- 1 -
Đại học thái nguyên
Trường đại học sư phạm
----------------------------------------
Trần thiện toản
MộT Số TíNH CHấT định tính của hệ phương
trình SAI phân ẩN TUYếN TíNH
Luận văn thạc sĩ toán học
Thỏi Nguyờn 2008
- 2 -
Đại học thái nguyên
Trường đại học sư phạm
----------------------------------------
trần thiện toản
MộT Số TíNH CHấT định tính của hệ phương
trình SAI phân ẩN TUYếN TíNH
Chuyên nghành: Giải tích
Mã số: 60.46.01
Luận văn thạc sĩ toán học
Người hướng dẫn khoa học : pGS-TS Tạ Duy Phượng
Thỏi Nguyờn 2008
Thái Nguyên 2008
- 3 -
Mục lục
Trang
Lời nói đầu...............................................................................................1-2
Chương 1. CễNG THC NGHIM CA H PHNG TRèNH SAI
PHN N TUYN TNH ......3
1.1 H phng trỡnh sai phõn n cha tham s iu khin...............................3
1.2 Cụng thc nghim Cauchy ca phng trỡnh sai phõn n tuyn tớnh khụng
dng...................................................................................................................4
thường đã được nghiên cứu khá đầy đủ, nhất là cho các hệ phương trình tuyến
tính trong không gian hữu hạn chiều, nhiều bài toán định tính (tính điều khiển
được cho hệ có hạn chế trên biến điều khiển, bài toán ổn định hóa,…) cho hệ
phương trình vi phân và sai phân ẩn còn chưa được nghiên cứu đầy đủ.
Mục đích của luận văn này là trình bày một số nghiên cứu định tính của
hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính có tham số điều khiển.
Luận văn gồm ba Chương.
Chương 1 trình bày các khái niệm và công thức nghiệm của hệ phương
trình sai phân ẩn tuyến tính theo các tài liệu [6], [3] và [2].
Chương 2 trình bày một số nghiên cứu định tính (tính điều khiển được
và quan sát được, ổn định và ổn định hóa, quan sát trạng thái,…) của hệ
phương trình sai phân ẩn tuyến tính theo tài liệu [6].
Chương 3 trình bày tính điều khiển được của hệ phương trình sai phân
ẩn tuyến tính có hạn chế trên biến điều khiển theo tài liệu [7].
Mặc dù luận văn được trình bày chủ yếu theo các cuốn sách [6] và [7],
nhưng chúng tôi đã cố gắng tổng hợp và sắp xếp theo thứ tự phù hợp với nội
dung luận văn. Để hiểu và trình bày vấn đề một cách rõ ràng, chúng tôi đã cố
gắng chứng minh chi tiết các định lý. Đặc biệt, nhằm làm sáng tỏ các khái
- 5 -
niệm và các kết quả, các thí dụ được tính toán cẩn thận, đầy đủ và chi tiết.
Các tính toán này thường không được trình bày chi tiết trong các tài liệu trích
dẫn.
Tác giả chân thành cám ơn PGS-TS. Tạ Duy Phượng, Viện Toán học,
người Thầy đã hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn này. Xin được cám ơn
Trường Đại học Sư phạm (Đại học Thái Nguyên), nơi tác giả đã hoàn thành
chương trình Cao học dưới sự giảng dạy nhiệt tình của các Thày,cô. Xin chân
thành cám ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Tuyên Quang, trường THPT Na Hang
Tuyên Quang đã tạo mọi điều kiện để tác giả hoàn thành chương trình học
tập. Và cuối cùng, xin được cám ơn Gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ
tác giả vượt qua nhiều khó khăn trong học tập.
( )
p
y k
được gọi là
tham số đo đầu ra hay đầu ra.
Một trong những trường hợp của hệ (1.1) được quan tâm nhiều là hệ
( ) ( 1) ( ( ), ( ));
( ) ( ( ), ( )), 0,1,2,...
E k x k H x k u k
y k J x k u k k
(1.2)
trong đó H, J là những vectơ hàm của các biến x(k) , u(k) có số chiều tương
ứng là
n
và
p
. Ma trận E(k) có thể suy biến (định thức có thể bằng 0).
Nếu H, J là các vectơ hàm tuyến tính của x(k) và u(k) thì (1.2) trở thành
( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( );
( ) ( ) ( ), 0,1,2,...
