ R
m×m
suy biến với mọi n, B
n
∈ R
m×m
, và x
n

chiếu chính tắc từ R
m
lên R
k
, tức là tồn tại ma trận khả nghịch V ∈ R
m×m
thoả mãn Q = V
˜
QV
−1
.
Mệnh đề 1.4.2 Gọi toán tử Q
αβ
= V
α
˜
QV
−1
β
là toán tử nối giữa hai không
gian có cùng số chiều N
α
và N
β
(gọi tắt là toán tử nối). Khi đó toán tử
nối thoả mãn các tính chất sau:
Q
α
Q
αβ

. (1.4.4)
Toán tử nối là công cụ quan trọng giúp chúng tôi tiếp cận phương trình
sai phân ẩn tuyến tính ẩn chỉ số 1 cũng như thiết lập khái niệm chỉ số cho
phương trình sai phân ẩn tựa tuyến tính và phi tuyến.
Định nghĩa 1.4.3 Phương trình sai phân tuyến tính ẩn (1.4.1) được gọi
là có chỉ số 1 nếu:
i/ rankA
n
= r, n  0;
ii/ S
n
∩ ker A
n−1
= {0}, ∀n  1, trong đó S
n
:= {ξ ∈ R
m
: B
n
ξ ∈ imA
n
}.
Ngoài ra, giả thiết rằng dim S
0
= r. Gọi A
−1
∈ R
m×m
là ma trận thoả
mãn điều kiện S

phương trình sai phân tuyến tính ẩn. Các tính chất tương tự đã được P.
5
K. Anh, N. H. Dư, L. C. Lợi thiết lập trước đó cho trường hợp Q
n
là phép
chiếu trực giao. Ở đây Q
n
là phép chiếu bất kỳ lên ker A
n
.
Mệnh đề 1.4.4 Nếu ma trận G
n
= A
n
+ B
n
Q
n−1,n
là ma trận không suy
biến thì ta có các đẳng thức sau
(i)
A
n
P
n
= A
n
, (1.4.5)
(ii)
P

−1
n
B
n
Q
n−1
= Q
n,n−1
.
Mệnh đề 1.4.5 Các khẳng định sau là tương đương.
i/ S
n
∩ ker A
n−1
= {0}.
ii/ Ma trận G
n
:= A
n
+ B
n
Q
n−1,n
không suy biến.
iii/ R
m
= S
n
⊕ ker A
n−1

Q
n−1
:= Q
n−1,n
G
−1
n
B
n
là phép chiếu chính tắc lên ker A
n−1
song song
với S
n
;
ii/
˜
Q
n−1
=
˜
V
n−1
˜
Q
˜
V
−1
n−1
, trong đó


r
i=1

và ker A
n−1
= span


h
j
n−1

m
j=r+1

.
Mệnh đề 1.4.8 Giả sử {E
n
}
n0
và {F
n
}
n−1
là hai họ các ma trận khả
nghịch và giả sử phương trình (1.4.1) có chỉ số 1. Khi đó (1.4.1) tương
đương với phương trình sai phân tuyến tính ẩn
¯
A

F
n−1
;¯q
n
= E
n
q
n
. Hơn nữa (1.4.8) cũng có
chỉ số 1. E
n
được gọi là ma trận tỷ lệ và F
n
là ma trận của phép đổi biến
x
n
= F
n−1
¯x
n
.
6
1.5 Lý thuyết Floquet
1.5.1 Định lý Kronecker
Trong mục này, chúng tôi sử dụng các tính chất trong tiểu mục 1.4.2
tìm cặp (E
n
,F
n
) đưa phương trình sai phân tuyến tính ẩn chỉ số 1 về dạng