E k x k A k x k B k u k
y k C k x k k
(1.5)
Hệ (1.5) là hệ phương trình sai phân thường, nó đã được nghiên cứu khá kĩ
trong các tài liệu, thí dụ, [7], [8]. Trong luận văn này, khi nghiên cứu hệ
phương trình (1.3), chúng ta thường coi
( )E k
là ma trận suy biến, tức là
( )rankE k n
với mọi
0,1,2,...k
Tuy nhiên, nhiều kết quả phát biểu cho
hệ (1.3) vẫn đúng cho hệ phương trình sai phân thường (1.5) như là trường
hợp đặc biệt.
1.2 CÔNG THỨC NGHIỆM CAUCHY CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI
PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH KHÔNG DỪNG
Xét hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính không dừng
0
( 1) ( 1) ( ) ( ) ( );
(0) , 0,1,2,...
E k x k A k x k f k
x x k
F k k I F k i i k
. (1.8)
Khi ấy nghiệm của hệ (1.6) có thể được tính theo công thức sau:
1
0
0
( ) ( ) ( , 1) (0) ( , ) ( ), 1,2,...
k
i
E k x k F k E x F k i f i k
(1.9)
Ở đây
n
I
được kí hiệu là ma trận đơn vị cấp n.
Chứng minh
Viết lại (1.7) theo i, sau đó cho i thay đổi từ 0 đến k-1, thời điểm k cố định,
ta có:
( 1) ( 1) ( ) ( ) ( ), 0,1,2,..., 1E i x i A i x i f i i k
. (1.10)
Giả sử
( , )F k i
là ma trận
n n
. Nhân hai vế của (1.10) với
( , )F k i
( , 1) ( ) ( ) ( , 1) ( ) ( ) ( , 1) (0) (0)
k
i
F k i E i x i F k k E k x k F k E x
nên (1.12) có thể viết dưới dạng
( , 1) ( ) ( ) ( , 1) (0) (0)F k k E k x k F k E x
1 1
0 0
( , 1) ( ) ( ) [ ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( )]
k k
i i
F k i E i x i F k i A i x i F k i f i
.
Do giả thiết
( , 1)
n
F k k I
nên
1
0
( ) ( ) ( , 1) (0) (0) ( , 1) ( ) ( )
k
0
( , ) ( )
k
i
F k i f i
.
Do
( , 1) ( ) ( , ) ( ), 0,1,..., 1F k i E i F k i A i i k
.
nên từ phương trình trên kết hợp với điều kiện ban đầu
0
(0)x x
ta có:
1
0
0
( ) ( ) ( , 1) (0) ( , ) ( )
k
i
E k x k F k E x F k i f i
.
Đây chính là điều phải chứng minh.
E A
được gọi là chính quy nếu tồn tại một số phức
sao cho định thức
0E A
hay đa thức
0sE A
.
- 10 -
1.3.2 Bổ đề
Cặp ma trận
,E A
là chính quy nếu và chỉ nếu tồn tại hai ma trận không
suy biến
P
và
Q
sao cho
1
0
0
n
I
QEP
N
n
I
và
2
n
I
là hai ma trận đơn vị tương
ứng cấp
1
n
và
2
n
;
2 2
n n
N
là ma trận lũy linh (tức là tồn tại một số tự
nhiên
h
sao cho
0
h
N
).
Chứng minh
Điều kiện cần Giả sử tồn tại các ma trận không suy biến
P
1 1 1 1
1
0.
E A Q Q E A PP
Q QEP QAP P Q I A P
a a
a a
Suy ra
0E Aa
. Vậy theo Định nghĩa 1.3.1, cặp ma trận
( , )E A
là chính
quy.
Điều kiện đủ Giả sử
( , )E A
là cặp ma trận chính quy. Theo định nghĩa, tồn
tại số
a
sao cho
0E Aa
. Xét hai ma trận
1
ˆ
( )E E A Ea
( , )TET diag E E
,
trong đó
1 1
1
ˆ
n n
E
là ma trận không suy biến và
2 2
2
ˆ
n n
E
là ma trận lũy
linh (tồn tại một số tự nhiên
h
để
2
2
ˆ
h
n
E O
,( ) ( )QEP diag E I E T E A ETa a
=
1 1 1
1 2
ˆ ˆ ˆ
,( )diag E I E TETa
=
1 1
1 2 1 2
ˆ ˆ ˆ ˆ
,( ) ( , )diag E I E diag E Ea
=
=
1
1
1 1
1
1
2 2
2 2
ˆ ˆ
0
1
1
0
,
0
n
n
I
diag I N
N
2
1
1
1 1
1 1
1
2 2
ˆ ˆ
ˆ ˆ
0 ( ) 0
( ) 0
ˆ ˆ
0
0 ( ) 0 ( )
n
E I E
E I E
I
I E I E
a
a
a a
1
1 1 2
ˆ ˆ
: ( )A E I Ea
.
Vậy bổ đề 1.3.2 được chứng minh.
1.3.3 Thí dụ
Xét cặp ma trận
( , )E A
dưới đây
- 12 -
0 1 1 1 0 1
1 1 0 , 0 2 0
1 0 1 1 0 1
E A
. (1.14)
Tính toán trực tiếp ta có:
2 2
2
Do đó,
,E A
là cặp ma trận chính quy.
Phương pháp trực tiếp kiểm tra tính chính quy của cặp ma trận sẽ gặp khó
khăn khi E, A là các ma trận cấp cao. Từ quan điểm tính toán, Luenbeger đã
đưa ra một tiêu chuẩn khác kiểm tra tính chính qui của cặp ma trận
,E A
,
được gọi là thuật toán trộn.
Cho
E A
là ma trận cấp n
2n. Nếu
E
là không suy biến thì
,E A
là cặp
ma trận chính quy và dừng thuật toán. Còn nếu
E
là suy biến, bằng cách biến
đổi hàng ta có thể chuyển
Nếu
1
1 2
2
/
E
E A
A
là không suy biến thì
,E A
là cặp ma trận chính quy và
dừng thuật toán. Còn không, ta lặp lại thuật toán. Thuật toán sẽ kết thúc theo
- 13 -
cách sau đây: Ma trận có dạng n cột không suy biến dẫn tới
,E A
là cặp ma
trận chính quy hoặc cuối cùng là một dòng không xuất hiện trong ma trận
(1.16) dẫn tới
,E A
là cặp ma trận không chính quy.
1.3.4 Thí dụ
Xét cặp ma trận
. (1.18)
Trộn (1.18) bằng cách đổi chỗ ma trận
0 0 0
và
2
2 2 0A
ở
dòng cuối cùng, ta được
0 1 1 1 0 1
1 1 0 0 2 0
2 2 0 0 0 0
( 1) ( ) ( ) ( ); (1.20 )
( 1) ( ) ( ) ( ), 0,1,2,.... (1.20 )
x k A x k B k u k a
Nx k x k B k u k k b
Thật vậy, do
( , )E A
là cặp ma trận chính quy nên theo Bổ đề 1.3.2 tồn tại hai
ma trận không suy biến
,P Q
sao cho
1
1
2
0
0
,
0
0
n
n
A
( ) ( )z k P x k
hay
1
2
( )
( ) ( )
( )
z k
x k Pz k P
z k
và đặt
1
2
( )
( )
( )
B k
QB k
. (1.21)
Nhân hai vế của (1.21) với
Q
ta được:
1 1
2 2
( 1) ( )
( ) ( )
( 1) ( )
z k z k
QEP QAP QB k u k
z k z k
.
Theo Bổ đề 1.3.2 ta có
1
1 1 1
.
Từ đây ta có
- 15 -
1 1 1 1
2 2 2
( 1) ( ) ( ) ( ); (1.22 )
( 1) ( ) ( ) ( ), 0,1,2,... (1.22 )
1 1 1 1 1
0
( ) (0) ( ) ( )
k
k k i
i
z k A z A B i u i
. (1.23a)
Chứng minh
Ta sẽ chứng minh công thức (1.23a) bằng phương pháp quy nạp.
Với
1k
ta có
0
1 1 1 1 1 1 1 1
0
(1) (0) ( ) ( ) (0) (0) (0)
i
i
z A z A B i u i A z B u
.
1
1 1 1 1 1 1
0
( (0) ( ) ( )) ( ) ( )
s
s s i
i
A A z A B i u i B s u s
=
1
1
1 1 1 1 1
0
(0) ( ) ( ) ( ) ( )
s
s s i
i
A z A B i u i B s u s
- 16 -
=
(1.20b)
được tính theo công thức sau:
1
2 2 2
0
( ) ( ) ( ) ( )
L k
L k i
i
z k N z L N B k i u k i
,
0,1,2,...,k L
. (1.23b)
Chứng minh
Ta có
2 2 2
( 1) ( ) ( ) ( )Nz k z k B k u k
.