n
. (1.5.1)
Định lý 1.5.2 Bài toán Cauchy cho phương trình sai phân tuyến tính ẩn
chỉ số 1 (1.4.1)
A
n
x
n+1
+ B
n
x
n
= q
n
,n 0,
˜
P
−1
(x
0
− x
0
)=0, (1.5.4)
luôn giải được duy nhất nghiệm với công thức
x
n+1
=(−1)
n+1
˜
V

k=0
(−1)
n−k
˜
P

n−k−1

i=0
˜
G
−1
n−i
B
n−i
˜
V
n−i−1

˜
G
−1
k
q
k

+
˜
V
n

:= A
N−1
.
Một cách tương tự như phương trình vi phân đại số, ta cũng có định nghĩa
ma trận cơ bản của phương trình tuần hoàn (1.4.1).
Định nghĩa 1.5.4 Ma trận X
n
∈ R
m×m
thỏa mãn bài toán giá trị ban đầu
A
n
X
n+1
+ B
n
X
n
= 0; (1.5.5)
P
−1
(X
0
− I)=0, (1.5.6)
với P
−1
= P
N−1
là phép chiếu lên S
N−1

diễn dưới dạng
X
n
= F
n−1

R
n
O
r×(m−r)
O
(m−r)×r
O
m−r

F
−1
−1
, (n  1). (1.5.7)
1.5.3 Định lý Lyapunov
Trong phần này, chúng tôi xét tính ổn định của nghiệm x
n
=0của
phương trình sai phân tuyến tính ẩn tuần hoàn thuần nhất. Sử dụng Định
lý 1.5.5, chúng tôi chứng minh được định lý Lyapunov dưới đây.
Định lý 1.5.6 Mọi phương trình sai phân tuyến tính ẩn tuần hoàn chỉ số
1 với B
n
không suy biến đều đưa được về dạng Kronecker - Weierstrass với
hệ số hằng

lý 1.5.6) của PTSP tuyến tính ẩn tuần hoàn thuần nhất chỉ số 1 (với B
n
không suy biến ) có môđun nhỏ hơn 1 thì nghiệm tầm thường x
n
=0ổn
định tiệm cận mũ. Trái lại, nếu R có một giá trị riêng với môđun lớn hơn
1 thì nghiệm x
n
=0không ổn định.
1.6 Áp dụng cho phương trình sai phân tuyến tính
ẩn có chậm
Trong phần này, chúng ta xét phương trình sai phân ẩn tuyến tính
có chậm với hệ số tuần hoàn dạng
A
n
x
n+1
+ B
n
x
n
+ C
n
x
n−n
0
= q
n
(n  0), (1.6.1)
x

Định nghĩa 1.6.1 Ta nói phương trình (1.6.1) có chỉ số 1 nếu phương
trình sai phân không có trễ tương ứng A
n
x
n+1
+ B
n
x
n
=0có chỉ số 1.
Định lý 1.6.2 Bài toán giá trị ban đầu (1.6.1), (1.6.2) của phương trình
sai phân tuyến tính ẩn có trễ tuần hoàn chỉ số 1 giải được duy nhất nghiệm
nếu các giá trị ban đầu thỏa mãn ràng buộc sau
˜
Q

˜
V
−1
−1
γ
n
0
+
˜
G
−1
0
(C
0

n
suy biến với mọi n, f
n
: R
m
× R
m
−→ R
m
là hàm
véctơ khả vi theo biến thứ nhất. Hơn nữa, giả sử rằng
ker A
n
⊂ ker
∂f
n
∂y
(y, x) ∀n  0, ∀x, y ∈ R
m
. (2.0.2)
Chúng ta sẽ bắt đầu chương này bằng việc khảo sát sự tồn tại duy nhất
nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình sai phân tựa tuyến tính ẩn
với điều kiện ban đầu
P
0
x
0
= γ. (2.0.3)
2.1 Một số định lý tồn tại
2.1.1 Trường hợp phần chính tuyến tính có chỉ số 1

(2.0.1) là phương trình sai phân tựa tuyến tính ẩn có chỉ số 1 nếu (2.0.1)
có hàm f
n
(y, x) thỏa mãn điều kiện (2.0.2) và phần chính tuyến tính có
chỉ số 1.
Dựa vào nguyên lý ánh xạ co, chúng tôi chứng minh được hai định lý
tồn tại nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình sai phân tựa tuyến
tính mà phần chính tuyến tính có chỉ số 1.
Định lý 2.1.1 Giả sử phương trình sai phân tựa tuyến tính ẩn (2.0.1) có
chỉ số 1 và giả sử hàm f
n
(y, x) thỏa mãn bất đẳng thức
f
n
(y, x) − f
n
(ξ,ζ )  α
n
y − ξ + β
n
x − ζ, (2.1.2)
với mọi y,x,ξ,ζ ∈ R
m
, với α
n
và β
n
là các hằng số không âm. Nếu
ω
n

n
hoàn toàn có thể thỏa mãn được và lớp các bài toán (2.0.1) thỏa mãn yêu
cầu của Định lý 2.1.1 không quá hẹp.
Nhận xét 2.1.2
i/ Nếu ∀x, y ∈ R
m
,




∂f
n
∂y
(y, x)




 α
n
và




∂f
n
∂x
(y, x)

Định lý 2.1.3 Bài toán (2.0.1), (2.0.3) có nghiệm duy nhất nếu nó thỏa
mãn các điều kiện sau:
i/ Phương trình (2.0.1) có chỉ số 1;
11
ii/ f
n
thỏa mãn hai điều kiện
im
∂f
n
∂y
(y, x) ⊂ imA
n
, ∀x, y ∈ R
m
, (2.1.16)
max

α
n


P
n
G
−1
n


,β

i
n
y + g
n
(x),
trong đó g
n
∈ C
1
(R
m
, R
m
) là hàm cho trước nào đó.
2.1.2 Trường hợp phần chính tuyến tính tựa chỉ số 1.
Trong phần trên, chúng ta đã khảo sát sự tồn tại nghiệm của phương
trình sai phân tựa tuyến tính ẩn chỉ số 1. Kết quả này có thể mở rộng cho
lớp các phương trình sai phân ẩn có tính chất gần giống với tính chất của
phương trình có chỉ số 1. Lớp các phương trình đó được định nghĩa như
sau.
Định nghĩa 2.1.5 Phương trình sai phân tuyến tính ẩn A
n
x
n+1
+ B
n
x
n
=
q

phân tuyến tính ẩn tựa chỉ số 1.
Xét Q
n
là phép chiếu nào đó lên ker A
n
,P
n
= I−Q
n
là phép chiếu dọc
theo ker A
n
. Do 0 < rankA
n
= r
n
<mnên tồn tại V
n
khả nghịch thỏa mãn
Q
n
= V
n
Q
(n)
V
−1
n
và P
n

P
(n)
= I −Q
(n)
. Với các ký hiệu trên, dùng suy luận và các biến đổi tương
tự như trong chứng minh Mệnh đề 1.4.4, Mệnh đề 1.4.5, ta thu được các
tính chất sau:
12
Mệnh đề 2.1.6 Các phát biểu sau là tương đương
i/ S
n
∩ A
n−1
= {0}.
ii/ G
n
= A
n
+ B
n
V
n−1
Q
(n)
V
−1
n
không suy biến với mọi n  0.
Mệnh đề 2.1.7 Nếu G
n