Suy ra
2 2 2
( ) ( 1) ( 1) ( 1)Nz L z L B L u L
.
Do đó
1 1
2 1
1 1
0
2 2 2 2
0 0
3)
( 2) ( 2) ( 1) ( 1) ...
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
L k L k
L k L k
i i
i i
N B L u L N B L u L
N z k N B k i u k i z k N B k i u k i
Vậy
- 17 -
1
2 2 2
0
i
z k A z A B u i
,
0,1,2,...,k L
; (1.24a)
1
2 2 2
0
( ) ( ) ( )
L k
L k i
i
z k N z L N B u k i
,
0,1,2,...,k L
. (1.24b)
1.4.3 Thí dụ
Xét chuỗi thời gian hữu hạn rời rạc
1 0 0 0 1 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0 1
. Khi ấy hệ (1.25) có thể viết lại như sau:
1 1
2 2
1 1 0
( 1) ( ) ( );
0 1 1
0 1 1
( 1) ( ) ( ), 0,1,2,... .
0 0 1
x k x k u k
x k x k u k k L
,
2
1
1 1 1 1 1 2
0 1 0 1 0 1
A
,…,
1
1
1 1
0 1
k
k
A
,
- 18 -
1
,
2
0 1 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0
N
;
2
0 1 1 1
0 0 1 0
NB
.
Theo công thức (1.23a) và (1.23b), nghiệm của (1.25) được tính như sau:
,
1 1
1 1
1
( ) ( ), 1;
2
1
0 0 1
( ) ( ) ( )
2 2 2
0
1
( 1) ( ), 0 2.
1
1
0
x L u k k L
L k
L k i
x k N x L N B u k i
i
u k u k k L
2
( )x k
là không phụ thuộc vào trạng thái cuối
2
( )x L
khi
2k L
.
Phương trình (1.22a) là một công thức truy hồi tiến và nghiệm của nó được
tính theo công thức (1.23a), trong đó trạng thái
1
( )z k
tại thời điểm
k
hoàn
toàn được xác định duy nhất bởi điều kiện đầu
1
(0)z
và các đầu vào
( ), 0,1,..., 1u i i k
trước thời điểm
k
. Mối quan hệ giữa trạng thái ban đầu
( )x k
và
( )u k
như vậy được gọi là quan hệ nhân quả. Chính xác hơn, ta đưa
vào định nghĩa sau.
1.4.4 Định nghĩa
Chuỗi thời gian hữu hạn (1.19) được gọi là có tính chất nhân quả nếu trạng
, và ta cũng có mối quan hệ nhân quả.
Công thức (1.23a) và (1.23b) cũng chỉ ra rằng, điều kiện ban đầu
1
(0)z
và
điều kiện cuối
2
( )z L
tạo thành một điều kiện trọn vẹn (the complete
condition), với điều kiện ấy trạng thái
( )x k
và đầu ra
( )y k
của hệ (1.19) sẽ
được tính một cách duy nhất theo các điều khiển
( ), 0,1,...,u i i L
theo công
thức sau (kết hợp hai công thức (1.23a) và (1.23b)):
1
2
1 1
1
1 1 1 1 2 2
0 0
0
( ) (0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
k L k
n
k k i L k i
mà còn bởi trạng thái cuối
2
( )z L
và các điều khiển tương lai
( ), 1,...,u i i k L
(từ thời điểm
1k
cho tới tận thời điểm
L
. Điều này thể
hiện sự khác biệt quan trọng giữa phương trình sai phân thường và phương
trình sai phân ẩn.
- 20 -
CHƯƠNG II
MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH
CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH
2.1 TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA CHUỖI THỜI GIAN HỮU HẠN
Trong phần này chúng ta sẽ xét tính điều khiển được của chuỗi thời gian hữu
hạn
( 1) ( ) ( )Ex k Ax k Bu k
,
0,1,2,...,k L
, (2.1)
trong đó
L
là một số cố định cho trước,
( )x k
là các véc tơ trạng thái trong
không gian Euclid
n
và mọi trạng thái
n
w
tồn tại một
thời điểm
1
k
,
1
0 k L
và các điều khiển u(0), u(1),…,u(L) sao cho
1
( )x k w
.
Như vậy tính điều khiển được được xét ở đây là điều khiển được theo điểm.