G
−1
n
B
n
V
n−1
Q
(n)
V
n
= Q
n
(2.1.23)
và nếu r
n
 r
n+1
thì
P
n
G
−1
n
B
n
Q
n−1
=0,Q
n

n
. Khi đó phương trình (2.1.25) tương
đương với
¯
A
n
¯x
n+1
+
¯
B
n
¯x
n
=¯q
n
,n 0, (2.1.26)
trong đó
¯
A
n
:= E
n
A
n
F
n
;
¯
B

n
)=0.
Định nghĩa 2.1.9 Phương trình sai phân tựa tuyến tính ẩn (2.0.1) được
gọi là phương trình tựa chỉ số 1 nếu phương trình tuyến tính tương ứng
(2.1.1)
A
n
x
n+1
+ B
n
x
n
=0
là phương trình tựa chỉ số 1, còn phần phi tuyến f
n
(y, x) thỏa mãn điều
kiện (2.0.2).
Từ đây, kèm theo giả thiết tựa chỉ số 1 cho phương trình (2.0.1), ta
luôn giả thiết rằng (2.0.1) thỏa mãn
r
n+1
≥ r
n
n  0(2.1.27)
13
với r
n
:= rankA
n

(n)
r
n
, 0, 0

với các phần tử trên đường chéo σ
(n)
1
 σ
(n)
2
  σ
(n)
r
n
> 0 là các giá trị
kỳ dị đã được sắp thứ tự.
Bây giờ, tác dụng cặp (U
T
n
,V
n+1
) lên phương trình (2.0.1), và áp dụng
Mệnh đề 2.1.8, ta có phương trình (2.0.1) tương đương với
Σ
n
y
n+1
+
˜

n
(y, x)=U
T
n
f
n
(V
n+1
y, V
n
x).
Hơn nữa do (2.0.1) là phương trình tựa chỉ số 1 nên (2.1.28) cũng là phương
trình tựa chỉ số 1. Vì vậy, ta có mệnh đề sau
Mệnh đề 2.1.10 Ta có các khẳng định sau
1/ Các ma trận G
n
= A
n
+ B
n
V
n
Q
(n)
V
T
n+1
và
˜
G

U
n
 = V
n
 =


U
T
n


=


V
T
n


=



P
(n)



=

n
,b
n
,c
n
,ν
n
,µ
n
, là các hằng số không âm nào đó. Đặt θ
n
:=
max {ν
n
,µ
n
}  1 và giả thiết, nếu θ
n
=1thì (a
n
+ b
n
)G
−1
n
 < 1. Khi
đó bài toán Cauchy cho phương trình sai phân tựa tuyến tính ẩn (2.0.1)
với điều kiện ban đầu (2.0.3) có nghiệm.
14
2.2 Giải gần đúng bài toán Cauchy cho phương trình

n
B
n


 C
1
;(2.2.1)
iv/ Ma trận P
n
G
−1
n
B
n
có chuẩn bị chặn đều bởi hằng số nhỏ hơn 1


P
n
G
−1
n
B
n


 δ
0
< 1; (2.2.2)



 ω<1, (2.2.3)
(1 − ω)
−1


P
n
G
−1
n


(δ
0
α
n
+ C
1
β
n
)  δ
1
< 1 − δ
0
, (2.2.4)
và (1 − ω)
−1


của Bài toán (2.0.1), (2.0.3) thỏa mãn x
n
− x
n
  ε, (n ≥ 0),
trong đó {x
n
}
n0
là nghiệm đúng duy nhất của nó.
2.3 Phương trình sai phân tựa tuyến tính ẩn tuần
hoàn
2.3.1 Phương trình vi phân đại số tựa tuyến tính tuần hoàn
Trong phần này, chúng tôi nhắc lại kết quả của René Lamour, Roswitha
M¨arz, và Renate Winkler về lý thuyết Floquet cho phương trình vi phân
đại số và sự ổn định nghiệm của phương trình vi phân đại số tựa tuyến
tính.
15
2.3.2 Phương trình sai phân tựa tuyến tính ẩn tuần hoàn
Xét phương trình sai phân tựa tuyến tính ẩn (2.0.1)
A
n
x
n+1
+ B
n
x
n
+ f
n

,B
n
= B
n+N
, với mọi n  0. Với các
giả thiết trên, ta nói (2.0.1) là phương trình sai phân tựa tuyến tính ẩn
tuần hoàn chỉ số 1. Khi đó, theo Định lý 1.5.6, khi tác động cặp ma trận
(E
n
,F
n
) (xác định như trong Định lý 1.5.6) vào phương trình (2.0.1), ta
thu được phương trình tương đương dạng Kronecker - Weierstrass
˜
P ˜x
n+1
+

−RO
r×(m−r)
O
(m−r)×r
I
m−r

˜x
n
+ h
n
(˜x




˜
P
n
y



+ x  δ(ε) thì
f
n
(y, x)  ε




˜
P
n
y



+ x

, (2.3.7)



Chương 3
Phương trình sai phân phi tuyến ẩn
chỉ số 1
Trong các chương trước, chúng ta đã đưa ra khái niệm chỉ số cho
phương trình sai phân ẩn tuyến tính và tựa tuyến tính, trên cơ sở đó khảo
sát tính giải được và ổn định nghiệm của bài toán giá trị ban đầu. Một
cách tương tự như vậy, chúng ta sẽ xây dựng khái niệm chỉ số cho phương
trình sai phân phi tuyến ẩn và khảo sát sự tồn tại duy nhất nghiệm của
bài toán giá trị ban đầu, tính ổn định nghiệm của phương trình sai phân
phi tuyến ẩn tuần hoàn.
3.1 Phương trình vi phân đại số phi tuyến chỉ số 1
Trong mục này, chúng tôi trình bày ngắn gọn định nghĩa phương
trình vi phân đại số phi tuyến chỉ số 1 và sự ổn định nghiệm của phương
trình tuần hoàn tương ứng.
3.2 Phương trình sai phân phi tuyến ẩn chỉ số 1
Xét phương trình sai phân phi tuyến dạng
f
n
(x
n+1
,x
n
)=0,n 0, (3.2.1)
với f
n
: R
m
×R
m
−→ R

và 0 <r<m;
iii/ Ma trận G
n
=
∂f
n
∂y
(y, x)+
∂f
n
∂x
(y, x)Q
n−1,n
không suy biến với mọi
n  0,
trong đó N
−1
được chọn là không gian bù nào đó của
S
0
=

z,
∂f
0
∂x
(y, x)z ∈ im
∂f
0
∂y

lân cận nghiệm (y
∗
n
,x
∗
n
) nào đó. Khi đó, tuyến tính hóa phương trình sai
phân phi tuyến ẩn trong lân cận nghiệm (y
∗
n
,x
∗
n
) ta thu được phương trình
sai phân tựa tuyến tính ẩn chỉ số 1.
3.2.2 Một số tính chất của phương trình sai phân phi tuyến ẩn
chỉ số 1
Trong phần này, chúng tôi đưa ra một vài tính chất của phương
trình sai phân phi tuyến ẩn chỉ số 1 với những chứng minh tương tự trong
Chương 1.
3.3 Bài toán Cauchy cho phương trình sai phân phi
tuyến ẩn chỉ số 1
3.3.1 Nguyên lý đồng phôi Hadamard
Trong phần này, chúng tôi nêu lại nguyên lý đồng phôi H’admard,
công cụ quan trọng trong việc khảo sát sự tồn tại duy nhất nghiệm của
bài toán Cauchy.
Định lý 3.3.1Giả sử F ∈ C
1
(X, Y ) là một đồng phôi địa phương giữa hai
không gian Bannach X, Y và

mọi x ∈ X, thì F là một đồng phôi từ X vào Y.
Hơn nữa, giả sử rằng F = T + H với T ∈ C
1
(X, Y );