Mục đích của chúng ta là đi tìm các tiêu chuẩn (điều khiển được hoàn toàn)
để có thể đi từ vị trí trọn vẹn
1 2
(0)/ ( )x x L
bất kì tới vị trí bất kì
w
nào trong
- 21 -
không gian
n
nhờ các điều khiển
( )u k
,
Với điều kiện trọn vẹn
1 2
(0)/ ( )
n
x x L
cho trước, phương trình (2.2a) và
(2.2b) có nghiệm tương ứng là (xem các công thức (1.24a), (1.24b)):
1
1
1 1 1 1 1
0
( ) (0) ( )
k
k k i
i
x k A x A B u i
,
0,1,2,...,k L
. (2.3a)
i i
I
x k P A z A Bu i P N z L N B u k i
I
,
0,1,2,...,k L
. (2.4)
2.1.1.2 Định lý
Chuỗi thời gian hữu hạn (2.1) là điều khiển được hoàn toàn nếu và chỉ nếu
1
1
1 1 1 1 1 1
, ,...,
n
rank B A B A B n
; (2.5a)
):
1 1
2 2
1
1
1
(0)
1
,..., , ,...,
1 1 1 1
( ) ( )/ ( )
1 1 1 2 1
1
( )
,..., , ,...,
2 2 2
nm nm
n m n m
k
u
A B AB B O O
w x k x k x k
L k
u L
O O B NB N B
L k
O O B NB N B
và
(0)
:
( )
u
u
u L
,
trong đó
i
n m
O
1 1
2
1
(0)
,..., , ,...,
1 1 1 1
( ) ( )/ ( )
1
,..., , ,...,
( )
2 2 2
(0)
( )
nm nm
n m n m
k
L k
k
u
A B AB B O O
x k x k x k
L k
O O B NB N B
u L
A x
N x L
là ma trận có hạng dòng đầy đủ (ma trận có n dòng độc lập tuyến
tính), tức là ma trận vuông
T
MM
là ma trận khả nghịch. Do đó với
n
w
- 23 -
bất kỳ, chọn
1 1
k n
và
1
1
1 1
1
2
(0)
(0)
( )
( 1)
( )
n
T T
L n
A x
u
M MM w
u L
N x L
1
( )
1
,..., , ,...,
2 2 2
2 2
1
(0)
1 1
1
( )
2
n
A B A B B O O
u
nm nm
x n x n x n
L n
u L
O O B NB N B
n m n m
n
A x
L n
N x L
A x
w
L n
N x L
và
2
( )x k
được tính chỉ theo các
điều khiển
( ), ( 1),..., ( 1)u k u k u L
nên ta có thể chọn các điều khiển tương
ứng một cách độc lập để hệ (2.2a) và hệ (2.2b) là điều khiển được hoàn toàn.
- 24 -
2.1.2 R-Điều khiển được
Với bất kỳ điều kiện cuối cố định
2
2
( )
n
x L
, kí hiệu
2
( )Rx L
là tập tất cả
các trạng thái
( )x k
của hệ (2.1), xuất phát từ một điểm ban đầu bất kì nào đó.
Tập
2
( )Rx L
được gọi là tập đạt được ban đầu (initial reachable set).
Ta có
1 1
2
Xét chuỗi thời gian hữu hạn rời rạc
1 0 0 0 1 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0 1
( 1) ( ) ( ), 0,1,2,...
0 0 0 1 0 0 1 0 1
0 0 0 0 0 0 0 1 1
x k x k u k k L
. (2.9)
Đặt
1
2
1 2
2
( )
( ) ; ( ), ( )
( )
x k
x k x k x k
x k
1 1 1 1
0 1
, 2
1 1
rank B A B rank n
.
- 25 -
Tương tự,
0 1
0 0
N
;
2
1
1
B
;
với bất kỳ điều kiện cuối
2
( )x L
(không phụ thuộc vào điều kiện cuối
2
( )x L
) .
2.1.2.2 Thí dụ
Xét chuỗi thời gian hữu hạn
1 1
2 2
1 0 0 2 0 0 1
( 1) ( )
0 0 1 0 1 0 0 ( ).
( 1) ( )
0 0 0 0 0 1 0
x k x k
u k
x k x k
2
( ) 2 (0) 2 ( );
0 1
( ) khi 1;
( )
0 0
0 khi 0 1.
k
k k i
i
x k x u i
x L k L
x k
k L
Copyright: Tài liệu đại học ©