[T

(x)]
−1


 γ, ∀x ∈ X
và
H(x) − H(y)  L x − y, ∀x, y ∈ X.
Khi đó, nếu Lγ < 1, thì F là đồng phôi từ X vào Y.
3.3.2 Tính giải được duy nhất của bài toán Cauchy cho phương
trình sai phân phi tuyến ẩn chỉ số 1
Định lý 3.3.2 Giả sử rằng phương trình sai phân phi tuyến ẩn (3.2.1) có
chỉ số 1 và giả sử


G
−1
n
(y, x)


 α
n

i/ g
n
(y, x) là hàm khả vi liên tục. Hơn nữa,
ker
∂g
n
∂y
(y, x)=N
n
; dimN
n
= m − r, ∀n  0; ∀x, y ∈ R
m
;
ii/ G
n
(y, x)=
∂g
n
∂y
(y, x)+
∂g
n
∂x
(y, x)Q
n−1,n
, (n  0), có nghịch đảo bị chặn
đều, tức là
G
−1

2

1/2
.
19
Khi đó, nếu γ
n
L
n
<
1
√
2
với mọi n  0 thì bài toán giá trị ban đầu
(3.2.1), (3.3.2) có nghiệm duy nhất.
Hệ quả 3.3.4 Giả sử f
n
(y, x)=A
n
y + B
n
x + h
n
(y, x), trong đó A
n
,B
n
∈
R
m×m

ker A
−1
∩ S
0
= {0};
ii/ h
n
(y, x) là hàm khả vi liên tục, hơn nữa với mọi n  0, với mọi
y, x, ¯y, ¯x ∈ R
m
,
ker A
n
⊂ ker
∂h
n
∂y
(y, x),
h
n
(y, x) −h
n
(¯y, ¯x)  L
n
(y − ¯y
2
+ x − ¯x
2
)
1/2

n
=ker
∂f
n
∂y
(y, x),
dimN
n
= m − r, 1  r  m − 1 nào đó ∀n  0, ∀y, x ∈ R
m
;
– Đặt S
n
(y, x)=

ξ ∈ R
m
:
∂f
n
∂x
(y, x)ξ ∈ im
∂f
n
∂y
(y, x)

. Khi đó S
n
∩

m
lên N
n
.
+
˜
V
n
là ma trận trực giao đưa
˜
Q
n
về dạng chéo, tức là
˜
Q
n
=
˜
V
n
˜
Q
˜
V
−1
n
=
˜
V
n

˜
V
n−1
˜
Q.
Ta thấy, f
n
tuần hoàn chu kỳ N đảm bảo tính tuần hoàn cùng chu kỳ cho
các ma trận
˜
Q
n
,
˜
V
n
,
˜
V
T
n
,A
n
,B
n
,
˜
G
n
,

với h
n
(y, x) khả vi liên tục thỏa mãn các tính chất sau:
• h
n
(0, 0) = 0,h
n
(y, x)=h
n+N
(y, x)∀y, x ∈ R
m
;
• h
n
(
˜
P
n
x
n+1
,x
n
)=f
n
(
˜
P
n
x
n+1

(x
n+1
,x
n
);
•
∂h
n
∂y
(0, 0) =
∂f
n
∂y
(0, 0) − A
n
= O,
∂h
n
∂x
(0, 0) =
∂f
n
∂x
(0, 0) − B
n
= O.
Xét phương trình sai phân tuyến tính ẩn tuần hoàn tương ứng
A
n
x

được kết quả sau:
Định lý 3.4.1 Nếu phương trình sai phân phi tuyến ẩn tuần hoàn chỉ số
1 (3.2.1) có nghiệm tầm thường là nghiệm duy nhất và có
∂f
n
∂x
(0, 0) khả
nghịch. Khi đó, nếu ma trận R, trong dạng Kronecker (3.4.3) của phương
trình sai phân tuyến tính ẩn tuần hoàn tương ứng (3.4.2), có các giá trị
riêng đều có môđun nhỏ hơn 1 thì nghiệm tầm thường x
n
≡ 0 của (3.2.1)
ổn định tiệm cận mũ.
22